Solutions d'Exercices : Théorie de la Mesure et Tribus

BA
A∈ BAA A ∩A=A∈ A
(Bn)nBASBn∈ BA
(Bn)n∈ BA
([
n
Bn)∩A=[
n
(Bn∩A).
∀n, Bn∈ BA∀n, Bn∩A∈ A
[
n
(Bn∩A)∈ A
A
SBn∈ BA
B∈ BABC∈ BAB∈
BABC∩A∈ A A⊂B;B⊂A;A∩B=∅
A∩B6=∅
A⊂B BC∩A=∅ ∅ ∈ A
B⊂A B ∈ BAB∩A=B∈ A
BC∩A∈ A BCA∈ A A
A∩B=∅BC∩A=A A ∈ A
A∩B6=∅BC∩A=A∩(A∩B)CB∈ BA
B∩A∈ A (A∩B)C∈ A A
BC∩A=A∩(A∩B)C∈ A
∀B∈ BA, BC∈ BA

C
C=(A⊂X, ∃une sous −suite (nk)ktel que A=[
nk
Ank).
CX
A∈ C A∈ A C ⊂ B C ⊃ G
B G = (An)n
B ⊂ C C =B
CX
X∈ C G = (An)nX X =SAn
(An)nCn(nk)kA=
SkAnk
[
s/suites nk[
k
Ank=[
k
An0
k∈ C
(n0
k)k(nk)k
A=SkAnk∈ C AC=SkAn0
k(n0
k)k
nk
G= (An)nX AC∈ C C
BFiFi, i = 1,· · · ,7a
b∈R
[a, b[= \
n
]a−εn, b[ avec (εn)nune suite positive tendant vers 0,quand n → ∞.
]a−εn, b[ [a, b[∈ BR
BF1⊂ BR
a b ∈R
]a, b[= [
n
[a+εn, b[ avec (εn)nune suite positive tendant vers 0,quand n → ∞.

BR⊂ BF1BR=BF1
]a, b] = \
n
]a, b+εn[ avec (εn)nune suite positive tendant vers 0,quand n → ∞.
]a, b +εn[ ]a, b]∈ BR
BF2⊂ BR
a b ∈R
]a, b[= [
n
]a, b−εn] avec (εn)nune suite positive tendant vers 0,quand n → ∞.
BR⊂ BF2BF2=BR
BF3=BR
a∈R]a, +∞[
BF4⊂ BR
a b ∈R
]a, b[=]a, +∞[\]− ∞, b[=]a, +∞[\[b, +∞[C
[b, +∞[= \
n
]b−εn,+∞[
(εn)nn→ ∞
BR⊂ BF4BF4=BR
a∈R[a, +∞[
[a, +∞[= ∩n]a−εn,+∞[ (εn)n
n→ ∞ ]a−εn,+∞[
BF5⊂ BRa b ∈R, a < b
]a, b[=]a, +∞[\]− ∞, b[= \
n
[a+εn,+∞[∩([b, ∞[)C
BR⊂ BF5BF5⊂ BR
]−∞, a[= ([a, +∞[)C

]− ∞, a] = (]a, +∞[)CBF6=BF5=BR
BF7=BF4=BR
BR=BF5a∈R
{f≥a}=f−1([a, +∞[).
f g
a∈R
sup
X
(f, g)≥a={f≥aou g≥a}={f≥a}[{g≥a}
ninf
X(f, g)≥ao={f≥aet g≥a}={f≥a}\{g≥a}
{supX(f, g)≥a} {infX(f, g)≥a} ∈ A {f≥a}
{g≥a} ∈ A f g supX(f, g)
infX(f, g)
sup(f1,· · · , fn) inf(f1,· · · , fn)
lim sup
n
fn= inf
nsup
k≥n
fket lim inf
nfn= sup
ninf
k≥nfk
gn= supk≥nfkgna
{gn≥a}=Sk≥n{fk≥a}fk
∀k≥n, {fk≥a}∈A
{gn≥a}=[
k≥n
{fk≥a}∈A
Agn
infngn
ninf
ngn≥ao=\
n
{gn≥a}.