Intégration Notes de Cours - Ecole Supérieure de la Statistique et de

Université de Carthage
Ecole Supérieure de la Statistique et de l’Analyse de l’Information
Intégration
Notes de Cours
Kaoukeb Turki Moalla
Année Universitaire 2012-2013
ii
Table des matières
1 Espaces et Fonctions Mesurables
1.1 Rappels de la Théorie des Ensembles . . . . . . .
1.1.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . .
1.1.2 Ensembles et cardinaux . . . . . . . . . .
1.2 Espaces Mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Clans et tribus de parties d’un ensemble .
1.2.2 Tribu de Borel : Cas de R et de Rd . . . .
1.3 Fonctions Mesurables . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . .
1.3.2 Opérations sur les fonctions mesurables . .
1.3.3 Fonctions étagées et fonctions mesurables .
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mesures Positives
2.1 Dé…nitions et Propriétés . . . .
2.2 Construction d’Espaces Mesurés
2.3 Espaces Mesurés Complets . . .
2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . .
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3 Intégrale de Lebesgue
3.1 Intégration des fonctions étagées . . . .
3.2 Intégration des fonctions positives . . .
3.3 L’espace L1 . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Théorèmes de convergences . .
3.3.2 Applications . . . . . . . . . . .
3.4 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . .
3.5 Théorème de changement de variables .
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
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3
3
3
6
8
8
11
12
12
13
15
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19
19
22
24
26
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29
31
34
37
38
40
43
45
Avant-propos
Ce polycopié est destiné aux étudiants de la première année de l’ESSAI.
Il couvre di¤érents éléments de la théorie d’intégration et introduit les outils
nécessaires au calcul intégral. Il est composé de trois chapitres enrichis d’une
liste d’exercices assez variés couvrant di¤érents aspects des concepts étudiés.
1
2
Chapitre 1
Espaces et Fonctions
Mesurables
1.1
1.1.1
Rappels de la Théorie des Ensembles
Dé…nitions et propriétés
On rappelle ci-contre certaines dé…nitions et notations de la théorie des
ensembles.
Dé…nition 1.1.1 On appelle ensemble toute collection d’objets appelés membres
ou éléments. Classe et collection sont synonymes d’ensemble.
En général, on désignera un ensemble par une majuscule par exemple
A; B ou C et l’un de ses éléments par une lettre minuscule a ou b:
Un ensemble peut être dé…ni soit par dénombrement de tous ses éléments,
soit quand cela n’est pas possible, en décrivant une propriété de tous ses
éléments (par exemple, les zéros d’une fonction quelconque).
Notation : La notation x 2 E signi…e x appartient à, ou élément de, E.
Sa négation est notée x 2
= E. On note ; l’ensemble qui n’a aucun élément.
Dé…nition 1.1.2 Si chacun des éléments d’un ensemble A appartient également à un ensemble B on dit que A est un sous-ensemble ou partie de B
et on note A B: On dit aussi que A est inclus dans B: Pour un ensemble
E on note P(E) l’ensemble des parties de E.
On véri…e que pour des ensembles A; B et C on a
3
4
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
i- ; A ; A A:
ii- A B et B A =) A = B:
iii- A B et B C =) A C:
Dé…nition 1.1.3 Opérations sur les ensembles
Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E:
= Ag ; complémentaire de A dans E.
1. CE (A) = Ac = A = fx 2 E; x 2
2. A [ B = fx 2 E; x 2 A ou x 2 Bg ; réunion de A et B:
3. A \ B = fx 2 E; x 2 A et x 2 Bg ; intersection de A et B:
4. AnB = fx 2 E; x 2 A et x 2
= Bg ; di¤érence A moins B:
5. A4B = (AnB) [ (BnA); di¤érence symétrique de A et B:
6. Deux ensembles A et B sont dits disjoints si A \ B = ;:
Proposition 1.1.1 Soit E un ensemble et A,B et C trois parties de E:
1. CE (;) = E
;
CE (E) = ; ;
CE (CE (A)) = A:
2. A [ ; = ; [ A = A ; A [ A = A ; A [ E = E:
A [ B = B [ A; l’opération de la réunion est commutative.
(A [ B) [ C = A [ (B [ C); l’opération de la réunion est associative.
A [ B = B () A B:
3. A \ ; = ; \ A = ; ; A \ A = A ; A \ E = A:
A \ B = B \ A; l’opération de l’intersection est commutative.
(A \ B) \ C = A \ (B \ C); l’opération de l’intersection est associative.
A \ B = A () A B:
4. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C);
A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C):
L’opération de l’intersection est distributive par rapport à celle de la
réunion et vice versa.
5. A \ (A [ B) = A [ (A \ B) = A; égalité modulaire.
6. (A [ B)c = Ac \ B c ; première loi de Morgan.
(A \ B)c = Ac [ B c ; seconde loi de Morgan.
7. A = (A \ B) [ (A \ B c ); AnB = A \ B c = An(A \ B):
8. A4B = B4A;
9. A
B =) B c
A4B = (A [ B)n(A \ B):
Ac
et AnB = ; () A
B:
1.1. RAPPELS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
5
10. Principe de dualité : Tout résultat relatif à des ensembles est également
vrai si l’on remplace des unions par des intersections, des intersections
par des unions et des ensembles par leurs complémentaires si l’on renverse les symboles d’inclusion .
Dé…nition 1.1.4 Soit E un ensemble, P une partie de P(E): On dit que P
est une partition de E ssi
1. 8A 2 P;
A 6= ;:
3. 8x 2 E;
9A 2 P et x 2 A:
2. 8A; B 2 P;
A 6= B =) A \ B = ;:
Dé…nition 1.1.5 Soit fA g 2I une famille d’ensembles décrite par un indice
qui parcourt un ensemble I. On écrit
[
\
A et
A
2I
2I
pour la réunion et pour l’intersection des A ;
[
A = fx; x 2 A pour au moins
2I
\
2I
A = fx;
x2A
pour tout
2 Ig
2 Ig :
Lorsque I est dénombrable, les notations familières sont
1
S
An et
n=1
1
T
An :
n=1
Le produit cartésien A1 A2 ::: An des ensembles A1 ; A2 ; ..., An est
l’ensemble de n uplets ordonnés (a1 ; a2 ; :::; an ) où ai 2 Ai pour i = 1; 2; :::; n:
Dé…nition 1.1.6 Soit f une application d’un ensemble E dans un ensemble
F: Si A est une partie de F , l’image réciproque de A par f est l’ensemble
noté ff 2 Ag ou f 1 (A) dé…ni par
ff 2 Ag = fx 2 E; f (x) 2 Ag :
Proposition 1.1.2 :
1. ff 2 ;g = ;:
2. Si A et B sont deux parties de F et A
B alors ff 2 Ag
ff 2 Bg :
6
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
3. Soit fAi gi2I une famille quelconque de parties de F
(
)
(
)
[
[
\
\
f2
Ai =
ff 2 Ai g et
f2
Ai =
ff 2 Ai g
i2I
i2I
i2I
i2I
4. ff 2 Agc = En ff 2 Ag = ff 2 F nAg = ff 2 Ac g :
Dé…nition 1.1.7 L’indicatrice d’une partie A de E est l’application de A
dans E notée 1A ; de E dans R; et dé…nie par
1A (x) =
1.1.2
1 si x 2 A
0 si x 2
=A
Ensembles et cardinaux
Dé…nition 1.1.8 Soit A et B deux ensembles.
On dit que A est équipotent à B et l’on note A eq B ou cardA = cardA
s’il existe une bijection de A sur B:
S’il existe une injection de A dans B, on note cardA cardB:
Si on a cardA
cardB et si A et B ne sont pas équipotents, on note
cardA < cardB:
Théorème 1.1.1 Théorème de Bernstein
1. S’il existe une injection de A dans B alors il existe une surjection de
B sur A:
2. S’il existe une surjection de A sur B alors il existe une injection de B
dans A:
3. S’il existe une injection (resp. surjection)de A dans B et une injection
(resp. surjection) de B dans A alors A et B sont équipotents c’est à
dire ont même cardinal.
4. Si A et B sont deux ensembles, ils se trovent toujours dans une et une
seule des trois situations suivantes :
cardA < cardB
ou
cardA = cardB
ou
cardA > cardB:
Remarques 1.1.1 Soit E un ensemble.
1. Les ensembles E et P(E) ne sont pas équipotents et plus précisement
il n’existe pas de surjection de E sur P(E):
1.1. RAPPELS DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES
2. La relation est une relation d’ordre total sur les cardinaux. Si A
alors cardA cardB.
7
B
Dé…nition 1.1.9 Un ensemble A est dit in…ni s’il existe x0 2 A et une
injection de A dans An fx0 g : Dans le cas contraire A est dit …ni et l’on note
cardA < 1:
Proposition 1.1.3 Un ensemble A est in…ni ssi il existe une injection de N
dans A c’est à dire cardA cardN:
Dé…nition 1.1.10 Un ensemble A est dit dénombrable s’il existe une injection de A dans N c’est à dire cardA cardN:
A est dit in…ni dénombrable si A est équipotent à N c’est à dire cardA =
cardN:
Si cardA > cardIN; A est dit non dénombrable ou in…ni non dénombrable.
Proposition 1.1.4 :
1. S’il existe une injection de A dans B et si A est in…ni alors B est in…ni.
En particulier, dès qu’un ensemble contient une partie in…nie, il est lui
même in…ni.
2. Un ensemble A est dénombrable ssi il est …ni ou in…ni dénombrable.
3. Toute partie d’un ensemble dénombrable est dénombrable.
4. Si A est in…ni, B est dénombrable et A
brable.
B alors B est in…ni dénom-
5. Une réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
6. Le produit cartésien d’une famille …nie d’ensembles dénombrables est
dénombrable.
Dé…nition 1.1.11 Soit fAn gn2N une suite de parties d’un ensemble E. La
limite inférieure de la suite fAn gn2N est dé…nie comme l’ensemble de tous
les éléments x 2 E qui appartiennent à tous les An sauf à un nombre …ni
d’entre eux, on note limAn ou lim infAn . De même, la limite supérieure de
la suite fAn gn2N est l’ensemble de tous les éléments x 2 E qui appartiennent
à An pour une in…nité d’indices n, on note limAn ou lim supAn : On véri…e
que
[\
\[
Ak et limAn =
Ak :
limAn =
n k n
n k n
8
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
1.2
Espaces Mesurables
1.2.1
Clans et tribus de parties d’un ensemble
Dé…nition 1.2.1 Soit
un ensemble. On appelle clan de parties de
sous-ensemble non vide C de P ( ) possédant les propriétés suivantes :
un
1. C est stable par réunion de deux éléments
A; B 2 C =) A [ B 2 C
2. C est stable par di¤érence propre
A; B 2 C =) AnB 2 C
Remarques 1.2.1 :
1. ; 2 C puisque AnA 2 C:
2. C est stable par intersection de deux éléments
A; B 2 C =) A \ B 2 C
3. C est stable par di¤érence symétrique
A; B 2 C =) A M B 2 C
4. Plus généralement, C est stable par réunion et intersection …nies.
Exemple 1.2.1 Pour un ensemble et pour A une partie de
f;; Ag ; f;; g et P ( ) sont des clans de P ( ) :
Dé…nition 1.2.2 Soit
; les familles
un ensemble.
1. Un clan C de P ( ) est dit unitaire si 2 C. On dit aussi que C est
une algèbre de parties de :
2. On appelle tribu de parties de et on note T un clan unitaire de et
stable par réunion dénombrable
[
fAn gn2N T =)
An 2 T .
n2N
T est aussi appelé -clan unitaire, -algèbre ou corps de Borel. Le
couple ( ; T ) s’appelle espace mesurable et les éléments de T sont appelés les ensembles mesurables de relativement à la tribu T .
1.2. ESPACES MESURABLES
9
Remarque 1.2.1 On véri…e que T est une tribu de P ( ) si et seulement si
et
, A 2 T =)Ac 2 T
[
T =)
An 2 T .
2 T
fAn gn2N
n2N
Il s’ensuit que :
i- T est stable par intersection dénombrable
\
fAn gn2N T =)
An 2 T .
n2N
ii- T est stable par limite supérieure et inférieure
fAn gn2N
T =)limAn 2 T
et limAn 2 T :
Exemple 1.2.2 :
1. f;; g est la plus petite (au sens de l’inclusion) tribu de P ( ) dite tribu
grossière.
2. P ( )est plus grande (au sens de l’inclusion) tribu de P ( ) dite tribu
triviale
3. Pour A une partie de ; la famille f;; ; A; Ac g est une tribu de P ( )
dite tribu engendrée par A et notée (A) : C’est la plus petite (au sens de l’inclusion)
tribu de P ( ) contenant A:
4. L’ensemble des réunions …nies d’intervalles de R est un clan unitaire.
Attention ce n’est pas une tribu.
Théorème 1.2.1 Soit
un ensemble et A une famille de parties de : Il
existe une plus petite (au sens de l’inclusion) tribu de contenant A appelée
tribu engendrée par A et notée (A) :
Remarques 1.2.2 :
1. Si A est une tribu alors
(A) = A.
2. Si A et B sont deux parties de P ( ) alors
A
3. Si A = fAg alors
(A) =
B =)
(A) :
(A)
(B) :
10
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
Dé…nition 1.2.3 Soit (
1 ; T1 )
et (
2 ; T2 )
deux espaces mesurables.
1. On appelle rectangle mesurable du produit cartésien =
partie de de la forme A1 A2 où A1 2 T1 et A2 2 T2 :
1
2
toute
2. On appelle produit tensoriel de deux tribus T1 et T2 et on note T1 T2 la
tribu engendrée par l’ensemble des rectangles mesurables. L’espace mesurable ( 1
T2 ) est appelé le produit des espaces mesurables
2 ; T1
( 1 ; T1 ) et ( 2 ; T2 ) :
Plus généralement,
soit (( i ; Ti ))i2I une famille d’espaces mesurables. On
Q
pose =
et
i
i2I
F=
8
<Y
:
j2J
Bj
Y
i
;
J de cardinal …ni et J
I
i2InJ
;
Bj 2 Tj
9
=
;
:
Alors la tribu engendrée par F est N
une tribu sur
appelée tribu produit
tensoriel des tribus (Ti )i2I et notée
Ti : L’espace ( ; (F)) est appelé le
i2I
produit des espaces mesurables (( i ; Ti ))i2I .
Proposition 1.2.1 : Lemme de transport
Soit et F deux ensembles et f une application de dans F: On suppose
que F est muni d’une tribu T : On appelle tribu engendrée dans par f ou
encore tribu image-réciproque de T par f et on note (f ) ou f 1 (T ) la
famille
f 1 (T ) = f 1 (A) ; A 2 T :
Pour toute famille A de F l’image-réciproque de la tribu engendrée par A est
la tribu engendrée par l’image réciproque de A par f . Soit
f
1
( (A)) =
f
1
(A) :
Remarque 1.2.2 Attention, si ( ; T ) est un espace mesurable et f est une
application de dans un ensemble F alors la famille ff (A) ; A 2 T g n’est
pas, en général, une tribu sur F: Néanmoins, on peut dé…nir une tribu F sur
F dite tribu image de T par f et dé…nie par
F = B 2 P (F ) ; f
1
(B) 2 T
:
1.2. ESPACES MESURABLES
1.2.2
11
Tribu de Borel : Cas de R et de Rd
On commence par rappeler la dé…nition d’un espace topologique. est
dit espace topologique si l’on s’est donné une famille O
P ( ) possédant
les propriétés
8
et ; 2
<
est stable par intersction …nie
:
O est stable par réunion quelconque.
Les éléments de la famille O sont appelés ensembles ouverts de l’espace
topologique :
Dé…nition 1.2.4 Soit un espace topologique. On appelle tribu de Borel de
et on note B ( ) la tribu engendrée par l’ensemble des ouverts de . Un
élément de la tribu de Borel s’appelle un borélien.
Remarques 1.2.3 :
1. La tribu de Borel ou borélienne B ( ) est également engendrée par l’ensemble des fermés de : Dans le cas réel ( = R), B (R) est aussi engendrée par chacune des familles d’intervalles Ai ; pour i = 1; 2; 3; 4;
dé…nies par :
A1 = f[a; +1[
A3 = f] 1; a]
;
;
a 2 Dg
a 2 Dg
;
;
A2 = f]a; +1[
A4 = f] 1; a[
;
;
a 2 Dg
a 2 Dg
où D est une partie dense dans R. A fortiori, l’ensemble des intervalles
[a; b[ pour a 2 D et b 2 D engendre la tribu de Borel B (R) :
2. Si l’espace topologique admet une base dénombrable d’ouverts, B ( )
est évidemment engendrée par cette base.
Exemple 1.2.3 :
1.
2.
3.
4.
Tout singleton de R est un borélien.
Toute partie dénombrable de R est un borélien.
Tous les intervalles de R sont des boréliens.
Toutes les réunions dénombrables ou intersections dénombrables d’intervalles de R, ou plus généralement de boréliens, sont des boréliens.
Attention, la réciproque est fausse. Un borélien n’est pas nécessairement réunion ou intersection de boréliens.
12
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
Proposition 1.2.2 Soit E un sous-espace topologique de . Les boréliens de
E sont les traces sur E des boréliens de :
Théorème 1.2.2 Soit
B(
Si
1
et
2
1
et
1)
2
deux espaces topologiques. On a
B(
2)
B(
1
2) :
sont à bases dénombrables d’ouverts, on a
B(
1)
B(
2)
= B(
1
2) :
Corollaire 1.2.1 La tribu de Borel de Rd est le produit tensoriel des tribus
de Borel de Rd1 et Rd2 pour d1 + d2 = d:
On démontre aussi la proposition suivante.
Proposition 1.2.3 Sur Rd , la tribu de Borel est la tribu engendrée par les
d
Q
pavés de Rd : (On rappelle qu’un pavé de Rd est dé…ni par
]ai ; bi [).
i=1
1.3
Fonctions Mesurables
1.3.1
Dé…nitions et propriétés
Dé…nition 1.3.1 Soit ( ; T ) et (F; S) deux espaces mesurables et f une
application de dans F: On dit que f est mesurable si l’image réciproque de
toute partie mesurable de S est mesurable dans T :
f mesurable () f
1
(S)
T:
Si F est un espace topologique, une application f dé…nie de sur F est dite
mesurable si l’image réciproque de tout borélien de F est un élément de T :
Dans le cas où et F sont deux espaces topologiques munis repectivement
de leurs tribus de Borel, une application mesurable f est dite aussi borélienne.
Remarque 1.3.1 La notion de mesurabilité d’une fonction f est relative
aux tribus T et S dont sont munis les espaces de départ et d’arrivée respectivement. De plus la tribu image-réciproque f 1 (S) est la plus petite tribu sur
rendant la fonction f mesurable. la tribu f 1 (S) est aussi appelée tribu
engendrée par f et notée (f ) :
1.3. FONCTIONS MESURABLES
13
Exercice 1.3.1 Soit f une application dé…nie d’un espace mesurable ( ; T )
dans (R; B (R)) :
1. Véri…er que f est mesurable si elle est constante ou de la forme 1A
pour une partie mesurable A 2 T :
2. Soit E
: Trouver une tribu sur E rendant mesurable la restriction
de f à E:
Proposition 1.3.1 Soit ( ; T ) et (F; S) deux espaces mesurables et f une
application de dans F: On suppose que S est engendrée par A, une famille
de parties de F: Alors f est mesurable si et seulement si l’image réciproque
de tout élément de A appartient à T
f mesurable () 8A 2 A;
f
1
(A) 2 T () f
1
(A)
T:
Corollaire 1.3.1 Dans le cas particulier où et F sont deux espaces topologiques, f est borélienne si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert
de F est un borélien de :
Remarque 1.3.2 Sous les hypothèses du corollaire ci-contre, toute application continue est borélienne. Attention la réciproque est fausse. Il su¢ ra de
considérer le cas = F = R et f = 1Q :
Corollaire 1.3.2 Dans le cas particulier où (F; S) = (R; B (R)) ; f est mesurable si et seulement si f 1 (] 1; a[) (resp. f 1 (] 1; a]) ; f 1 (]a; +1[) ;
f 1 ([a; +1[) ; f 1 (]a; b[) ; f 1 ([a; b[) ; f 1 (]a; b]) ; f 1 ([a; b])) est un élément de la tribu T pour tout réel a (resp. tous réels a et b) dans D; une partie
dense dans R:
1.3.2
Opérations sur les fonctions mesurables
Proposition 1.3.2 Compsition des applications mesurables
Soit ( ; T ), (F; S) et (G; U) trois espaces mesurables et f et g deux applications mesurables de dans F et de F dans G respectivement: Alors g f
est mesurable de dans G:
Corollaire 1.3.3 Opérations usuelles
Soit ( ; T ) un espace mesurable et f et g deux applications mesurables
dé…nies sur et à valeurs sur R, R ou C: Alors
14
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
1. Pour tout p > 0; la fonction jf jp est mesurable.
2. Si f ne s’annule pas alors 1=f est mesurable.
3. f + g; f:g; sup (f; g) et inf (f; g) sont mesurables.
Remarques 1.3.1 :
1. Plus généralement, on montre que l’ensemble des fonctions mesurables
à valeurs complexes est une C algèbre.
2. On pose
f + = sup (f; 0) et f = inf (f; 0)
Alors
f = f+
f
et
jf j = f + + f
On véri…e aussi que f est mesurable si et seulement si f + et f
mesurables.
sont
Proposition 1.3.3 Soit (fn )n2N une suite de fonctions mesurables dé…nies
sur un espace mesurable ( ; T ) :
1. On suppose que les fonctions fn sont à valeurs dans R: Alors les fonctions sup (fn )n ; inf (fn )n ; limfn et limfn sont également mesurables.
2. On suppose que les fonctions fn sont à valeurs dans R, R; Rd ou C: On
suppose de plus que la suite (fn )n2N est simplement convergente vers
une fonction f: Alors f est mesurable.
Exercice 1.3.2 Applications dans un espce produit
Soit ( ; T ) et ((Fi ; Si ))1 i d des espaces mesurables.
1. Pour tout i allant de 1 à d; on dé…nit la ieme projection canonique par
!
d
Q
N
Pi :
Fi ;
Si
! (Fi ; Si )
i=1
1 i d
(x1 ; x2 ; :::; xd )
7 !
xi
Véri…er que ces projections Pi sont mesurables.
2. Soit (fi )1 i d une famille d’applications dé…nies de ( ; T ) dans (Fi ; Si )
respectivement. On considère l’application vectorielle f dé…nie par
!
d
Q
N
f : ( ;T )
!
Si
Fi ;
i=1
1 i d
(x1 ; x2 ; :::; xd ) 7 ! (f1 (x1 ) ; f2 (x2 ) ; :::; fd (xd ))
Véri…er que f est mesurable si et seulement si toutes les fi le sont.
1.3. FONCTIONS MESURABLES
15
3. Application : Véri…er qu’une fonction à valeurs complexes est mesurable
si et seulement si ses partie réelle et imaginaire sont mesurables.
1.3.3
Fonctions étagées et fonctions mesurables
Dé…nition 1.3.2 Une fonction à valeurs réelles ou complexes dé…nie sur un
espace mesurable ( ; T ) est dite étagée si elle est mesurable et ne prend qu’un
nombre …ni de valeurs.
Remarque 1.3.3 Les fonctions étagées sont les combinaisons linéaires …nies
de fonctions caractéristiques d’ensembles mesurables. Une fonction étagée f
est de la forme
X
f=
i 1Ai
i2I
où I est un ensemble …ni d’indices et les Ai sont des éléments de T : Plus
précisémént, les (Ai )i2I forment une partition T -mesurable de :
La décomposition de f est unique à ceci près que les i sont non nuls et
deux à deux distincts et les Ai sont deux à deux disjoints. Dans ce cas,
f i ; i 2 Ig = f ( )
et 8i 2 I
et l’on obtient la forme canonique de f
X
f=
1ff =
2f ( )
;
Ai = ff =
ig
g
Proposition 1.3.4 L’ensemble des fonctions étagées est une K-algèbre (K =
R ou C) stable par max et min …nis.
Théorème 1.3.1 Approximation d’une fonction mesurable
Soit ( ; T ) un espace mesurable et f une application dé…nie sur
à
valeurs dans R; R ou C ; mesurable. Il existe une suite (fn )n 1 de fonctions
étagées, telle que
lim fn (x) = f (x)
n
;
pour tout x 2 :
De plus
1. si f 0; on peut choisir la suite (fn )n 1 croissante.
2. si f est bornée; on peut choisir la suite (fn )n 1 uniformément convergente vers f:
16
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
1.4
Exercices
Exercice 1.4.1 Soit
de : Véri…er que
n
S
1.
i=1
Ai n
S
2. A
Bn
m
S
un ensemble et A; fAn gn2N et fBn gn2N des parties
Bj
j=1
T
3. A
T
An
n 1
i=1 j=1
(Ai nBj ) :
(A
Bn ) :
(A
Bn ) :
n 1
Bn
T
=
n 1
4.
n T
m
S
=
S
=
n 1
!
n 1
T
Bn
=
n 1
T
(An
Bn ) :
n 1
Exercice 1.4.2 Soit et F deux ensembles non vides et f une application
de et F . Pour tous A 2 P ( ) et B 2 P (F ) on a
1. A
1
f
(f (A)) et B
2. f surjective() f (f
3. f injective() f
Exercice 1.4.3 Soit
Véri…er que
1. 1 = 1;
2. 1 S
n 1
An
1
1
f (f
(B)) :
(B)) = B () (f (A))c
(f (A)) = A () f (Ac )
f (Ac ) :
(f (A))c
un ensemble et A; B et fAn gn2N des parties de
1? = 0 et 1Ac = 1
= sup 1An ;
1
1T
n 1
An
:
1A :
= inf 1An ;
1limAn = lim sup 1An
et 1limAn = lim inf 1An :
Exercice 1.4.4 Justi…er quelles sont les assertions suivantes qui sont vraies
- Un fermé de R est un borélien.
- Un ouvert de R est mesurable.
- fxg pour x 2 R est un borélien.
- RnQ est fermé dans R:
- Un ouvert de R est un borélien.
Exercice 1.4.5 Soit E un ensemble. L’ensemble des parties …nies de E est-il
une tribu ?
1.4. EXERCICES
17
Exercice 1.4.6 Soit E un ensemble non vide. Soit A et B deux parties de
E: Déterminer (A) ; (B) ; (A; B) les plus petites tribus contenant A; B
et Aet B respectivement. Véri…er sur un exemple que
(A \ B) 6=
(A) \ (B)
Application : quelle est la tribu de R engendrée par f[0; 2] ; [1; 3]g?
Exercice 1.4.7 Soit A et B deux tribus sur un ensemble non vide E:
1. Les familles suivantes sont-elles des tribus ?
A \ B = fC; C 2 A et C 2 Bg ;
A [ B = fC; C 2 A ou C 2 Bg
2. La famille suivante set-elle une tribu de R2 ?
A
B = fA
B; A 2 A et B 2 Bg
3. Soit C un sous-ensemble non vide de E: Montrer que la famille suivante
est une tribu sur C.
fA \ C; A 2 Ag :
Exercice 1.4.8 Soit f une application de E dans F:Soit A une tribu de
parties de E: On pose
(f ) = f
Montrer que
1
(B) ; B 2 P (F )
et Af = B 2 P (F ) ; f
1
(B) 2 A
(f ) et Af sont des tribus sur E et F respectivement.
Exercice 1.4.9 Soit a 2 R: On considère la famille de parties de R
A = fA 2 B (R) ; A + a 2 B (R)g
Montrer A que est une tribu de parties de R contenant les intervalles. Conclure.
Exercice 1.4.10 Soit f une application dé …nie sur un espace mesurable
(E; A) et à valeurs dans (R; B (R)) :
1. Montrer que si f est constante alors elle est mesurable.
2. Montrer que si f = 1A alors : f mesurable() A 2 A.
18
CHAPITRE 1. ESPACES ET FONCTIONS MESURABLES
3. Identi…er toutes les applications mesurables dans le cas où A est la
tribu grossière, discrète ou de la forme (S) avec S une partition de
E.
Exercice 1.4.11 Soit f et g deux applications mesurables de (E; A) dans
(R; B (R)) :
1. Montrer que les ensembles ff < gg ; ff = gg et ff > gg sont mesurables.
2. Montrer que les applications inf (f; g) et sup (f; g) sont mesurables.
En.déduire que les applications f + = sup (f; g) et f = inf (f; g) et
jf j sont mesurables.
Exercice 1.4.12 Montrer que toute application monotone de R dans R est
borélienne. Montrer que toute dérivée d’application dérivable de R dans R est
borélienne.
Exercice 1.4.13 Soit A une partie non vide de R: On note
1. Montrer que A = fA 2 P (R) =A =
A = f a; a 2 Ag :
Ag est une tribu sur R:
2. Soit f l’application qui à tout réel associe son carré. Montrer que A = (f ) :
3. Caractériser les applications mesurables de (R; A) dans (R; A) et les
applications mesurables de (R; A) dans (R; P (R)) :
Chapitre 2
Mesures Positives
2.1
Dé…nitions et Propriétés
Dé…nition 2.1.1 Soit ( ; T ) un espace mesurable. On appelle mesure positive toute application dé…nie de T dans R+ telle que (;) = 0 et dénombrablement additive ou -additive c’est à dire véri…ant la propriété : pour
toute (An )n2N ; une famille dénombrable d’éléments de T 2à 2 disjoints on a
[
n2N
An
!
=
X
(An )
n2N
Le triplet ( ; T ; ) s’appelle espace mesuré. Pour toute partie mesurable A,
le scalaire (A) s’appelle mesure de A ou charge de A: En particulier, si
A = ; ( ) s’appelle masse totale de :
Remarques 2.1.1 :
1. On impose que (A) ne soit toujours égale à +1 pour A 6= ?: On
parle de mesure non triviale ou non dégénérée : Il existe au moins une
partie mesurable A dans T telle que (A) < +1:
2. On dé…nit de la même façon des mesures réelles ou complexes en remplaçant R+ par R ou C. Les séries intervenant dans la dé…nition de
l’additivité dénombrable doivent être absolument convergentes.
Dé…nition 2.1.2 Soit ( ; T ; ) un espace mesuré et A une partie mesurable:
19
20
CHAPITRE 2. MESURES POSITIVES
1. La mesure est dite …nie si toute partie mesurable A est de mesure
…nie c’est à dire
8A 2 T ;
(A) < +1
2. La mesure est dite -…nie si toute partie mesurable A est de mesure
-…nie c’est à dire
[
8A 2 T ; 9 (An )n2N T avec
(An ) < +1 et A =
An :
n2N
Exemple 2.1.1 Soit ( ; T ) un espace mesurable.
1. Mesure nulle : c’est l’application qui accorde 0 à toute partie mesurable.
2. Mesure de Dirac : pour x0 2 ; l’application x0 qui à toute partie
mesurable A associe 1 ou 0 selon que x0 est dans A ou non est une
mesure positive appelée mesure de Dirac en x0 :
3. Mesure discrère : pour (xn )n2N et (an )n2N dans et R+P
respectivement;
l’application qui à toute partie mesurable A associe
an xn (A) est
n2N
une mesure positive appelée mesure discrète ou atomique. Elle véri…e
X
B
n (xn )n2N =)
an xn (B) = 0:
n2N
On dit que cette mesure est concentrée sur l’ensemble (xn )n2N :
4. Mesure de comptage ou de dénombrement : c’est l’application qui à
toute partie mesurable A associe son cardinal ou +1 selon que A est
…nie ou non. Dans le cas particulierPoù est dénombrable, la mesure
de comptage est la mesure discrète
wn :
n2N
5. Mesure de probabilité : c’est une mesure …nie dont la masse totale vaut
1: On notera une mesure de probabilité par P et l’espace ( ; T ; P ) sera
dit espace probabilisé ou espace de probabilité.
6. Mesure de Lebesgue : c’est l’unique mesure, notée souvent
sur B Rd par les deux propriétés
- la mesure du cube unité est 1:
- d est invariante par les translations de Rd
8a 2 Rd ;
8A 2 B Rd ;
d
(a + A) =
d
(A)
d;
dé…nie
2.1. DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS
21
Proposition 2.1.1 Soit ( ; T ; ) un espace mesuré. Alors
1.
est croissante
8A; B 2 T ;
2.
=)
(A)
(A [ B) + (A \ B) =
[
T;
n
An
!
(A) + (B) :
X
(An )
n
est continue par union croissante ou continue à gauche
!
[
8 (An )n2N T ; An An+1 =) lim (An ) =
An = sup (An )
n
5.
(B) :
est -sous-additive
8 (An )n2N
4.
B
est fortement additive
8A; B 2 T ;
3.
A
n
n
est continue par intersection décroissante ou continue à droite
8 (An )n2N
lim (An ) =
n
T;
An+1 An et
(An0 ) < +1 =)
!
\
An = inf (An ) :
n
n
Exercice 2.1.1 Lemme de Borel-Cantelli
Soit ( ; T ; ) un espace mesuré et (An )n2N une famille de parties mesurables. Véri…er que
X
(An ) < +1 =) limAn = 0:
n
Proposition 2.1.2 Soit ( ; T ) un espace mesurable et ( n )n2N une famille
de mesures positives sur ( ; T ) : Soit ( n )n2N une suite de réels positifs. On
considère l’application
: T
! P R+
A 7 !
n n (A)
n
Alors est une mesure
P positive sur ( ; T ) : De plus si les mesures n sont
des probabilités et si
est aussi une mesure de probabilité.
n = 1 alors
n
22
CHAPITRE 2. MESURES POSITIVES
Remarque 2.1.1 On véri…e qu’une combinaison linéaire convexe de mesures de Dirac est une probabilité. Inversement, si l’ensemble est dénombrable alors une probabilité sur l’espace ( ; P ( )) est de la forme
X
P =
p (w) w
w2
pour une famille sommable1 de réels positifs (p (w))w2 de somme 1. L’espace ( ; P ( ) ; P ) ainsi construit est dit espace probabilisé discret. La famille
(p (w))w2 s’appelle la densité discrète de la probabilité P:
Proposition 2.1.3 Mesure image
Soit ( ; T ) et (F; S) deux espaces mesurables. On munit le premier d’une
mesure positive et on désigne par f une application mesurable de ( ; T )
dans (F; S) : On dé…nit sur S une application par
8B 2 S;
Alors
(B) =
f
1
(B) :
est une mesure positive sur (F; S) appelée mesure image de
par f:
Remarque 2.1.2 Les mesures et sont de masses totales égales. De plus
dans le cas où ( ; T ; ) est un espace de probabilité, f est dite variable aléatoire et est une probabilité appelée loi de probabilité de la variable f:
Exercice 2.1.2 Déterminer la mesure image de
par f; dans le cas où
( ; T ; ) = (R; B (R) ; ) ; (F; S) = (Z; P (Z)) et f est l’application partie
entière.
2.2
Construction d’Espaces Mesurés
Les exemples d’espaces mesurés exposés dans le section précédente sont
simples. Il est souvent di¢ cile et rare de pouvoir dé…nir explicitement une
mesure positive sur un espace mesurable ( ; T ) :Un procédé classique de
construction de est de donner les valeurs de sur une partie A de T telle
que (A) = T puis d’essayer de la prolonger à T .
1
Une famille de nombres réels ou complexes indexée par X est une application a :
X ! R; C notée (a (x))x2X : Cette famille est dite sommable s’il existe une bijection
X
: N ! X telle que la série
ao (n) soit absolument convergente. La somme de cette
n 1
série s’appelle somme de la famille (a (x))x2X qu’on note
X
x2X
a (x) :
2.2. CONSTRUCTION D’ESPACES MESURÉS
23
Théorème 2.2.1 Théorème de prolongement de Hahn-Carathéodory
Soit
un ensemble et A un clan unitaire de parties de : Soit une
application de A dans R+ ; nulle en l’ensemble vide et dénombrablement additive. Alors il existe une mesure positive e sur ( ; (A)) telle que
8A 2 A;
De plus si
e (A) =
(A) :
est -…nie, la mesure e est unique et -…nie.
Remarques 2.2.1 :
1. Le résultat du théorème de prolongement reste valable si le clan unitaire
A est échangé à une famille d’ensembles E contenant l’ensemble vide,
stable par intersection …nie et véri…ant
8E 2 E;
9 (Ai )1
i n
E
avec Ai \ Aj = ; et E c =
n
[
Ai :
i=1
2. Dans le cas où est -…nie l’unicité de e est due à un résultat intermédiaire de caractérisation2 .
Corollaire 2.2.1 Mesure de Lebesgue sur R
Il existe une unique mesure positive sur (R; B (R)), notée ; coïncidant
avec la mesure de longueur long 3 sur l’ensemble des intervalles de R. Cette
mesure est appelée mesure de Lebesgue sur R. Elle véri…e
([0; 1]) = 1 et 8a 2 R;
8A 2 B (R) ;
(a + A) =
(A) :
Ces deux propriétés caractérisent la mesure de Lebesgue sur R.
Plus généralement, on construit la mesure de Lebesgue sur Rd ; B Rd
d
Q
par prolongement de l’application qui à tout pavé de Rd de la forme
]ai ; bi [
i=1
associe son volume c’est à dire le scalaire
d
Q
(bi
ai ) :
i=1
2
Lemme (Egalité de deux mesures) : Soit ( ; (A)) un espace mesurable où A
est une famille de parties de ; unitaire et stable par intersection …nie. Soit 1 et 2 deux
mesures positves -…nies sur ( ; (A)) : Si 1 et 2 coïncident sur A alors elles sont égales.
3
La mesure de longueur long est dé…nie pour tout intervalle réel I par
long (I) = sup I
inf I; si I 6= ; et long (;) = 0:
24
CHAPITRE 2. MESURES POSITIVES
Cette mesure est -…nie et notée d : Elle est caractérisée par les propriétés
i- la mesure du cube unité est 1:
ii- d est invariante par les translations de Rd
8a 2 Rd ;
8A 2 B Rd ;
d
(a + A) =
d
(A)
Corollaire 2.2.2 Mesure de Stieltjes sur R
Soit F une application réelle d’une variable réelle, croissante et continue
à droite. Il existe une unique mesure positive sur (R; B (R)), notée F et
appelée mesure de Stieltjes associée à F; véri…ant
8a; b 2 R;
F
(]a; b]) = F (b)
F (a) :
Dans le cas où F = idR , la mesure de Stieltjes associée à F est la mesure
de Lebesgue sur R.
Corollaire 2.2.3 Mesure produit
Soit ( 1 ; T1 ; 1 ) et ( 2 ; T2 ; 2 ) deux espaces mesurés. On suppose que les
mesures 1 et 2 sont -…nies. Il existe une unique mesure positive sur l’espace mesurable produit ( 1
T2 ) qu’on note 1
2 ; T1
2 et qu’on appelle
mesure produit des mesures 1 et 2 telle que
8A1 2 T1 ; A2 2 T2 ;
1
2
(A1
A2 ) =
1
(A1 )
2
(A2 ) :
Exercice 2.2.1 Véri…er que la mesure de Lebesgue sur (R2 ; B (R2 )) est le
produit de la mesure de Lebesgue sur (R; B (R)) par elle-même.
2.3
Espaces Mesurés Complets
Dé…nition 2.3.1 Soit ( ; T ; ) un espace mesuré. Une partie N de
est
dite négligeable par rapport à ou -négligeable s’il existe un ensemble mesurable A tel que N A et (A) = 0:
Remarque 2.3.1 On note qu’un ensemble -négligeable n’est pas nécessairement vide. Dans l’espace mesuré (R; B (R) ; ) ; toute partie dénombrable
est négligeable. On note aussi qu’un ensemble -négligeable n’est pas nécessairement mesurable.
2.3. ESPACES MESURÉS COMPLETS
25
Proposition 2.3.1 Soit ( ; T ; ) un espace mesuré.
1. Si A est -négligeable et si B A alors B est -négligeable. On dit que
la propriété "être -négligeable" est hériditaire.
S
2. Soit (An )n une famille d’ensembles -négligeables. Alors An est aussi
n
-négligeable.
Dé…nition 2.3.2 Soit P une propriété relative aux points d’un espace mesuré ( ; T ; ) : Cette propriété est dé…nie par l’ensemble A des points qui la
véri…ent. On dit que cette propriété P est véri…ée presque partout si l’ensemble complémentaire Ac est -négligeable.
Exemple 2.3.1 Soit ( ; P ( )) un espace mesurable et a 2 : Une propriété est véri…ée presque partout dans l’espace mesuré ( ; P ( ) ; a ) si et
seulement si elle est véri…ée au point a:
On …nit cette section par la construction d’un espace mesuré dans lequel
toute partie négligeable est mesurable.
Théorème 2.3.1 Complétion d’un espace mesuré
Soit ( ; T ; ) un espace mesuré et soit N l’ensemble des parties -négligeables
de . On considère la famille
0
T = fA [ N; A 2 T
0
et on dé…nit sur T l’application
0
0
0
et N 2 N g :
par
(A [ N ) =
(A) :
Le triplet
; T ; 0 ainsi construit est un espace mesuré dont les parties
0
0
-négligeables sont mesurables. On dit que
; T ; 0 est un espace mesuré
0
complet. La mesure 0 est dite complète. La tribu T est appelée tribu complétée de la tribu T pour la mesure :
26
CHAPITRE 2. MESURES POSITIVES
2.4
Exercices
Exercice 2.4.1 Soit
l’application dé…nie sur P (N) par
(;) = 0;
1. Montrer que
2. Soit
(A) =
X
1
(n + 1)2
n2A
est une mesure positive sur (N; P (N)) :
l’application dé…nie sur P (N) par
(A) =
Montrer que
(A) ; si A est …ni
1 ; si A est in…ni
est additive. Est-elle
additive ?
Exercice 2.4.2 On munit R de la famille d’ensembles
A = fA 2 P (R) ; A ou Ac est dénombrableg
Véri…er que l’application qui à toute partie A de A associe 0 ou 1 selon que
A ou Ac est dénombrable est une mesure positive sur A:
Exercice 2.4.3 Soit L un réel strictement positif et
ur P (N) par
X
(A)
=
Ln :
L
L
l’application dé…nie
n2A
1. Montrer que
L
est une mesure positive sur (N; P (N)) :
2. Pour quels L > 0 la mesure
L
est-elle …nie, de probabilité ?
3. Soit An = N\ [n; +1[ : Calculer
L
(An ) et
L
(Acn ) :
Exercice 2.4.4 Soit une mesure de probabilité sur un espace mesurable
( ; A) : On considère la famille
B = fA 2 A= (A) 2 f0; 1gg
Véri…er que B est une sous-tribu de A:
Exercice 2.4.5 Soit ( ; A; ) un espace mesuré. Montrer les propriétes suivantes.
2.4. EXERCICES
1.
27
est une mesure ssi est additive et pour toute suite croissante (An )n
de A
!
[
An = lim (An ) = sup (An ) :
n
n
n
2. Si (An )n est une suite décroissante de A pour laquelle il existe n0 tel
que (An0 ) < 1 alors
!
\
An = lim (An ) = inf (An ) :
n
n
n
Pour la réciproque, on considère (R; B (R)) muni des mesures positives
X
X
et
=
en 1
=
e n 1
n
n
n 1
n 1
0; n1
Comparer les quantités (f0g) et limn
Commenter.
; (f0g) et limn
0; n1
Exercice 2.4.6 Soit ( ; A; ) un espace mesuré et (An )n une suite d’éléments de A: Montrer que
1.
lim inf An
lim inf (An ) :
n
n
2.
9p 2 N=
3.
G
n p
X
n
An
!
< 1 =)
lim sup An
lim sup (An )
n
(An ) < 1 =)
n
lim sup An
=0
n
Exercice 2.4.7 Soit ( ; A; ) un espace mesuré, ( 0 ; A0 ) un espace mesurable et X une fonction mesurable de ( ; A) dans ( 0 ; A0 ).On dé…nit sur A0
une application X par
X
(B) =
X
1
(B) :
:
28
CHAPITRE 2. MESURES POSITIVES
1. Montrer que X est une mesure positive sur ( 0 ; A0 ) : On l’appelle mesure image de par X:
2. Application :
a- Déterminer X pour X = a; a 2 0 : Qu’en est-il si X ( ) est
dénombrable, distinguer les cas …ni et in…ni.
b- Déterminer X dans le cas où
est un espace produit cartésien
d’ensemles …nis, est la probabilité uniforme sur et X est l’une
des applications coordonnées.
P
c- Déterminer X dans le cas où = R; =
n n et X est l’applin2N
cation qui à un réel associe son carré.
Exercice 2.4.8 Soit
sur R par
une probabilité sur (R; B (R)) et F l’application dé…ni
F (x) =
(] 1; x])
1. Montrer que est croissante sur R et admet des limites à gauche et à
droite en to ut point de R. Montrer que F est continue à droite sur R
et que
lim F = 0 et
lim F = 1
1
+1
2. Montrer que pour tous réels a et b avec a < b
(]a; b]) = F (b)
F (a) :
3. Soit D l’ensemble des points de dicontinuité de F: Véri…er que D est dé1
nombrable. On pourra
Fconsidérer les ensembles Dn = t 2 R= (ftg) n
et utiliser que D =
Dn :
n 1
Chapitre 3
Intégrale de Lebesgue
Soit ( ; T ; ) un espace mesuré. Les fonctions mesurables considérées
dans ce chapitre seront supposées dé…nies sur cet espace.
3.1
Intégration des fonctions étagées
On rappelle qu’une fonction f dé…nie sur est dite étagée si et seulement
si f est mesurable et ne prend qu’un nombre …ni de valeurs réelles f i ; i 2 Ig :
De plus, si f i ; i 2 Ig R+ alors f est dite étagée positive.
Dé…nition 3.1.1 Soit f une fonction étagée positive dé…nie sur ( ; T ; ) de
décomposition canonique
X
f=
1ff = g
2f ( )
R On appelle intégrale deR f par rapport à la mesure et on note
f (x) d (x) ou encore
f (x) (dx) la quantité
Z
X
fd =
(ff = g) :
2f ( )
29
R
f d ou
30
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Remarques 3.1.1 :
1. Si l’ensemble ff = 0g est de mesure in…nie, on utilise la convention
0
(+1) = 0:
On véri…e aussi, par la même convention, que
Z
f d < +1 () (ff 6= 0g) < +1:
2. Pour toute décomposition de f de la forme f =
P
i 1Ai
i2I
désigne une partition T -mesurable …nie de on a
Z
X
fd =
i (Ai ) :
où (Ai )i2I
i2I
Exemple 3.1.1 :
1. Pour une partie mesurable A
Z
1A d =
(A)
C’est ainsi que si F est la mesure de Stieljes associée à une application
réelle d’une variable réelle, croissante et continue à droite F alors
Z
1] 1;x] d F = F (] 1; x]) = F (x) :
2. Dans le cas où
est la mesure de Dirac en un point x0 de
Z
f d x0 = f (x0 )
Plus généralement, si
=
N
X
k=1
; on a
est une mesure discrète du type …ni on a
ak
xk
=)
Z
fd =
N
X
k=1
ak f (xk )
3.2. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES
31
Proposition 3.1.1 : Soit f et g deux fonctions étagées positives et
1. Croissance :
f
2. Additivité :
Z
g =)
Z
(f + g) d =
Z
fd
Z
fd +
2 R+ .
gd
Z
gd
3. Homogénéité positive :
Z
( f) d =
Z
fd
Dé…nition 3.1.2 Soit f une fonction étagée positive. Pour toute partie mesurable A; l’application f 1A est également étagée positive. On pose
Z
fd =
A
Z
f 1A d :
Corollaire 3.1.1 Soit A et B deux parties mesurables disjointes. On a
Z
Z
Z
fd :
fd +
fd =
A
A[B
3.2
B
Intégration des fonctions positives
On rappelle que toute application mesurable positive ( à valeurs dans R+ )
est limite simple d’une suite croissante de fonctions étagées positives. Dans
la suite, on notera M+ (resp. E + ) l’ensemble des fonctions mesurables (resp.
étagées) positives.
Dé…nition 3.2.1 Soit fR un élément de M+ : On appelle intégrale ( de Lebesgue) de f et on note
f d la quantité (dans R+ )
Z
f d = sup
Z
gd ; g 2 E +
et
g
f
:
La fontion f est dite -intégrable ou intégrable si son intégrale est …nie.
32
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Remarque 3.2.1 Dans le cas où f est élément de E + on retrouve la dé…nition de la section précédente. La borne supérieure étant un plus grand
élément. On véri…e aussi la propriété de croissance c’est à dire
Z
Z
+
f; g 2 M ; f g =)
fd
gd :
Théorème 3.2.1 Théorème de convergence monotone
Soit (fn )n2N une suite croissante d’éléments de M+ de limite f: Alors
Z
Z
Z
fd =
lim fn d = lim fn d :
Commentaire : Le théorème met en évidence la simplicité avec laquelle
on dispose des passages à la limite (di¢ ciles dans le cadre de l’intégrale de
Riemann). Son utilisation permet également d’étendre à M+ les propriétés
d’additivité et d’homogéniété positive véri…ées par l’ensemble des fonctions
étagées positives et de montrer que
1. Si f est un élément de M+ ; l’intégrale de f par rapport à la mesure de
Dirac en x0 est f (x0 ) :
N
N
R
P
P
2. Si est la mesure discrète =
ak xk alors
fd =
ak f (xk ) :
k=1
k=1
Exercice 3.2.1 Discuter la convergence de la suite d’intégrales
Z n
x n x
e dx; n 2 N ;
2 R:
In ( ) =
1
n
0
Corollaire 3.2.1 -additivité :
Soit (fn )n2N une suite d’éléments de M+ : Alors
Z X
XZ
fn d :
fn d =
n2N
n2N
Corollaire 3.2.2 Lemme de Fatou
Soit (fn )n2N une suite d’éléments de M+ : Alors
Z
Z
limfn d
lim fn d
3.2. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES
33
Application 3.2.1 Soit (fn )n2N une suite d’éléments
de M+ -intégrables,
R
convergeant simplement vers f et véri…ant sup jfn j d < +1: Montrer que
f est -intégrable.
On rappelle qu’une propriété P est véri…ée presque partout si l’ensemble
des points qui la véri…ent est de complémentaire -négligeable. On note P
est véri…ée
p:p:
Proposition 3.2.1 Soit f un élément de M+ : Alors
Z
f d = 0 () f = 0
p:p
On véri…era aussi que pour deux applications f et g de M+
Z
Z
gd
fd =
f =g
:p:p =)
Cette dernière implication nous permettra de dé…nir une relation d’équivalence R sur l’ensemble M+ par
f; g 2 M+ ;
f Rg () f = g
:p:p:
Nous reviendrons plus loin sur cette notion notamment sur la structure
topologique de l’espace quotient.
Proposition 3.2.2 Inégalité de Markov
Soit f un élément de M+ : Pour tout réel positif
Z
1
fd
(f
)
on a
Corollaire 3.2.3 Soit f un élément de M+ : Si f est -intégrable alors l’ensemble ff = +1g est négligeable.
Attention la réciproque est fausse. Il su¢ ra de considérer f comme 1R
dé…nie sur l’espace mesuré (R; B (R) ; ) :
Exercice 3.2.2 : Théorème de Radon-Nikodym
Soit f un élément de M+ : On considère l’application
: T
! R R+
A 7 ! A fd
dé…nie sur T par
34
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
1. Véri…er que est une mesure positive. On dit que est une mesure de
densité f par rapport à et on note = f :
2. Véri…er que si f est intégrable alors est …nie. Véri…er aussi que est
absolument continue par rapport à soit
8A 2 T ;
(A) = 0 =) (A) = 0:
On admet la réciproque c’est à dire si 1 et 2 sont deux mesures positives -…nies sur ( ; T ) et si 1 est absolument continue par rapport à
2 alors il existe une fonction mesurable positive, unique à une égalité
presque sûre près, telle que
Z
f d 2 ; 8A 2 T
1 (A) =
A
3. Montrer que pour toute application mesurable positive g
Z
Z
gd =
gf d :
L’espace L1
3.3
Les fonctions mesurables considérées dans ce paragraphe sont supposées
à valeurs dans R, R, ou C: On désignera indi¤éremment la valeur absolue et
le module d’une fonction f par jf j :
Dé…nition 3.3.1 Soit f une fonction mesurable à valeurs dans R, R, ou C:
On dit que f est intégrable si jfRj est intégrable. On appelle alors intégrale de
f (par rapport à ) et on note
f d la quantité
8
R +
R
Z
f d
f d
;
si f 2 R
<
fd =
R
;
si f 2 C
: R
Re f d + i Im f d
Exemple
P 3.3.1 : Dans le cas particulier d’une mesure discrète de la forme
=
an xn ; une fonction mesurable f est intégrable si et seulemment si
n2N
la série de terme général an f (xn ) est absolument convergente: Dans ce cas
l’intégrale de f est la valeur de cette série. Ceci justi…e, par exemple, le calcul
des moments d’une variable aléatoire discrète X par
X
E (g (X)) =
g(x)P (X = x) :
x2X( )
3.3. L’ESPACE L1
35
Remarques 3.3.1 :
1. On véri…e aisément que si f est à valeurs dans R (resp. C) alors f
est intégrable si et seulement si f + et f (resp. Re f et Im f ) sont
intégrables. Ceci justi…e la dé…nition de l’intégrale.
2. Si f et g sont mesurables à valeurs dans R, R, ou C et f = g
:p:p
alors f est intégrable si et seulement
si
g
est
intégrable.
De
plus
dans
R
R
le cas où elles sont intégrbles
f d = gd :
3. Dans le cas de fonctions à valeurs dans R; et contrairement au cas
des fonctions mesurables positives, la notion d’intégrale in…nie est exclue. Une fonction f à valeurs dans R est intégrable si et seulement
si (fjf j = +1g) = 0: Ainsi il n’y aura pas lieu de distinguer entre
fonctions à valeurs dans R ou dans R:
Dans la suite on désignera par | le corps R ou C: On note L1 ( ) ou L1| ( )
l’ensemble des fonctions à valeurs dans | et intégrables par rapport à .
Théorème 3.3.1 L’ensemble L1| ( ) est un |-espace vectoriel et l’opérateur
d’intégration est une forme linéaire positive sur L1| ( ) :
Corollaire 3.3.1 Soit f et g deux éléments de L1R ( ) : Soit A et B deux
parties mesurables de T .
1. Croissance
f
g =)
Z
Z
fd
gd
2. Majoration du module de l’intégrale
Z
Z
fd
jf j d
3. On dé…nit
R
A
f d par
Z
R
A[B
f 1A d : Si A et B sont disjointes alors
Z
Z
fd =
fd +
fd :
A
B
De plus
(A) = 0 =)
Z
f d = 0:
A
et
f =0
p:p ()
Z
A
f d = 0;
8A 2 T :
36
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Remarque 3.3.1R On véri…e que l’application dé…nie sur L1| ( ) et qui à
toute f associe
jf j d est une semi-norme dont le noyau est le sousensembles des fonctions presque partout nulles.
Exercice 3.3.1 Espaces Lp
On note Lp ( ) ou Lp| ( ) l’ensemble des fonctions à valeurs
R dans | et de ppuissances intégrables par rapport à c’est à dire telles que jf jp d < +1:
1. Montrer que
( ) < +1 et 0
q
p =) Lp| ( )
Lq| ( ) :
2. Soit f et g deux fonctions mesurables et p et q deux réels positifs conjugués. Véri…er l’inégalité de Hölder
Z
f gd
Z
jf gj d
Z
1=p
p
jf j d
Z
1=q
jgjq d
Si p = q = 2; cette inégalité est l’inégalité de Cauchy-Schwartz.
3. En déduire que, pour p 1; Lp| ( ) est un |-espace vectoriel semi-normé
R
1=p
jf jp d
:
pour l’application qui à toute f associe
4. On considère R la relation d’équivalence dé…nie sur Lp| ( ) par
f Rg () f = g
:p:p:
a- Véri…er que la relation R est compatible avec l’addition et la multiplication par un scalaire.
b- On note Lp| ( ) l’espace quotient de Lp| ( ) par la relation d’équivalence R: On dé…nit sur Lp| ( ) une application1 qui à toute classe f
R
1=p
jf jp d
: Véri…rer que Lp| ( ) est un |-espace vectoriel
associe
normé complet (espace de Banach) pour
R cette application
c- Véri…er que l’application : (f; g) 7 ! f gd est un produit scalaire
sur L2| ( ). On dira que L2| ( ) est un espace de Hilbert.
R
1=p
p
On constate que la quantité
jf j d
est indépendante du représentant de la
classe d’équivalence. Pour des raisons de commodité d’expression et de notation, on désignera indi¤éremment les éléments de Lp| ( ) (fonctions) et ceux de Lp| ( ) (classes de
fonctions). Il conviendra de retenir que les éléments de Lp| ( ) sont égaux si en tant que
fonctions ils sont égaux presque partout.
1
3.3. L’ESPACE L1
3.3.1
37
Théorèmes de convergences
Le théorème de convergence monotone et le lemme de Fatou se généralisent au cas des fonctions mesurables à valeurs réelles.
Proposition 3.3.1 Soit (fn )n2N une suite croissante d’éléments de L1R ( )
de limite simple f: Alors
Z
Z
Z
fd =
lim fn d = lim fn d :
Remarque 3.3.2 Le résultat ci-contre reste valable pour une suite de L1R ( ) :
Il su¢ ra d’appliquer le théorème de convergence monotone à la suite ((fn f1 ))n2N
dé…nie presque partout. La limite f = lim fn est d’intégrale bien dé…nie et
n’est pas nécessairement intégrable( f
est intégrable). On véri…e que ce
résltat est aussi valable pour une suite décroissante de LR1 ( ) :
Proposition 3.3.2 Soit (fn )n2N une suite de fonctions mesurables à valeurs
réelles: On suppose qu’il existe g intégrable minorant la suite (fn )n2N : Alors
Z
Z
lim fn d
limfn d
Exercice 3.3.2 Soit ( ; A; P ) un espace de probabilité et (An )n2N une famille d’événements. Alors
P (limAn )
limP (An )
limP (An )
P limAn :
Théorème 3.3.2 Théorème de convergence dominée
Soit (fn )n2N une suite d’éléments de L1| ( ) de limite simple f: On suppose
qu’il existe g intégrable telle que jfn j g: Alors la limite f est intégrable et
Z
Z
Z
lim fn d = lim fn d :
fd =
Ces théorèmes de convergence sont aussi véri…ées par des suites de fonctions qui ne remplissent les hypothèses que presque parout.
Corollaire 3.3.2 Soit (fn )n2N une suite de fonctions mesurables convergeant
presque partout vers f: On suppose que est …nie et que la suite (fn )n2N est
majorée alors
Z
Z
Z
fd =
lim fn d = lim fn d :
38
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Corollaire
P R3.3.3 Soit (fn )n2N une suite de fonctions mesurables telles
P que
la série
jfn j d est convergente. Alors la série de fonctions
fn est
n2N
n2N
presque partout convergente et intégrable et
Z X
XZ
fn d =
fn d :
n2N
n2N
Exercice 3.3.3 Intégration d’une dérivée
Soit f une fonction croissante sur [0; 1] ; continue en 0 et 1 et dérivable
-presque partout dans [0; 1] : Véri…er que
Z 1
f 0 (x) dx f (1) f (0) :
0
Si de plus f est partout dérivable et de dérivée f 0 bornée alors on a l’égalité.
3.3.2
Applications
Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue
On considère l’espace mesuré (R; B (R) ; ) où est la mesure de Lebesgue
sur R. Une fonction mesurable f sera dite Lebesgue-intégrable si elle est
intégrable par rapport à la mesure de Lebesgue :
Proposition 3.3.3 Soit f une fonction dé…nie sur un segment [a; b] et à valeurs dans C: Si f est continue alors f est Lebesgue-intégrable et son intégrale
coïncide avec son intégrale de Riemann2 .
Plus généralement, on montre que si f : [a; b] ! R ou C est borélienne et Riemann-intégrable alors f est Lebesgue-intégrable et lesRintégrales
b
coïncident.
Dans ce cas on utilisera indi¤éremment les notations a f (x) dx
R
et [a;b] f d : Attention la réciproque est fausse : une fonction borélienne et
Lebesgue-intégrable n’est pas nécessairement Riemann-intégrable.
2
Une fonction f dé…nie sur un segment [a; b] et à valeurs dans C est dite Riemannintégrable si pour tout " > 0; il existe deux fonctions en escalier " et " dé…nies sur [a; b]
et à valeurs dans C et R+ respectivement telles que
Z b
jf
et
"
"j
"
" (x) dx
a
3.3. L’ESPACE L1
39
Théorème 3.3.3 Toute fonction localement Riemann-intégrable sur R; c’est
à dire intégrable sur tout compact de R; d’intégrale absolument convergente
est
p:p égale à une fonction borélienne de L1R ( )Rayant même intégrale.
R
+1
Dans ce cas on utilisera indi¤éremment les notations 1 f (x) dx et R f d :
Commentaire : La preuve du théorème se fait en deux étapes. On commence par le prouver pour les fonctions Riemann-intégrables sur un segment
[a; b] : L’extention aux fonctions localement Riemann-intégrables se fait via
une utilisation du théorème de convergence dominée.
Intégrale dépendant d’un paramètre
Soit (E; d) un espace métrique et f une application de E
dans |. On
souhaite étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction F dé…nie sur E
Z
F (u) =
f (u; x) d (x) :
Théorème 3.3.4 Continuité sous le signe intégrale
On considère l’application partielle dé…nie sur
par : x 7 ! f (u; x) :
On suppose que pour tout u 2 E; cette application est mesurable de ( ; T )
dans (|; B (|)) et dominée par une application intégrable g: On suppose que
l’application dé…nie sur E et qui à tout u associe f (u; x) est
p:p continue
en u0 : Alors la fonction F est bien dé…nie sur E et continue en u0 :
Théorème 3.3.5 Dérivabilité sous le signe intégrale
On suppose que E est un intervalle non vide de R qu’on notera I: Soit
u0 2 I; on suppose que
p:p l’application qui à tout u associe f (u; x) est
@f
dérivable en u0 de dérivée @u (u0 ; x) et qu’il existe g intégrable telle que, pour
tout u 2 I
jf (u; x) f (u0 ; x)j g (x) ju u0 j
p:p
On suppose de plus que pour tout u 2 I; l’application qui à tout x associe
f (u; x) est -intégrable. Alors la fonction F est bien dé…nie sur I et dérivable
en u0 de dérivée
Z
@f
0
F (u0 ) =
(u0 ; x) d (x) :
@u
40
3.4
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Théorèmes de Fubini
Soit ( 1 ; T1 ; 1 ) et ( 2 ; T2 ; 2 ) deux espaces mesurés où les mesures 1
et 2 sont supposées -…nies. On rappelle que l’espace mesurable produit
( 1
T2 ) peut être muni d’une mesure positive unique -…nie ap2 ; T1
pelée mesure produit de 1 et 2 ; notée 1
2 et véri…ant
1
2
(A1
A2 ) =
1
(A1 )
2
(A2 ) ;
8A1 2 T1 ; A2 2 T2 :
Dans le cas de l’espace (R2 ; B (R2 ) ; 2 ) on véri…e que la mesure de Lebesgue
2; on utilise un raisonnement
2 est le produit des mesures 1
1 : Pour d
par récurrence et la transitivité du produit des mesures pour conclure.
Proposition 3.4.1 Soit A une partie mesurable de T1
couple de 1
2 , on dé…nit les ensembles
Ax = fy 2
2 ; (x; y)
2 Ag
et Ay = fx 2
T2 : Soit (x; y) un
1 ; (x; y)
2 Ag
Alors Ax et Ay sont des parties mesurables de T2 et T1 respectivement et
Z
Z
1
2 (A) =
2 (Ax ) d 1 (x) =
1 (Ay ) d 2 (y)
1
2
Remarque 3.4.1 On a utilisé au passage que les applications qui à x et y
associent 2 (Ax ) et 1 (Ay ) respectivement sont mesurables.
Exercice 3.4.1 Soit ( ; A; P ) un espace de probabilité et f une fonction
mesurable positive. Véri…er que
Z +1
Z
P (f t) dt
f dP =
0
Indication : calculer la mesure de l’ensemble f(w; t) 2
Plus généralement, montrer que pour tout n 2 N
Z
Z +1
n
f dP =
ntn 1 P (f t) dt
R+ ;
f (w)
tg :
0
Corollaire 3.4.1 Soit f une fonction mesurable dé…nie sur ( 1
T2 )
2 ; T1
,
on
dé…nit
les
et à valeurs dans R, R, ou C. Soit (x; y) un couple de 1
2
fonctions
fx :
2
y
! R; R; C
7 ! f (x; y)
et
Alors ces fonctions sont mesurables sur (
fy :
1
x
2 ; T2 )
! R; R; C
7 ! f (x; y)
et (
1 ; T1 )
respectivement.
3.4. THÉORÈMES DE FUBINI
41
Théorème 3.4.1 Théorème de Fubini-Tonelli
Soit f une fonction mesurable positive dé…nie sur ( 1
T2 ) : Les
2 ; T1
fonctions
Z
Z
:y7 !
f (x; y) d 1 (x) et : x 7 !
f (x; y) d 2 (y)
1
2
sont mesurables sur ( 2 ; T2 ) et ( 1 ; T1 ) respectivement et
Z
f (x; y) d ( 1
2 ) 1 (x; y)
1
2
Z
Z
Z
Z
=
f (x; y) d 2 (y) d 1 (x) =
f (x; y) d
1
2
2
1
(x) d
2
(y) :
1
Remarques 3.4.1 :
1. Les mesures
1 et 2 jouent un rôle symétrique et ceci justi…e la notaRR
tion
f (x; y) d 1 (x) d 2 (y), souvent utilisée pour désigner la veleur
commune des trois intégrales de l’égalité ci-contre.
2. Si f est intégrable par rapport à la mesure produit 1
2 alors les
intégrales centrales sont intégrables et donc …nies presque partout pour
les mesures 1 et 2 respectivement.
Corollaire 3.4.2 Soit f1 et f2 deux fonctions mesurables positives dé…nies
sur ( 1 ; T1 ) et ( 2 ; T2 ) et intégrables par rapport à 1 et 2 respectivement.
On considère les mesures positives 1 et 2 de densités f1 et f2 par rapport à 1 et 2 respectivement. Alors 1
2 est une mesure positive sur
( 1
;
T
T
)
de
densité
f
f
par
rapport
à 1
2
1
2
1
2
2.
Théorème 3.4.2 Théorème de Fubini
Soit f une fonction mesurable dé…nie sur ( 1
T2 ) et à va2 ; T1
leurs dans R, R, ou C. Si f est intégrable par rapport à la mesure produit 1
1 (resp. y 2
2 ) l’application fx
2 alors pour presque tout x 2
(resp.fRy ) est 2 -intégrable (resp. 1 -intégrable)
et l’application qui à x asR
socie 2 f (x; y) d 2 (y) (resp. y associe 1 f (x; y) d 1 (x)), qui est dé…nie
p:p (resp. 2 p:p) est 1 -intégrable (resp. 2 -intégrable) et
1
Z
f (x; y) d ( 1
2 ) 1 (x; y)
1
2
Z
Z
Z
Z
=
f (x; y) d 2 (y) d 1 (x) =
f (x; y) d 1 (x) d 2 (y) :
1
2
2
1
42
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
On utilisera aussi les notations
Z
f (x; y) d ( 1
2 ) 1 (x; y)
1
2
Z
Z
Z
=
d 1 (x)
f (x; y) d 2 (y) =
1
2
d
2
(y)
2
Z
f (x; y) d
1
(x) :
1
Remarques 3.4.2 :
1. En pratique, pour véri…er si f est intégrable on écrira le théorème de
Fubini-Tonelli pour jf j : On se contentera alors de calculer le membre
le plus facile à estimer.
2. Il faudra toujours commencer par véri…er l’intégrabilité de f . Il existe
des exemples pour lesquels toutes les fonctions intermédiaires sont intégrables sans que f ne le soit.
3. Une conséquence aux théorèmes de Fubini est l’interversion de l’ordre
des intégrations. C’est ainsi que pour une série double (ap;q )p;q2N absolument convergente on a
!
!
X
X X
X X
ap;q =
ap;q =
ap;q :
p;q2N
p2N
q2N
q2N
p2N
Exercice 3.4.2 Formule d’intégration par parties
Soit f et g deux fonctions localement intégrables sur R: Pour x
dé…nit les fonctions
Z
Z
F (x) =
f (t) d (t) et G (x) =
g (t) d (t)
[0;x]
[0;x]
Véri…er la formule de type "intégration par partie"
Z
Z
G (t) f (t) d (t) = G (t) F (t)
g (t) F (t) d (t) :
[0;x]
[0;x]
0; on
3.5. THÉORÈME DE CHANGEMENT DE VARIABLES
3.5
43
Théorème de changement de variables
On considère l’espace mesuré Rd ; B Rd ; d où d est la mesure de Lebesgue sur Rd ; B Rd dé…nie comme l’unique mesure invariante par translation telle que le cube unité soit de mesure 1: Soit
d
[0; 1]d = 1 et 8a 2 Rd ;
8A 2 B Rd ;
d
(a + A) =
d
(A) :
On rappelle aussi que la mesure de Lebesgue d est le produit d fois de
la mesure de Lebesgue 1 sur (R; B (R)) par elle-même. On note
d
=
d
1
L’utilisation d’un résultat concernant l’intégration par rapport à une mesure image, que nous rappellerons en …n de section, conduit à
Z
Z
d
1
f (x) d d (x)
f (x a) d d (x) =
8a 2 R ; 8f 2 L| ( d ) ;
Rd
Rd
Ceci est généralisé en une formule de changement de variables a¢ ne.
Proposition 3.5.1 Soit A une matrice invrsible de dimension d et b un
vecteur de Rd : Alors pour toute fonction mesurable positive ou dans L1| ( d )
Z
Z
1
f (Ax + b) d d (x) =
f (x) d d (x)
jdet Aj Rd
Rd
Théorème 3.5.1 Théorème de changement de variables
Soit ' un C 1 -di¤éomorphisme3 entre deux ouverts
et D de Rd : Alors
1
pour toute fonction mesurable positive ou dans L| ( d )
Z
Z
f (x) d d (x) =
f (' (y)) jJ' (y)j d d (y)
D
Commentaire : La preuve de ce théorème utilise le résultat concernant
les changements de variables a¢ nes via le théorème d’inversion locale. On
note au passage qu’une fonction ' :
! Rd est un C 1 -di¤éomorphisme
sur son image D = ' ( ) si et seulement si ' est injective sur ; ' est de
classe C 1 sur et '0 (u) est inversible (J' (u) = det '0 (u) 6= 0 en tout point
u de ; J' (u) étant le déterminant de la matrice jacobienne de ' en u)
3
Une application ' est un C 1 -di¤éomorphisme de Rd si c’est une bijection continument
di¤érentiable ainsi que ' 1 surRd .
44
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Exercice 3.5.1 Changement de variables en coordonnées polaires
Soit ' la fonction dé…nie par
' : R+
] ; [ ! R2 n (R
f0g)
(r; )
7 ! (r cos ; r sin )
Véri…er que pour toute fonction mesurable positive ou dans L1| ( d ) on a
Z Z
Z
f (x) d d (x) =
f (r cos ; r sin ) rd 1 (r) d 1 ( )
R2
R+
]
; [
Utiliser cette formule pour calculer l’intégrale de Gauss I =
R +1
0
e
x2
dx:
Pour conclure, le but de ce pragraphe était d’introduire un outil essentiel pour le calcul d’intégrales en transportant le domaine d’intégration. Le
théorème suivant est une forme abstraite de changement de variables.
Théorème 3.5.2 Théorème de transport
Soit ( ; T ; ) un espace mesuré et ' une application mesurable de ( ; T )
dans (F; S). On dé…nit sur l’espace (F; S) une mesure positive appelée mesure
image de par f et dé…nie par
8B 2 S;
(B) =
f
1
(B) :
Alors pour toute fonction mesurable positive ou dans L1| ( )
Z
Z
fd =
f 'd :
F
3.6. EXERCICES
3.6
45
Exercices
Intégrale de Lebesgue et Théorèmes de Convergence
Exercice 3.6.1 Soit (E; A; ) un espace mesuré et f : E ! C une fonction
mesurable. Montrer que si f 2 L1 alors
lim n (fjf j
n
ng) = 0
La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 3.6.2 Soit f une fonction mesurable positive sur (R; BR (R)) muni
de la mesure de lebesgue. Pour tout a 2 B (R) ; on pose (A) = A f d :
1. Montrer que est une mesure positive sur B (R).
R
2. Calculer R cos (x) d (x) pour f (x) = e x 1R+ :
Exercice 3.6.3 Montrer que la fonction f (x) =
R
Calculer [1;+1[ f d :
P
ne
nx
est bien dé…nie.
n 1
Exercice 3.6.4 Montrer que pour tout a et b dans R+ on a
Z
X
1
xe ax
d
(x)
=
:
bx
e
(a + nb)2
R+ 1
n 0
et
Z
[0;1]
X ( 1)n
xa 1
d
(x)
=
:
1 + xb
a
+
nb
n 0
En déduire une expression de log 2 et de
4
:
Exercice 3.6.5 On considère l’espace E = [ 1; 1] muni de sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue. Pour tout n 2 N ;on pose
fn = n1]0; 1 ]
n
n1[
1
;0
n
[:
1. Montrer que converge -pp vesr une fonction f:
46
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
2. Calculer
R
f d et limn
R
fn d : Commenter.
R
2
Exercice 3.6.6 Calculer les limites de R fn (x) e x d (x) dans les cas suivants :
1
1
fn = 1[n;+1[ ; fn = n1[1=n;2=n] ; fn = 1[0;n] ; fn = ( 1)n n1[n;n+1]
n
n
Exercice 3.6.7 Soit (E; A; ) un espace mesuré et f : E ! C une fonction
mesurable. On pose, pour n 2 N
An = fn
jf j < n + 1g
et Bn = fn jf jg
P
1. Montrer que f est intégrable si et seulement si
n (An ) < +1:
n 0
2. Soit (un )n une suite de réels décroissant vers 0 et soit (vn )n la suite
dé…nie par
vn = un un+1
P
P
P
a- Calculer
vk puis montrer
un =
nvn :
n 1
n 1
k n
P
b- En déduire que f est intégrable si et seulement si
(Bn ) < +1:
n 1
Exercice 3.6.8 Soit (fn )n la suite de fonctions dé…nies sur R par
fn (x) = e nx 2e 2nx :
P
1. Montrer que la série
fn (x) est convergente sur R+ et calculer sa
n 1
limite f (x) :
R
PR
2. Calculer R+ f d et
f d : Commenter.
R+ n
n 1
Théorèmes de Fubini - Changement de variables
Exercice 3.6.9 On considère l’espace mesurable ([0; 1] ; B ([0; 1])) qu’on munit de la mesure de Lebesgue et de la mesure de dénombrement : Soit D
la diagonale du carré unité [0; 1]2 : Calculer
Z 1 Z 1
Z 1 Z 1
1D (x; y) d (x) d (y) et
1D (x; y) d (y) d (x) :
0
0
0
0
Ce résultat est-il compatible avec le théorème de Fubini ?
3.6. EXERCICES
47
Exercice 3.6.10 On munit (R; B (R)) de la mesure de Lebesgue : Calculer
les intégrales
Z Z
Z Z
f (x; y) d (x) d (y) et
f (x; y) d (y) d (x)
avec
f (x; y) =
x2 y 2
1[0;1]2
(x2 + y 2 )2
ou f (x; y) =
(x2
xy
1]
+ y 2 )2
1;1[2 :
Véri…er pour chaque cas si f est intégrable et commenter le résultat.
Exercice 3.6.11 Etudier en fonction du paramètre réel
fonctions suivantes sur les domaines correspondants
l’intégrabilité des
1
1 2 et D = (R+ )2
(1 + x + y) [0;1]
1
1 2 et D = (]0; 1[)3
f (x; y; z) =
1 xyz [0;1]
f (x; y) =
Exercice
R +13.6.12 Utiliser le théorème de Fubini pour calculer l’intégrale impropre 0 sinx x dx:
On remarquera que
Z +1
1
=
e xy dy:
8x > 0;
x
0
Exercice
Utiliser le théorème de Fubini pour calculer l’intégrale de
R 3.6.13
2
Gauss R e x dx:
p p p
Exercice 3.6.14 Utiliser le changement de variable (u; v; w) =
yz; xz; xy
pour calculer les volumes des domaines suivants
n
o
3
D1 = (x; y; z) 2 R+ ; xy < 1; xz < 1; yz < 1
n
o
3
D2 = (x; y; z) 2 R+ ; xy + xz + yz < 1 :
Exercice 3.6.15 Calculer
Z
(x y)1=2
e x+y
dxdy
x2
V
où V = (x; y) 2 R2 ; x > y > 0
48
CHAPITRE 3. INTÉGRALE DE LEBESGUE
Exercice 3.6.16 Produit de convolution
Soit f et g deux fonctions dé…nies sur (R; B (R)) et
considère l’application h dé…nie sur R2 par
h (x; y) = f (x
-intégrables. On
y) g (y)
1. Montrer que h est intégrable.
2. On note f
f
g l’application dé…nie par
g: R
!
x 7 !
R
R
h
(x;
y)
d
(y)
; si h 2 L1
R
0
;
sinon
Montrer que f g est intégrable et que
Z
Z
Z
jf g (x)j d (x)
jf (x)j d (x) jg (x)j d (x)
R
L’application f
R
R
g est appelée produit de convolution de f et g: