Chap 3 : Forces de poussées hydrostatiques

Hydraulique Générale Ammari A.
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Chap 3 : Forces de poussées hydrostatiques
L’hydrostatique est l’étude de l’eau au repos, on s’intéressera dans cette partie à
l’étude des forces de poussées sur les parois plane et courbées, leurs valeurs, directions et
points d’application, ensuite on verra la flottabilité et à la fin l’équilibre relatif, qui met en
évidence le comportement d’un liquide au repos soumis à une accélération rectiligne ou un
mouvement rotationnel.
1- Pression :
a- Définition de la notion de pression :
La pression est définie comme étant une force exercée par unité de surface.
b- Propriété de la pression en un point (fluidité parfaite) :
Soit un repère arbitraire AX, AY, AZ.
On coupe ce dernier par un plan ABC infiniment proche de A.
Posons : - Aire BCD= dw.
- Aire ACD= dw
x
=.
- Aire BDA= dw
y
= .
- Aire CAB = dw
z
= .
α, β, γ sont respectivement les angles que fait la normale à BCD avec les trois axes.
Soit la force pression exercée en tous points de la surface élémentaire dw.
• dF
x
=P
x
dw
x
• dF
y
=P
y
dw
y
• dF
z
=P
z
dw
z
dF, dF
x
,dF
y
,dF
z
sont normales aux faces du tétraèdre sur lesquelles elles s’appliquent.
Suivant le principe d’Alembert, l’élément ABCD est en équilibre sous l’action des forces
suivantes :
- Les forces de pression.
- Le poids.
- Les forces d’inertie s’il y a mouvement.
Le poids est négligeable devant la pression, et puisqu’il n’ y a pas de mouvements relatifs,
donc les seules forces présentes.
Sur l’axe AX : -dFcos(α)+dF
x
=0 , ou Pdwcos(α)=P
x
dw
x
, donc : P=P
x
De même pour AY et AZ : P=P
y
et P=P
z
Rapprochons infiniment le plan BCD du point A, en le maintenant parallèle à lui-même
jusqu’à ce qu’il contient A, Les pressions P
x
, P
y
, P
z
et P sont égales entres elles, et elle
deviennent les pression au point A dans quatre directions arbitraires.
Z
Y
X
D
B
C A

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Théorème de Pascal :
Dans un liquide de fluidité parfaite, en équilibre ou en mouvement, la pression en un
point est la même dans toutes les directions autour de ce point .
N.B : La pression est une grandeur scalaire, elle ne dépend que de la position du point et non
de l’orientation.
2- Equation générale de l’hydrostatique :
Soit un parallélépipède fluide représenté dans un repère OX,OY ,OZ. Les arrêtes du
parallélépipède sont : dx, dy, dz.
La masse du parallélipipéde est
ρdxdydzm
=
ρ: est la masse volumique du fluide.
Les forces qui agissent sur cet élément sont :
b- Les forces extérieures.
c- Les forces intérieures (forces de pression).
Pour que cet élément soit en équilibre il faut que la somme des forces suivant toutes les
directions soit nulle :
a- Forces extérieures :
Soit F
X
,F
Y
,F
Z
les composantes par unité de masse des forces extérieures suivant OX,OY,OZ.
Soit
F
r
la résultantes des forces extérieures, qui a une unité d’accélération :
(III,1)
b- Forces de pression :
La somme des forces de pression exercées suivant OX est égale à la somme des forces de
pression exercées sur la face perpendiculaire à OX, soit ABCD et EFGH.
Soit P la pression exercée en A, dx est la distance entre A et E, donc la pression en E
sera : dx
x
P
P∂
∂
+ .
La somme algébrique de ces deux pressions est donc :
La force de pression serait :
On trouve de même pour l’axe OY :
Et pour OZ :
La condition d’équilibre suivant OX s’écrit :
B
A
X
Y
Z
C
D
E F
G
H
O
Fig( ) : parallélépipède fluide

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3
0=
∂
∂
−dxdydz
x
P
dxdydzF
X
ρ
Et de même pour les deux autres axes :
……….(III,2)
En multipliant les termes du système précédent respectivement par dx, dy et dz et en
additionnant les trois équations on trouve :
dzFdyFdxFdP
ZYX
++=
ρ
1 …………. (III,3)
C’est l’équation fondamentale de la statique des fluides.
Pour une surface équipotentiel, ou surface d’égale niveaux ou d’égale pression :
00 =++⇒=dzFdyFdxFdP
ZYX
…………..(III,4)
3- Cas d’un fluide incompressible soumis à la seule action de la pesanteur :
Soit un repère OXYZ de manière à ce que OZ soit verticale et positif vers le haut.
F
x
=0, F
y
=0 et F
z
=-g , (g) est l’accélération de la gravité.
En remplaçant les composantes de la force dans l’équation fondamentale (III,3) on trouve :
0
1
=+⇒
−=
gdzdP
gdzdP
ρ
ρ
Donc : 0
=
+
dzdP
ϖ
(III,5)
Pour une surface d’égale dP=0
constZ
dzgdz
= ⇒
=
⇒
=
00
ρ
Donc pour un fluide soumis à la seule action de la pesanteur, les surfaces d’égale pression
sont horizontales.
Pour un fluide incompressible de fluidité parfaite l’intégral de (III,5) donne :
*
PzP =+ ϖ
Ainsi :
(III,6)
La grandeur
ϖ
P a une unité de longueur, c’est la hauteur représentative de la pression au point
considéré.
H a aussi une unité de longueur c’est la hauteur piézomètrique.
Chaque point du plan d’égale pression a la même pression et hauteur piézomètrique.
La surface libre d’un liquide aussi est une surface d’égale pression.
h
PPPP
atmrelatm
+=+=
ϖ
ϖ
ϖ
ϖ
P est la pression absolue (totale) au point considéré.
P
atm
: la pression atmosphérique.
P
rel
: la pression relative (manométrique ou vacomètrique si elle est négative)
h : la hauteur représentative de la pression.
N.B : La pression atmosphérique au niveau de la mer aux conditions normales est :
P
atm
= 1 atmosphére=1,010340 bar = 101340 Pa = 760 mmHg=10,33 mce (metre colone d’eau)

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1- Unités de la pression:
La pression est homogène au quotient d’une force par unité de surface, son équation aux
dimensions est :
21
2
²
−−
−
=TML
L
MLT
Les unités usuelles de la pression sont :
- Le bar : Kgf/cm²
- Le pascal : N/m²
- Le barye : dyne/cm²
- L’atmosphère : 1 atm=1,0134 bar
- ….etc
2- Mesure de la pression :
La mesure de la pression se fait par le manomètre pour les pression relatives
(manométriques) positives (pression absolue au dessus de la pression atmosphérique), et par
le vacuomètre pour les pressions relatives négatives (pressions vacuomètriques).
Fig( ) : Manomètre type bourdon.
Il y’ a entre autre divers types d’instrument de mesures de la pression, dont :
a- Le piézomètre :
Le piézomètre est l’instrument de mesure de la pression le plus simple, c’est un tube raccordé
au point ou on veut déterminer la pression, celle-ci n’est autre que la hauteur d’eau qui monte
dans ce tube.
Fig( ) : piézomètres verticale et incliné.
Le piézomètre est souvent vertical, la pression en un point est équivalente à : hP
ϖ
=
Si le piézomètre est incliné : )sin(
α
ϖ
ϖ
LhP
=
=
b- Piézomètre en U :
Il consiste en un tube en U dont une extrémité est raccordée au point de mesure et l’autre à
l’aire libre, le tube contient soit du mercure ou autre liquide plus dense que le fluide dont la
h
L
α

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pression est à mesurer pour la mesure des pression manométriques, ou contient un liquide plus
léger (moins dense que le liquide dont on veut mesurer la pression) pour le cas des mesures
de la pression vacuomètrique.
Pour une pression manométrique (1
er
cas) :
1122
ghghP
A
ρρ −=
Pour une pression vacuométrique (2em cas) :
(
)
1122
ghghP
A
ρρ +−=
N.B : Le plan horizontale, qui passe par un seul liquide continu, est un plan d’égale pression
(ou isobare, isopiéze…etc).
c- Manomètre différentiel :
C’est un tube raccordé entre deux point où en veut déterminer la différence de pression ou
hauteur piézomètrique, il peut être à un seul liquide avec valve d’entrer d’air, ou à deux
liquides.
A
h
1
h
2
ρ
1
ρ
2
A
h
1
h
2
ρ
1
ρ
2
h
Valve d’entrée d’air
h
ρ
2
ρ
1