Devoir de Probabilités du 14/10/09, Master MIMATS, durée 1H

Devoir de Probabilités du 14/10/09,
Master MIMATS, durée 1H
Avertissement : Les deux exercices sont indépendants. Les ré-
ponses aux questions doivent être soigneusement justifiées. Comme
dans le cours, l’abréviation v.a. signifie variable aléatoire.
Exercice 1 : 1) On joue avec une pièce de monnaie telle que la proba-
bilité d’obtenir pile est égale à p∈]0,1[ (et donc la probabilité d’obtenir
face est 1−p). On effectue des lancers successifs et indépendants de
cette pièce jusqu’à ce qu’on obtienne pile pour la première fois. Soit X
le nombre de lancers effectués.
a) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X.
b) Montrer que l’espérance de Xest égale à 1
p.
2) On suppose maintenant qu’on effectue des lancers indépendants jus-
qu’à ce qu’on obtienne pile pour la première fois mais on arrête de jouer
si on n’a pas encore obtenu pile au dixième lancer. Soit Yle nombre de
lancers effectués. La v.a. Ypeut prendre les valeurs 1,2, ..., 10.
a) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. Y.
(indication : on distinguera bien le calcul de P(Y=k)pour 1≤k≤9
et le calcul de la valeur P(Y= 10).)
b) Calculer l’espérance de Y.
Exercice 2 : Un vendeur de téléphones portables sait par expérience
qu’il a une probabilité p=1
20 de vendre un téléphone à chaque per-
sonne qu’il démarche. Il doit visiter une cité universitaire comptant
1000 résidents. Soit Xle nombre de personnes visitées qui achèteront
effectivement un téléphone.
1) Déterminer la loi de probabilité de la v.a. X, son espérance et sa
variance.
2) On souhaite approcher la loi de Xpar une loi de Poisson. Est-ce
possible ? Préciser alors le paramètre de cette loi de Poisson.
3) Montrer que la probabilité que le vendeur réussisse à vendre plus de
150 téléphones est inférieure ou égale à 0,005.
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