Chap 3 : Forces de poussées hydrostatiques

Hydraulique Générale
Ammari A.
Chap 3 : Forces de poussées hydrostatiques
L’hydrostatique est l’étude de l’eau au repos, on s’intéressera dans cette partie à
l’étude des forces de poussées sur les parois plane et courbées, leurs valeurs, directions et
points d’application, ensuite on verra la flottabilité et à la fin l’équilibre relatif, qui met en
évidence le comportement d’un liquide au repos soumis à une accélération rectiligne ou un
mouvement rotationnel.
1- Pression :
a- Définition de la notion de pression :
La pression est définie comme étant une force exercée par unité de surface.
b- Propriété de la pression en un point (fluidité parfaite) :
Soit un repère arbitraire AX, AY, AZ.
On coupe ce dernier par un plan ABC infiniment proche de A.
Z
D
A
C
Y
B
X
Posons : - Aire BCD= dw.
- Aire ACD= dwx=.
- Aire BDA= dwy= .
- Aire CAB = dwz = .
α, β, γ sont respectivement les angles que fait la normale à BCD avec les trois axes.
Soit la force pression exercée en tous points de la surface élémentaire dw.
• dFx=Pxdwx
• dFy=Pydwy
• dFz=Pzdwz
dF, dFx,dFy,dFz sont normales aux faces du tétraèdre sur lesquelles elles s’appliquent.
Suivant le principe d’Alembert, l’élément ABCD est en équilibre sous l’action des forces
suivantes :
- Les forces de pression.
- Le poids.
- Les forces d’inertie s’il y a mouvement.
Le poids est négligeable devant la pression, et puisqu’il n’ y a pas de mouvements relatifs,
donc les seules forces présentes.
Sur l’axe AX : -dFcos(α)+dFx=0 , ou Pdwcos(α)=Pxdwx , donc : P=Px
De même pour AY et AZ : P=Py et P=Pz
Rapprochons infiniment le plan BCD du point A, en le maintenant parallèle à lui-même
jusqu’à ce qu’il contient A, Les pressions Px, Py , Pz et P sont égales entres elles, et elle
deviennent les pression au point A dans quatre directions arbitraires.
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Théorème de Pascal :
Dans un liquide de fluidité parfaite, en équilibre ou en mouvement, la pression en un
point est la même dans toutes les directions autour de ce point .
N.B : La pression est une grandeur scalaire, elle ne dépend que de la position du point et non
de l’orientation.
2- Equation générale de l’hydrostatique :
Soit un parallélépipède fluide représenté dans un repère OX,OY ,OZ. Les arrêtes du
parallélépipède sont : dx, dy, dz.
Z
B
A
F
E
C
D
O
H
G
Y
X
Fig( ) : parallélépipède fluide
La masse du parallélipipéde est
m = ρdxdydz
ρ: est la masse volumique du fluide.
Les forces qui agissent sur cet élément sont :
b- Les forces extérieures.
c- Les forces intérieures (forces de pression).
Pour que cet élément soit en équilibre il faut que la somme des forces suivant toutes les
directions soit nulle :
a- Forces extérieures :
Soit FX,FY,FZ les composantes par unité de masse des forces extérieures suivant OX,OY,OZ.
r
Soit F la résultantes des forces extérieures, qui a une unité d’accélération :
(III,1)
b- Forces de pression :
La somme des forces de pression exercées suivant OX est égale à la somme des forces de
pression exercées sur la face perpendiculaire à OX, soit ABCD et EFGH.
Soit P la pression exercée en A, dx est la distance entre A et E, donc la pression en E
∂P
sera : P +
dx .
∂x
La somme algébrique de ces deux pressions est donc :
La force de pression serait :
On trouve de même pour l’axe OY :
Et pour OZ :
La condition d’équilibre suivant OX s’écrit :
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∂P
dxdydz = 0
∂x
Et de même pour les deux autres axes :
ρFX dxdydz −
……….(III,2)
En multipliant les termes du système précédent respectivement par dx, dy et dz et en
additionnant les trois équations on trouve :
1
dP = FX dx + FY dy + FZ dz …………. (III,3)
ρ
C’est l’équation fondamentale de la statique des fluides.
Pour une surface équipotentiel, ou surface d’égale niveaux ou d’égale pression :
dP = 0 ⇒ FX dx + FY dy + FZ dz = 0 …………..(III,4)
3- Cas d’un fluide incompressible soumis à la seule action de la pesanteur :
Soit un repère OXYZ de manière à ce que OZ soit verticale et positif vers le haut.
Fx=0, Fy=0 et Fz=-g , (g) est l’accélération de la gravité.
En remplaçant les composantes de la force dans l’équation fondamentale (III,3) on trouve :
1
dP = − gdz
ρ
⇒ dP + ρgdz = 0
Donc : dP + ϖdz = 0
(III,5)
Pour une surface d’égale dP=0
ρgdz = 0 ⇒ dz = 0
⇒ Z = const
Donc pour un fluide soumis à la seule action de la pesanteur, les surfaces d’égale pression
sont horizontales.
Pour un fluide incompressible de fluidité parfaite l’intégral de (III,5) donne :
P + ϖz = P *
Ainsi :
(III,6)
P
a une unité de longueur, c’est la hauteur représentative de la pression au point
La grandeur
ϖ
considéré.
H a aussi une unité de longueur c’est la hauteur piézomètrique.
Chaque point du plan d’égale pression a la même pression et hauteur piézomètrique.
La surface libre d’un liquide aussi est une surface d’égale pression.
P Patm Prel Patm
=
+
=
+h
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
P est la pression absolue (totale) au point considéré.
Patm : la pression atmosphérique.
Prel : la pression relative (manométrique ou vacomètrique si elle est négative)
h : la hauteur représentative de la pression.
N.B : La pression atmosphérique au niveau de la mer aux conditions normales est :
Patm= 1 atmosphére=1,010340 bar = 101340 Pa = 760 mmHg=10,33 mce (metre colone d’eau)
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1- Unités de la pression:
La pression est homogène au quotient d’une force par unité de surface, son équation aux
MLT −2
= ML−1T − 2
dimensions est :
L²
Les unités usuelles de la pression sont :
- Le bar : Kgf/cm²
- Le pascal : N/m²
- Le barye : dyne/cm²
- L’atmosphère : 1 atm=1,0134 bar
- ….etc
2- Mesure de la pression :
La mesure de la pression se fait par le manomètre pour les pression relatives
(manométriques) positives (pression absolue au dessus de la pression atmosphérique), et par
le vacuomètre pour les pressions relatives négatives (pressions vacuomètriques).
Fig( ) : Manomètre type bourdon.
Il y’ a entre autre divers types d’instrument de mesures de la pression, dont :
a- Le piézomètre :
Le piézomètre est l’instrument de mesure de la pression le plus simple, c’est un tube raccordé
au point ou on veut déterminer la pression, celle-ci n’est autre que la hauteur d’eau qui monte
dans ce tube.
L
h
α
Fig( ) : piézomètres verticale et incliné.
Le piézomètre est souvent vertical, la pression en un point est équivalente à : P = ϖh
Si le piézomètre est incliné : P = ϖh = ϖL sin(α )
b- Piézomètre en U :
Il consiste en un tube en U dont une extrémité est raccordée au point de mesure et l’autre à
l’aire libre, le tube contient soit du mercure ou autre liquide plus dense que le fluide dont la
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pression est à mesurer pour la mesure des pression manométriques, ou contient un liquide plus
léger (moins dense que le liquide dont on veut mesurer la pression) pour le cas des mesures
de la pression vacuomètrique.
ρ2
ρ1
ρ1
A
A
h2
h1
h2
h1
ρ2
Pour une pression manométrique (1er cas) : P A = ρ 2 gh 2 − ρ 1 gh 1
Pour une pression vacuométrique (2em cas) : PA = −(ρ 2 gh2 + ρ1 gh1 )
N.B : Le plan horizontale, qui passe par un seul liquide continu, est un plan d’égale pression
(ou isobare, isopiéze…etc).
c- Manomètre différentiel :
C’est un tube raccordé entre deux point où en veut déterminer la différence de pression ou
hauteur piézomètrique, il peut être à un seul liquide avec valve d’entrer d’air, ou à deux
liquides.
Valve d’entrée d’air
ρ1
ρ2
h
h
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3- Pression exercée par un liquide au repos sur une surface solide :
6-1- Définitions :
a- Force de poussée hydrostatique :
Cette force est définie comme étant la force de pression exercée par un liquide au repos
sur une surface de contacte, cette force est toujours normale à la surface.
b- Centre de poussée :
C’est le point d’application de la résultante de la force de poussée sur la surface de
contact.
On traitera dans ce qui suit le cas des plaques planes ensuite les plaques courbées.
6-2- Cas d’une plaque plane verticale immergée dans un liquide :
Soit une plaque plane AB immergée dans un liquide de poids volumique
.
ϖ
b
A
h
hG
hC
dh
F
Fig( ) : Plaque plane verticale de
forme quelconque
G
CP
B
G est le centre de gravité de la plaque et CP le centre de poussée.
a- Force de poussée hydrostatique :
Soit un élément de surface de la plaque « dh », la pression qui s’exerce sur cet élément
est : P = ϖh
La surface de l’élément est dS = bdh
La force de poussée exercée sur l’élément sera : dF = PdS = ϖhdh
Donc la force de poussée totale sur la plaque sera :
∫ hdS : est le moment statique de la surface par rapport à la surface libre.
∫ hdS = h S
G
Donc : F = ϖhG S
(III,7)
hG : est la profondeur du centre de gravité de la plaque.
S : la surface de la plaque.
ϖ : Le poids volumique du liquide.
b- Centre de poussée :
Le centre de poussée CP est déterminé en utilisant le principe des moments :
Qui stipule que la somme des moments des forces exercées par rapport à un axe est
égale au moment de la résultante de ces forces par rapport au même axe.
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∫
h ² dS
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= I 0 : C’est le moment d’inertie de la surface par rapport à la surface
libre.
⇒ Fh C = ϖ I 0 , et F = ϖhG S
⇒ ϖ h G Sh C = ϖ I 0
I
(III,8)
⇒ hC = 0
hG S
Suivant le théorème des axes parallèles :
I 0 = I G + ShG2 ,
IG : est le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité.
Si on remplace, on trouve :
I + ShG2
I
hC = G
= hG + G
(III,9)
ShG
ShG
On remarque que la position du centre de poussée est indépendante du poids volumique
du liquide.
6-3- Cas d’une plaque incliné :
Soit une plaque de forme quelconque immergée et inclinée d’un angle θ.
O
θ
hC hG
h
b
G
CP
YG
dY
YC
Fig( ) : Plaque plane inclinée
On procède de la même manière que le cas verticale, sauf que l’axe des moments
passe par le point « O ».
a- Force de poussée :
La pression sur l’élément « dY » est P = ϖ h
dF = PbdY = ϖhbdY , h = Y sin(θ )
dS= bdY.
∫ YdS = YG S
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F = ϖ sin(θ )YG S , hG = YG sin(θ )
⇒ F = ϖhG S
(III,10)
C’est la même expression que (III,7).
b- Centre de poussée :
La force de poussée exercée sur un élément dY : dF = ϖhbdY = ϖY sin(θ )dS
Le moment de la force par rapport à l’axe « O ».
dM = dFY = ϖY ² sin(θ )dS
⇒ M = ∫ ϖ sin(θ )Y ² dS = ϖ sin(θ ) ∫ Y ² dS = ϖ sin(θ ) I 0
M = FYC = ϖ sin(θ ) I 0
⇒ ϖYG sin(θ ) SYC = ϖ sin(θ ) I 0
I
I
⇒ YC = 0 = G + YG
(III,11)
YG S YG S
hC
h
YC =
, YG = G
sin(θ )
sin(θ )
I sin ²(θ )
On trouve donc : hC = G
+ hG
(III,12)
hG S
C’est la même expression que (III,9)
6-4- Cas d’une surface courbée :
Soit une surface courbée totalement immergée :
F
A
F Fy
dS
dS cos(θ)
θ
Fx
E
B
Fig( ) : Force de poussée sur paroi courbée.
θ
G
dS sin(θ)
La surface élémentaire « dS » est situé à une profondeur de « h », la pression qui s’ y exerce
est : P = ϖh
Donc la force élémentaire sera : dF = ϖhdS ⇒ F = ∫ ϖhdS
(III,13)
La dernière intégrale n’est pas possible dans tous les cas, car la force F change de direction (θ)
sur la paroi, ce problème peut être dépassé par l’adoption de deux composante « dFx et dFy »,
suivant les deux axes X et Y.
dFx = dF sin(θ ) = ϖh sin(θ )dS
dFy = dF cos(θ ) = ϖh cos(θ )dS
Après intégration on obtient :
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Fx = ∫ dFx = ϖ ∫ h sin(θ )dS
Fy = ∫ dFy = ϖ ∫ h cos(θ )dS
On remarque que : dS sin(θ) est la projection de la surface sur un plan vertical.
Donc : Fx = ϖ ∫ h sin(θ )dS = ϖhG S .
Où hG est la profondeur de la projection de la surface sur un plan vertical.
Pour la deuxième composante : dS cos(θ) est la projection horizontale de la surface courbée ,
d’où : ∫ h cos(θ )dS est le volume de liquide copris entre la surface courbée est le plan de la
surface libre, de ce fait ;
Fy est le poids du volume de liquide compris entre la paroi et la surface libre.
6-5- Méthode graphique de détermination de la force et du centre de poussée :
Pour un liquide au repos, la variation de la pression avec la profondeur est linéaire, donc une
épure de pressions peut représenter la force de poussée hydrostatique.
Donc la force de poussée ne sera que le volume de l’épure des pressions, et le centre de
poussée le centre de gravité de l’épure.
Pour une paroi rectangulaire :
Par la méthode analytique on a :
1
1
F = ϖ hG S = ϖ
hhb = ϖ bh ²
2
2
IG
2
Et : hC = hG +
= h
ShG 3
Par la méthode graphique on trouve directement :
2
1
F = ϖ bh ² et hC = h (centre de gravité d’un
2
3
triangle.
9
h
ρgh
Fig( ) : Epure des pressions