Chapitre 12 - Les maths en ECS2 à La Bruyère

ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
Année 2013/2014
Chapitre 12 :
CONVERGENCES ET APPROXIMATIONS EN
PROBABILITÉS
1 Convergence en probabilité 2
1.1 Dénition ............................................. 2
1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Loifaibledesgrandsnombres .................................. 2
2 Convergence en loi 3
2.1 Dénition ............................................. 3
2.2 Théorèmedelalimitecentrée .................................. 3
3 Approximations 4
3.1 Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Approximations de la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Approximation d’une loi de Poisson par une loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 – Convergences et approximations en probabilités ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
Dans ce chapitre, on s’intéresse à la notion de convergence d’une suite (Xn)n∈Nde variables aléatoires
réelles, toutes dénies sur le même espace probabilisé (Ω,A,P). On dégage dans les deux premiers para-
graphes deux notions diérentes de convergence avec à la clé dans les deux cas un théorème fondamental
de la théorie des probabilités. Dans le troisième paragraphe, on applique ces théorèmes à des problèmes
d’approximation.
Dans tout le chapitre, (Ω,A,P)désigne un espace de probabilité.
1. Convergence en probabilité
1.1 Dénition
Définition 1.1 Soient (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles sur (Ω,A,P)et Xune variable aléa-
toire sur le même espace.
On dit que (Xn)n∈Nconverge en probabilité vers X, et l’on note Xn
P
−−−→
n→∞ X, si :
∀ε > 0,lim
n→∞
P(|Xn−X|>ε) = 0.
Remarque 1.2 On parle également de convergence stochastique.
1.2 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Théorème 1.3 (Inégalité de Markov) Soit Xune variable aléatoire réelle, discrète ou à densité.
Si Xest positive et admet une espérance, alors :
∀ε > 0,P(X>ε)6
E(X)
ε.
Corollaire 1.4 Soit Xune variable aléatoire réelle, discrète ou à densité.
Si Xadmet un moment d’ordre 2, alors :
∀ε > 0,P(|X|>ε)6
E(X2)
ε2.
Théorème 1.5 (Inégalité de Bienaymé-Tchebychev) Soit Xune variable aléatoire réelle, discrète ou à
densité.
Si Xadmet une variance, alors :
∀ε > 0,P|X−E(X)|>ε6
V(X)
ε2.
Exemple 1.6 On considère un dé cubique équilibré. En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déter-
miner le nombre de lancers qu’il sut d’eectuer pour pouvoir armer avec un risque d’erreur inférieur
à 5% que la fréquence d’apparition de l’as est voisine de 1
6à la précision 0,01.
1.3 Loi faible des grands nombres
Théorème 1.7 (Loi faible des grands nombres) Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires réelles
sur (Ω,A,P), discrètes ou à densité, mutuellement indépendantes, admettant une même espérance m et une
même variance σ2.
On a :
Xn=X1+··· +Xn
n
P
−−−→
n→∞ m.
Plus précisément,
∀ε > 0,∀n∈N∗,P|Xn−m|>ε6σ2
nε2.

Année 2013/2014 Convergences et approximations en probabilités – 3
Remarques 1.8 •Dans l’énoncé précédent, on peut aaiblir l’hypothèse Xn,n∈N∗, mutuellement indé-
pendantes en Xn,n∈N∗, deux-à-deux indépendantes ou même deux-à-deux non corrélées.
•Le théorème précédent porte le nom de loi faible des grands nombres car il existe un résultat bien plus
précis : on peut montrer (mais cela est bien plus dicile !) que si les variables aléatoires Xn(toujours sup-
posées indépendantes) suivent une même loi et admettent une espérance m, alors Ynconverge presque
sûrement vers la variable certaine égale à m.
Corollaire 1.9 (Théorème d’or de Bernoulli) Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires mutuelle-
ment indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre p.
La suite de variables aléatoires de terme général
Xn=X1+··· +Xn
n,n∈N∗,
converge en probabilité vers la variable certaine égale à p. Plus précisément,
∀ε > 0,∀n∈N∗,P|Xn−p|>ε61
4nε2.
Remarques 1.10 •Il en résulte que la fréquence statistique de réalisation d’un événement tend vers la
probabilité de cet événement.
•On notera que le majorant dans la dernière inégalité ne dépend pas de p.
2. Convergence en loi
2.1 Dénition
Définition 2.1 Soient (Xn)n∈Nune suite de variables aléatoires réelles sur (Ω,A,P)et Xune variable aléa-
toire sur le même espace. On note FXn(resp. FX) la fonction de répartition de la variable aléatoire de Xn, n ∈N
(resp. de X).
On dit que la suite (Xn)n∈Nconverge en loi vers X, et l’on note Xn
L
−−−→
n→∞ X, si en tout point x ∈Rde
continuité de FX,ona:
lim
n→∞ FXn(x) = FX(x).
Remarque 2.2 •L’hypothèse de continuité de FXest toujours satisfaite lorsque la variable X est à densité.
•Dans le cas d’une variable aléatoire discrète à valeurs entières, la situation est tout autre, et la dénition
peut être reformulée comme indiqué ci-dessous.
Proposition 2.3 Lorsque les variables aléatoires Xn, n ∈N, et Xsont à valeurs dans Z, la convergence en
loi de (Xn)n∈Nvers Xéquivaut à :
∀x∈Z,lim
n→∞
P(Xn=x) = P(X=x).
Exemple 2.4 Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires où, pour tout n∈N∗, Xnsuit une loi uniforme
sur l’ensemble {k/n}06k6n. Montrer que la suite (Xn)n∈N∗converge en loi vers (une variable aléatoire
suivant) la loi uniforme sur l’intervalle [0,1].
Remarque 2.5 L’exemple précédent montre qu’une suite de variables aléatoires discrètes peut converger
en loi vers une variable aléatoire à densité.
2.2 Théorème de la limite centrée
Théorème 2.6 Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires réelles sur (Ω,A,P), mutuellement indépen-
dantes et de même loi, admettant une espérance m et une variance σ2(σ > 0).

4 – Convergences et approximations en probabilités ECS2 – Lycée La Bruyère, Versailles
La variable aléatoire centrée réduite associée à Sn=X1+··· +Xn:
S∗
n=Sn−nm
σ√n=√n
σ(Xn−m)
converge en loi lorsque n → ∞ vers (une variable aléatoire suivant) la loi normale N(0,1).
En d’autres termes, pour tous réels a <b,
lim
n→∞
P(a<S∗
n6b) = 1
√2πˆb
a
e−t2/2dt.
Remarque 2.7 Outre les approximations qui en découlent (cf. paragraphe suivant), le théorème de la limite
centrée a plusieurs interprétations théoriques.
•Tout d’abord, il précise les uctuations de Xn=Sn/nautour de sa limite m(la loi faible des grands
nombres énonce une convergence en probabilité, la loi forte donnerait une convergence presque sûre) :
Xn−msuit approximativement une loi normale N(0, σ2/n)lorsque nest assez grand.
•Par ailleurs, le théorème exprime le fait qu’une somme d’un grand nombre de variables indépendantes,
de même loi et admettant une variance a une distribution à peu près gaussienne. La loi des erreurs gé-
néralise ce fait à une somme de petites variables indépendantes dont aucune n’est prépondérante. C’est
en raison de cette universalité que les variables aléatoires intervenant en modélisation sont souvent
supposées suivre des lois normales. On peut illustrer ce fait par l’exemple du tireur à la carabine.
1 2−1−2
0
1
2
−1
−2
1 2−1−2
0
1
2
−1
−2
La gure ci-dessus représente n=100 réalisations de couples (Xk,Yk), 1 6k6n, de variables gaus-
siennes centrées indépendantes, de variances σ2=1 puis σ2=0,4. Elle correspond bien aux résultats
obtenus à un tir à la carabine sur une cible, ce qu’on peut expliquer ainsi : si (Xk,Yk)sont les coor-
données du k-ième tir, Xket Yksont des sommes de petites variables indépendantes (erreur de visée,
tremblement, défaut de concentration, recul, perturbation par un élément extérieur comme un contre-
jour ou un cri, . . . ). D’après la loi des erreurs, il est donc raisonnable de supposer que (Xk,Yk)est un
couple de variables gaussiennes. De plus, l’indépendance des tirs est exprimée par le fait que les couples
(Xk,Yk)sont indépendants entre eux. Enn, l’écart-type de ces gaussiennes mesure l’adresse du tireur :
plus il est petit et plus le tireur est adroit.
3. Approximations
3.1 Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale
Théorème 3.1 Soient n ∈N∗, p ∈]0,1[rationnel, p =a/b avec a,b∈N∗. On considère une suite (Xk)k∈N
de variables aléatoires où, pour tout k ∈N,Xksuit une loi hypergéométrique H(kb,n,p).

Année 2013/2014 Convergences et approximations en probabilités – 5
On a :
∀j∈J0,nK,lim
k→∞
P(Xk=j) = n
jpj(1−p)n−j
et la suite (Xk)k∈Nconverge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi binomiale B(n,p).
Remarques 3.2 •Dans l’énoncé précédent, la restriction du premier paramètre à des entiers du type N =kb
s’explique par le fait que le premier paramètre N d’une loi hypergéométrique H(N,n,p)doit être mul-
tiple de p.
•En pratique, on considère que l’approximation d’une loi hypergéométrique H(N,n,p)par la loi bino-
miale B(n,p)est satisfaisante dès que N >10n.
•Si Xkreprésente le nombre de boules blanches obtenues lors de ntirages successifs sans remise dans
une urne contenant initialement N =kb boules dont Np=ka boules blanches (épreuve-type associée
à une loi hypergéométrique), le théorème précédent signie que lorsque N devient grand, le résultat est
voisin de celui obtenu lors de tirages avec remise : la possibilité de tirer une boule remise dans l’urne
après un précédent tirage n’inue pas beaucoup sur le résultat.
3.2 Approximations de la loi binomiale
On est souvent amené à travailler sur des lois binomiales. Il en existe des tables numériques, usuellement
pour n650 et 0 6p60,5. Pour les valeurs de nsupérieures, on envisage deux méthodes.
Si nest grand alors que pest petit (cas des événements rares), on utilise l’approximation par la loi de
Poisson décrite ci-dessous.
Théorème 3.3 Soit (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈N∗,Xnsuit une loi binomiale
B(n,pn).
Si npnadmet une limite nie λ > 0lorsque n → ∞ (en particulier lorsque pn=λ/n), alors
∀k∈N,lim
n→∞
P(Xn=k) = e−λλk
k!
et la suite (Xn)n∈Nconverge en loi vers (une variable alétoire suivant) la loi de Poisson P(λ).
Remarque 3.4 En pratique, on considère que l’approximation d’une loi binomiale B(n,p)par une loi de
Poisson P(np)est satisfaisante si n>30, p60,1 et np 615.
Exemple 3.5 Soit X une variable aléatoire de loi binomiale B(40;0,03). Comparer la valeur approchée de
P(X=2)obtenue par approximation par une loi de Poisson avec la valeur exacte.
Si nest grand alors que preste xe, on utilise l’approximation normale décrite ci-dessous.
Théorème 3.6 Soient p ∈]0,1[, q =1−p et (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires où, pour tout n ∈N∗,
Xnsuit une loi binomiale B(n,p).
La suite des variables aléatoires centrées réduites de terme général
X∗
n=Xn−np
√npq ,n∈N,
converge en loi vers (une variable aléatoire suivant) la loi normale centrée réduite N(0,1).
Remarque 3.7 Soit q=1−p. En pratique, on considère que l’approximation d’une loi binomiale B(n,p)
par une loi normale N(np,npq)est satisfaisante si n>30, np >5 et nq >5.
Exemple 3.8 Reprendre l’exemple 1.6 en utilisant une approximation gaussienne de la loi binomiale.