Intégration Notes de Cours - Ecole Supérieure de la Statistique et de

Université de Carthage
Ecole Supérieure de la Statistique et de l’Analyse de l’Information
Intégration
Notes de Cours
Kaoukeb Turki Moalla
Année Universitaire 2012-2013

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Table des matières
1 Espaces et Fonctions Mesurables 3
1.1 Rappels de la Théorie des Ensembles . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Ensembles et cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Espaces Mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Clans et tribus de parties d’un ensemble . . . . . . . . 8
1.2.2 Tribu de Borel : Cas de Ret de Rd........... 11
1.3 Fonctions Mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Dé…nitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Opérations sur les fonctions mesurables . . . . . . . . . 13
1.3.3 Fonctions étagées et fonctions mesurables . . . . . . . . 15
1.4 Exercices.............................. 16
2 Mesures Positives 19
2.1 Dé…nitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Construction d’Espaces Mesurés . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Espaces Mesurés Complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Exercices.............................. 26
3 Intégrale de Lebesgue 29
3.1 Intégration des fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Intégration des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 L’espace L1............................ 34
3.3.1 Théorèmes de convergences . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Théorème de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6 Exercices.............................. 45
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Avant-propos
Ce polycopié est destiné aux étudiants de la première année de l’ESSAI.
Il couvre di¤érents éléments de la théorie d’intégration et introduit les outils
nécessaires au calcul intégral. Il est composé de trois chapitres enrichis d’une
liste d’exercices assez variés couvrant di¤érents aspects des concepts étudiés.
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