T ES Lois de probabilités

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Lo oi is s d de e p pr ro ob ba ab bi il li it té és s
I. Loi de probabilité
1) Exemple
Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher, l'une d'entre elles porte le numéro
10, deux portent le numéro 5, trois portent le numéro 2 et les autres portent le numéro 1.
L'expérience consiste à extraire au hasard une boule de l'urne et à noter son numéro.
L’univers de cette expérience est formé de l'ensemble des 10 boules. On s'intéresse aux
4 événements suivants qui forment une partition de :
A1 : « la boule extraite porte le numéro 10 », dont la probabilité est
10
1
;
A2 : « la boule extraite porte le numéro 5 », dont la probabilité est
10
2
;
A3 : « la boule extraite porte le numéro 2 », dont la probabilité est
10
3
;
A4 : « la boule extraite porte le numéro 1 », dont la probabilité est
10
4
.
Remarques :
L’ensemble de ces résultats suffit à décrire l'expérience. On peut établir le tableau
suivant :
Valeurs possibles de l'expérience
10
5
2
1
Probabilité correspondante
10
1
10
2
10
3
10
4
Il y a intérêt à garder le même dénominateur pour toutes les fractions et à ne pas
simplifier des fractions telles que
10
2
pour des commodités de calcul.
2) Définition
Définir la loi de probabilité d'une expérience aléatoire, c'est :
faire une partition de l'univers avec les événements constitués par les différentes
issues possibles de l'expérience : x1, ...,xn,
déterminer les probabilités de chacun de ces événements p1, …, pn,
consigner ces résultats dans un tableau tel que celui-ci :
Valeurs possibles de l'expérience
x1
x2
…
xn
Probabilité correspondante
p1
p2
…
pn
Remarque :
Comme les événements correspondants aux différentes valeurs possibles forment une
partition de , on a p1 + p2 + … + pn = 1 ; ceci constitue une bonne vérification, dans la mesure
où si cette somme n'est pas égale à 1, c'est qu'il y a une erreur quelque part!

II. Espérance mathématique
1) Définition
Soit une expérience dont les issues possibles sont des nombres réels : x1, ..., xn avec les
probabilités respectives p1, p2, … ,pn.
L’espérance mathématique de cette loi, notée E, est égale à
n
1i
nn
2211
ii px...pxpxpx
.
Ce nombre représente le résultat moyen de l'expérience réalisée.
2) Exemple
Avec le jeu présenté au dessus, on peut poursuivre le tableau précédent ainsi
ii px
10
10
10
10
10
6
10
4
E =
iipx
= 3
On en déduit que ce jeu rapporte en moyenne 3 € par partie au joueur.
III. Variance, écart type
Remarque :
L’espérance mathématique donne une indication simple sur une expérience. Cependant, des
expériences aux résultats différents, peuvent avoir la même espérance mathématique.
En statistique, la dispersion se mesure par la variance qui est la moyenne pondérée de la
série
2
)xx(
. En probabilité, la variance se calcule de manière analogue.
1) Définitions
Soit une expérience dont l'espérance mathématique est notée E.
La variance de cette expérience, notée V, est égale à:
2
nn
2
22
2
11 )Ex(p...)Ex(p)Ex(pV
.
On appelle écart type de cette même expérience, le nombre
V
.
Ce nombre s'exprime dans la même unité que les xi.
On démontre que la variance d'une expérience peut aussi se calculer à l'aide de la formule
de la propriété suivante, en général plus simple à utiliser.
2) Propriété
2
2
nn
2
22
2
11 Exp...xpxpV
.
Exemple :
Le tableau précédent peut être complété de la façon suivante :
iiii
2
ix)px(px
10
100
10
50
10
12
10
4
10
166
On en déduit que V =
2
3
10
166
= 7,6 et donc que
76,26,7
.
Ceci signifie que chaque résultat s'écarte en moyenne de 2,76 de E.
IV. Schéma de Bernoulli, loi binomiale
1) Epreuve de Bernoulli

Définition :
Une expérience qui ne comporte que deux issues possibles (succès ou échec) est appelée
épreuve de Bernoulli.
Exemples :
Le jet d'une pièce de monnaie bien équilibrée constitue l'exemple le plus simple
d'épreuve de Bernoulli : la probabilité du succès (« pile » par exemple) est 0,5 et celle de
l'échec (« face » par conséquent) est également 0,5.
Mais le jet d'un dé classique peut également constituer un exemple d'épreuve de
Bernoulli, si l'on décide par exemple qu'un succès consiste à obtenir le 6 et que par
conséquent un échec consiste à ne pas obtenir le 6. La probabilité du succès est
6
1
et
celle de l'échec est
6
5
.
Remarque :
Si dans une épreuve de Bernoulli la probabilité du succès est p, la probabilité de l'échec est
1 -p.
2) Schéma de Bernoulli
Définition :
On appelle schéma de Bernoulli, une expérience qui consiste à répéter plusieurs fois et de
manière indépendante la même épreuve de Bernoulli.
Exemples :
Si l'on jette trois fois la même pièce de monnaie, on est en présence d'un schéma de
Bernoulli à 3 épreuves.
Une urne contient 3 boules noires et 5 blanches. Une expérience consiste à extraire
trois boules de cette urne et à noter leur couleur.
- Si le tirage des trois boules se fait avec remise, on est bien en présence d'un
schéma de Bernoulli à 3 épreuves, la probabilité d'un succès (obtenir une boule
blanche par exemple) étant
8
5
et celle de l'échec (obtenir une boule noire) étant
8
3
.
- Si par contre le tirage se fait sans remise, nous ne sommes plus en présence d'un
schéma de Bernoulli puisque les épreuves ne sont plus indépendantes les unes des
autres.
3) Loi binomiale
Définition :
On appelle loi binomiale, la loi de probabilité correspondant à un schéma de Bernoulli. Cette
loi est souvent notée B(n, p), la lettre B rappelant le mot « binomial », le nombre n étant le
nombre d'épreuves et le nombre p étant la probabilité d'un succès lors d'une épreuve.
Remarque :
Un schéma de Bernoulli s'illustre par un arbre dans lequel :
de chaque nœud partent deux branches ;
toutes les branches menant à un succès portent la même probabilité p
toutes les branches menant à un échec portent la même probabilité 1 - p.