Année académique 1999-2000

Année académique 1999-2000
Première Candidature
Option Economie
Ingénieur de gestion
Option Sciences Politiques et Communication
Probabilité : corrigé des exercices
Quatrième séance
ERRATUM
Dans le troisième corrigé, dernier exercice, tirage sans remise :
Pr( B)  1 - Pr( B)  1 - (
47 * 46 * 45 * 44 * 43
)  0.276
50 * 49 * 48 * 47 * 46
Exercice 6.8
Il faut déterminer la valeur de la constante k. Nous savons que :
k [ log5 + log20 + log30 + log50]=1
 5.176k = 1
 k = 0.1932
a) Distribution de probabilités du nombre de personnes au concert :
X
5 000
20 000
30 000
50 000
Total
fX(x)
0.1350
0.2514
0.2854
0.3282
1.0000
FX(x)
0.1350
0.3864
0.6718
1.0000
X fX(x)
675
5 028
8 562
16 410
30 675
b)
1
c) E(X)   x f X ( x )  30 675 personnes
x
d) Le producteur du concert a intérêt à organiser ce concert uniquement si l’espérance
mathématique du profit qu’il peut en attendre est positive.
Si Y= profit, alors
Y = 500X – 100X – 6 000 000 – 2 000 000 = 400X – 8 000 000
Grâce aux propriétés de l’espérance mathématique, nous savons que :
E(Y) = 400 E(X) – 8 000 000 = 4 270 000 francs
L’espérance mathématique du profit étant positive, il est intéressant d’organiser ce concert.
Exercice 6.9
a) Définissons les événements suivants :
G : les points obtenus aux deux lancers sont identiques,
S : un des deux lancers amène un “ 6 ”.
Soient les variables aléatoires suivantes :
X : “ gain brut du participant au jeu ”,
Y : “ gain net du participant au jeu ”.
On a : Y = X - 50 (déduction du coût de participation au jeu).
On trouve que :
- Pr(X=200) = Pr(Y=150) = 6/36 ; en effet, l’événement G se réalise si un des couples
suivants est observé suite aux deux lancers : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ou (6,6). Or chaque
couple de points a une probabilité de 1/36 (1/6 * 1/6)  Pr(G) = 6/36.
- Pr(X=20) = Pr(Y=-30) = 10/36 ; en effet, l’événement S se réalise si un des couples
suivants est observé suite aux deux lancers : (6,x) ou (x,6) avex x  6. Or chacun de ces
couples a une probabilité de 5/36 (5/6 * 1/6)  Pr(S) = 2 * 5/36 = 10/36.
- Pr(X=0) = Pr(Y=-50) = 1 - Pr(G) - Pr(S) = 20/36.
On peut donc dresser le tableau des distributions de probabilité de X et de Y :
X
0
20
200
Total
Y
-50
-30
150
b) E(X) =
Pr(X=x) = Pr(Y=y)
20/36
10/36
6/36
1
X Pr(X=x)
0
200/36
1200/36
1400/36 = 38.89
 x Pr( X  x)  38.89 .
x
On s'attend, en moyenne, en participant à ce jeu à obtenir un gain brut de 38.89 francs.
Comme le droit de participation au jeu s'élève à 50 francs, l'espérance de gain net relatif à ce
jeu est négatif (il vaut E(X) - 50 = -11.11 francs). Il n'est donc pas intéressant d'y participer.
c) Le joueur serait prêt à participer à ce jeu tant que le coût de participation ne dépasse pas
38.89 francs, c'est-à-dire tant que l'espérance mathématique du gain net n'est pas négative.
2
d) Le jeu ainsi modifié peut être représenté par le schéma suivant :
Coût de
participation
Premier lancer
6
6
Second lancer
6
6
Stop
Gain brut
180 francs
20 francs
0 franc
Définissons les événements suivants :
E1 : le premier lancer du dé amène un 6,
E2 : le second lancer du dé amène un 6.
On peut calculer les probabilités associées à la variable aléatoire Z, "Gain brut du participant à
ce nouveau jeu" :
Pr(Z=180) = Pr (E1  E2) = 1/6 * 1/6 = 1/36,
Pr(Z=20) = Pr( E1  E 2 ) = 1/6 * 5/6 = 5/36,
Pr(Z=0) = Pr( E1 )=5/6,
et E(Z) = (0 * 5/6) + (20 * 5/36) + (180 * 1/36) = 7.78 francs. Il devient donc intéressant de
jouer à ce nouveau jeu dès que le coût de participation est inférieur ou égal à 7.78 francs.
Exercice 6.32
a) Soit l'événement A, l'électricien accepte le lot.
On cherche p( A ) = 1 - p(A).
Or, vu la loi des probabilités totales,
p(A) = p(A|4mauvais)p(4mauvais) + p(A|1mauvais)p(1mauvais)
En outre, on se trouve en présence d'une loi hypergéométrique, de sorte que
C 0 C 30
p(A|4mauvais) = 4 3104 = 0.1667
loi hypergéométrique (3, 10, 4)
C10
C10 C10301
= 0.7
loi hypergéométrique (3, 10, 1)
C103
Dès lors, p(A) = 0.1667*0.3 + 0.7*0.7 = 0.54.
Donc, 46 % des paquets (1-0.54) sont refusés.
p(A|1mauvais) =
b) Il s'agit d'une hypergéométrique(3, 10, i).
Le pourcentage de lots à i composantes défectueuses rejeté par l'acheteur se calcule comme
Ci0 C1030i
C1030i
(10  i )! (10  3)!
suit : 1 =1- 3 =1.
3
10! (10  i  3)!
C10
C10
Quand i = 1, on a 0.3.
Quand i = 2, on a 0.5333.
Quand i = 3, on a 0.7083.
Quand i = 4, on a 0.8333.
3
c) On cherche p(4mauvais| A ) =
p(4mauvais  A) p(4mauvais) p( A 4mauvais) 0.8333 * 0.3


 0.5435
0.46
p( A)
p( A)
car p( A |4mauvais) = 1 - p(A|4mauvais) = 1 - 0.16667 = 0.8333.
Exercice 6 « Accidents d’avion »
Soit X = nombre d’accidents d’avion par mois
X~Po(3.5)
a) Pr(X  2)  1 - Pr(X  0) - Pr(X  1)  1 -
e -3.5 3.50 e -3.5 3.51

 1  0.03  0.106  0.864
0!
1!
b) Pr(X  1)  Pr(X  0)  Pr(X  1)  0.03  0.106  0.136
Exercice 11 « Contrôle de qualité »
Soit X = le nombre de boîtes qui doivent être remboursées
X~Bi(3, ?)
On ne connaît pas la probabilité qu’une boîte doive être remboursée. Par contre, on sait
qu’une boîte est remboursée si elle contient plus d’une disquette défectueuse. Il suffit donc de
calculer la probabilité qu’il y ait plus d’une disquette défectueuse dans une boîte pour
connaître la probabilité qu’une boîte doive être remboursée.
Soit Y = nombre de disquettes défectueuses dans une boîte
Y~Bi(10, 0.01)
On cherche Pr(Y>1) = 1 - Pr(Y=0) - Pr(Y=1)
0
Pr(Y  0)  C10
(0.01) 0 (0.99)10  0.9044
Pr(Y  1)  C110 (0.01)1 (0.99) 9  0.0914
Donc, Pr(Y>1) = 1 - 0.9044 - 0.0914 = 0.0042 (la probabilité qu’une boîte doive être
remboursée est de 0.42%
4
X~Bi(3, 0.0042)
a) Pr(X1) = 1-P(X=0)
Pr(X  0)  C 03 (0.0042) 0 (0.9958) 3  0.9875
Pr(X1) = 1- 0.9875 = 0.0125
b) Pr(X  1)  C13 (0.0042)1 (0.9958) 2  0.0125
Question 4 Examen Juin 1999
Soit X = le nombre de pièces mal embouties dans un lot de 200, avec 0,025 = 5/200, la
probabilité qu’une pièce prise au hasard dans le stock soit mal emboutie.
X ~Bi(200 ; 0,025) et la commande est refusée si X  6.
a) Pr(X  6) = 1 – Pr(X  5)
0
(0,025) 0 (0,975) 200  0,006323
Pr(X = 0) = C 200
1
(0,025)1 (0,975)199  0,0324256
Pr(X = 1) = C 200
2
(0,025) 2 (0,975)198  0,0827269
Pr(X = 2) = C 200
3
(0,025) 3 (0,975)197  0,1399994
Pr(X = 3) = C 200
4
(0,025) 4 (0,975)196  0,1767942
Pr(X = 4) = C 200
5
(0,025) 5 (0,975)195  0,1777008
Pr(X = 5) = C 200
Donc Pr(X  6) = 1 – Pr(X  5) = 1 -

5
i 0
Pr( X  i) =1 – 0,6159699 = 0,3840301
Il est également possible de résoudre le problème par l’approximation de Poisson de la
distribution binomiale puisque n50 (ici, n=200) et n5 (ici n = 200*0.025=5)
Dans ce cas, on considère X ~Po(5)
50
51
;
Pr(X
=
1)
=

0
,
0067379
 0,0336897 ;
e 5 0!
e 5 1!
52
53
Pr(X = 2) = 5  0,0842243 ; Pr(X = 3) = 5  0,1403739 ;
e 2!
e 3!
4
5
55
Pr(X = 4) = 5  0,1754674 ; Pr(X = 5) = 5  0,1754674
e 4!
e 5!
On trouve ces probabilités directement dans la table de la loi de Poisson.
5
Donc Pr(X  6) = 1 – Pr(X  5) = 1 - i 0 Pr( X  i) =1 – 0,6159606 = 0,3840394
Pr(X = 0) =
5
b) On va chercher l’espérance mathématique du coût des refus de commande sur un ensemble
de trois commandes puisque c’est ce nombre de commandes qu’assure la compagnie.
On sait (cfr supra) que la probabilité qu’une commande soit acceptée = 0,616.
Soit X = le nombre de commandes refusées sur un ensemble de 3 commandes.
X~Bi(3 ; 0,384).
On établit la distribution de probabilité de X :
i
Pr (X= i)
Coût (c(i))
0
1
2
3
0,6163  0,2337449
0
1000
2000
3000
3  (0,616  0,384)  0,4371333
2
3  (0,616  0,384 2 )  0,2724987
0,384 3  0,0566231
L’espérance mathématique du coût des refus sur 3 commandes est :
3
E(c) = i 0 c(i). Pr( X  i) = 0 + 437,1333 + 544,9974 + 169,8693 = 1152
Donc E(c) = 1152 < prime d’assurance = 1200
La bonne décision sera de NE PAS s’assurer.
Question 4 Examen Août 1999
Soit X = nombre d’obstacles ratés
X~Bi(16, 0.06)
0
1a) P(X  0)  C16
(0.06) 0 (0.94)16  0.3716
1b) P(X  1)  C116 (0.06)1 (0.94)15  0.3753
1c) P(X  1)  1 - P(X  0)  1 - 0.3716  0.6284
2
1d) P(X  2)  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  0.3716  0.3753  C16
(0.06) 2 (0.94)14  0.9328
2. Si X ~ Bi(n,  ), alors E(X)  n
E(X)  16 * 0.06  0.96 Le nombre de pénalités auquel on s' attend pour chaque coule cheval/cav alier
est de 0.96  1 pénalité.
6