Année académique 1999-2000 Première Candidature Option Economie Ingénieur de gestion Option Sciences Politiques et Communication Probabilité : corrigé des exercices Quatrième séance ERRATUM Dans le troisième corrigé, dernier exercice, tirage sans remise : Pr( B) 1 - Pr( B) 1 - ( 47 * 46 * 45 * 44 * 43 ) 0.276 50 * 49 * 48 * 47 * 46 Exercice 6.8 Il faut déterminer la valeur de la constante k. Nous savons que : k [ log5 + log20 + log30 + log50]=1 5.176k = 1 k = 0.1932 a) Distribution de probabilités du nombre de personnes au concert : X 5 000 20 000 30 000 50 000 Total fX(x) 0.1350 0.2514 0.2854 0.3282 1.0000 FX(x) 0.1350 0.3864 0.6718 1.0000 X fX(x) 675 5 028 8 562 16 410 30 675 b) 1 c) E(X) x f X ( x ) 30 675 personnes x d) Le producteur du concert a intérêt à organiser ce concert uniquement si l’espérance mathématique du profit qu’il peut en attendre est positive. Si Y= profit, alors Y = 500X – 100X – 6 000 000 – 2 000 000 = 400X – 8 000 000 Grâce aux propriétés de l’espérance mathématique, nous savons que : E(Y) = 400 E(X) – 8 000 000 = 4 270 000 francs L’espérance mathématique du profit étant positive, il est intéressant d’organiser ce concert. Exercice 6.9 a) Définissons les événements suivants : G : les points obtenus aux deux lancers sont identiques, S : un des deux lancers amène un “ 6 ”. Soient les variables aléatoires suivantes : X : “ gain brut du participant au jeu ”, Y : “ gain net du participant au jeu ”. On a : Y = X - 50 (déduction du coût de participation au jeu). On trouve que : - Pr(X=200) = Pr(Y=150) = 6/36 ; en effet, l’événement G se réalise si un des couples suivants est observé suite aux deux lancers : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) ou (6,6). Or chaque couple de points a une probabilité de 1/36 (1/6 * 1/6) Pr(G) = 6/36. - Pr(X=20) = Pr(Y=-30) = 10/36 ; en effet, l’événement S se réalise si un des couples suivants est observé suite aux deux lancers : (6,x) ou (x,6) avex x 6. Or chacun de ces couples a une probabilité de 5/36 (5/6 * 1/6) Pr(S) = 2 * 5/36 = 10/36. - Pr(X=0) = Pr(Y=-50) = 1 - Pr(G) - Pr(S) = 20/36. On peut donc dresser le tableau des distributions de probabilité de X et de Y : X 0 20 200 Total Y -50 -30 150 b) E(X) = Pr(X=x) = Pr(Y=y) 20/36 10/36 6/36 1 X Pr(X=x) 0 200/36 1200/36 1400/36 = 38.89 x Pr( X x) 38.89 . x On s'attend, en moyenne, en participant à ce jeu à obtenir un gain brut de 38.89 francs. Comme le droit de participation au jeu s'élève à 50 francs, l'espérance de gain net relatif à ce jeu est négatif (il vaut E(X) - 50 = -11.11 francs). Il n'est donc pas intéressant d'y participer. c) Le joueur serait prêt à participer à ce jeu tant que le coût de participation ne dépasse pas 38.89 francs, c'est-à-dire tant que l'espérance mathématique du gain net n'est pas négative. 2 d) Le jeu ainsi modifié peut être représenté par le schéma suivant : Coût de participation Premier lancer 6 6 Second lancer 6 6 Stop Gain brut 180 francs 20 francs 0 franc Définissons les événements suivants : E1 : le premier lancer du dé amène un 6, E2 : le second lancer du dé amène un 6. On peut calculer les probabilités associées à la variable aléatoire Z, "Gain brut du participant à ce nouveau jeu" : Pr(Z=180) = Pr (E1 E2) = 1/6 * 1/6 = 1/36, Pr(Z=20) = Pr( E1 E 2 ) = 1/6 * 5/6 = 5/36, Pr(Z=0) = Pr( E1 )=5/6, et E(Z) = (0 * 5/6) + (20 * 5/36) + (180 * 1/36) = 7.78 francs. Il devient donc intéressant de jouer à ce nouveau jeu dès que le coût de participation est inférieur ou égal à 7.78 francs. Exercice 6.32 a) Soit l'événement A, l'électricien accepte le lot. On cherche p( A ) = 1 - p(A). Or, vu la loi des probabilités totales, p(A) = p(A|4mauvais)p(4mauvais) + p(A|1mauvais)p(1mauvais) En outre, on se trouve en présence d'une loi hypergéométrique, de sorte que C 0 C 30 p(A|4mauvais) = 4 3104 = 0.1667 loi hypergéométrique (3, 10, 4) C10 C10 C10301 = 0.7 loi hypergéométrique (3, 10, 1) C103 Dès lors, p(A) = 0.1667*0.3 + 0.7*0.7 = 0.54. Donc, 46 % des paquets (1-0.54) sont refusés. p(A|1mauvais) = b) Il s'agit d'une hypergéométrique(3, 10, i). Le pourcentage de lots à i composantes défectueuses rejeté par l'acheteur se calcule comme Ci0 C1030i C1030i (10 i )! (10 3)! suit : 1 =1- 3 =1. 3 10! (10 i 3)! C10 C10 Quand i = 1, on a 0.3. Quand i = 2, on a 0.5333. Quand i = 3, on a 0.7083. Quand i = 4, on a 0.8333. 3 c) On cherche p(4mauvais| A ) = p(4mauvais A) p(4mauvais) p( A 4mauvais) 0.8333 * 0.3 0.5435 0.46 p( A) p( A) car p( A |4mauvais) = 1 - p(A|4mauvais) = 1 - 0.16667 = 0.8333. Exercice 6 « Accidents d’avion » Soit X = nombre d’accidents d’avion par mois X~Po(3.5) a) Pr(X 2) 1 - Pr(X 0) - Pr(X 1) 1 - e -3.5 3.50 e -3.5 3.51 1 0.03 0.106 0.864 0! 1! b) Pr(X 1) Pr(X 0) Pr(X 1) 0.03 0.106 0.136 Exercice 11 « Contrôle de qualité » Soit X = le nombre de boîtes qui doivent être remboursées X~Bi(3, ?) On ne connaît pas la probabilité qu’une boîte doive être remboursée. Par contre, on sait qu’une boîte est remboursée si elle contient plus d’une disquette défectueuse. Il suffit donc de calculer la probabilité qu’il y ait plus d’une disquette défectueuse dans une boîte pour connaître la probabilité qu’une boîte doive être remboursée. Soit Y = nombre de disquettes défectueuses dans une boîte Y~Bi(10, 0.01) On cherche Pr(Y>1) = 1 - Pr(Y=0) - Pr(Y=1) 0 Pr(Y 0) C10 (0.01) 0 (0.99)10 0.9044 Pr(Y 1) C110 (0.01)1 (0.99) 9 0.0914 Donc, Pr(Y>1) = 1 - 0.9044 - 0.0914 = 0.0042 (la probabilité qu’une boîte doive être remboursée est de 0.42% 4 X~Bi(3, 0.0042) a) Pr(X1) = 1-P(X=0) Pr(X 0) C 03 (0.0042) 0 (0.9958) 3 0.9875 Pr(X1) = 1- 0.9875 = 0.0125 b) Pr(X 1) C13 (0.0042)1 (0.9958) 2 0.0125 Question 4 Examen Juin 1999 Soit X = le nombre de pièces mal embouties dans un lot de 200, avec 0,025 = 5/200, la probabilité qu’une pièce prise au hasard dans le stock soit mal emboutie. X ~Bi(200 ; 0,025) et la commande est refusée si X 6. a) Pr(X 6) = 1 – Pr(X 5) 0 (0,025) 0 (0,975) 200 0,006323 Pr(X = 0) = C 200 1 (0,025)1 (0,975)199 0,0324256 Pr(X = 1) = C 200 2 (0,025) 2 (0,975)198 0,0827269 Pr(X = 2) = C 200 3 (0,025) 3 (0,975)197 0,1399994 Pr(X = 3) = C 200 4 (0,025) 4 (0,975)196 0,1767942 Pr(X = 4) = C 200 5 (0,025) 5 (0,975)195 0,1777008 Pr(X = 5) = C 200 Donc Pr(X 6) = 1 – Pr(X 5) = 1 - 5 i 0 Pr( X i) =1 – 0,6159699 = 0,3840301 Il est également possible de résoudre le problème par l’approximation de Poisson de la distribution binomiale puisque n50 (ici, n=200) et n5 (ici n = 200*0.025=5) Dans ce cas, on considère X ~Po(5) 50 51 ; Pr(X = 1) = 0 , 0067379 0,0336897 ; e 5 0! e 5 1! 52 53 Pr(X = 2) = 5 0,0842243 ; Pr(X = 3) = 5 0,1403739 ; e 2! e 3! 4 5 55 Pr(X = 4) = 5 0,1754674 ; Pr(X = 5) = 5 0,1754674 e 4! e 5! On trouve ces probabilités directement dans la table de la loi de Poisson. 5 Donc Pr(X 6) = 1 – Pr(X 5) = 1 - i 0 Pr( X i) =1 – 0,6159606 = 0,3840394 Pr(X = 0) = 5 b) On va chercher l’espérance mathématique du coût des refus de commande sur un ensemble de trois commandes puisque c’est ce nombre de commandes qu’assure la compagnie. On sait (cfr supra) que la probabilité qu’une commande soit acceptée = 0,616. Soit X = le nombre de commandes refusées sur un ensemble de 3 commandes. X~Bi(3 ; 0,384). On établit la distribution de probabilité de X : i Pr (X= i) Coût (c(i)) 0 1 2 3 0,6163 0,2337449 0 1000 2000 3000 3 (0,616 0,384) 0,4371333 2 3 (0,616 0,384 2 ) 0,2724987 0,384 3 0,0566231 L’espérance mathématique du coût des refus sur 3 commandes est : 3 E(c) = i 0 c(i). Pr( X i) = 0 + 437,1333 + 544,9974 + 169,8693 = 1152 Donc E(c) = 1152 < prime d’assurance = 1200 La bonne décision sera de NE PAS s’assurer. Question 4 Examen Août 1999 Soit X = nombre d’obstacles ratés X~Bi(16, 0.06) 0 1a) P(X 0) C16 (0.06) 0 (0.94)16 0.3716 1b) P(X 1) C116 (0.06)1 (0.94)15 0.3753 1c) P(X 1) 1 - P(X 0) 1 - 0.3716 0.6284 2 1d) P(X 2) P(X 0) P(X 1) P(X 2) 0.3716 0.3753 C16 (0.06) 2 (0.94)14 0.9328 2. Si X ~ Bi(n, ), alors E(X) n E(X) 16 * 0.06 0.96 Le nombre de pénalités auquel on s' attend pour chaque coule cheval/cav alier est de 0.96 1 pénalité. 6