ARITHM´
ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2005-2006
Mercredi 15 novembre 2000
Question de cours. Donner la d´efinition de PQ`a l’aide des connecteurs logiques ,et
¬. Donner la table de v´erit´e de PQ.
Exercice 1. Pour tout n1, on note Snla somme des carr´es des npremiers nombres impairs
Sn= 1 + 32+. . . + (2n1)2=
n
X
j=1
(2j1)2.
Montrer que, pour tout n1
Sn=n(2n1) (2n+ 1)
3.
Exercice 2. Pour tout sous ensemble Ade E, on note Acle compl´ementaire de Adans E. Si A
et Bsont deux sous ensembles de E, on note AB=ABc.
1 - Donner la fonction indicatrice de ABen fonction des fonctions indicatrices de Aet de B.
2 - En utilisant les fonctions indicatrices, montrer que, si A,Bet Csont des sous ensembles de E
A(AB)c(AC)c=ABC.
Exercice 3. On dit qu’une fonction fest uniform´ement continue sur [0,1] si
ε > 0,η > 0,x, y [0,1],(|xy| ≤ η⇒ |f(x)f(y)| ≤ ε).
Donner, `a l’aide des quantificateurs, la d´efinition de ”fn’est pas uniform´ement continue sur
[0,1]”.
1
ARITHM´
ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2005-2006
Mardi 6 novembre 2001
Question de cours. Donner la d´efinition de PQ`a l’aide des connecteurs logiques ,et
¬. Donner la table de v´erit´e de PQet celle de ¬Q⇒ ¬P.
Exercice 1. Pour tout n1, on rappelle que
Cn
2n=(2n)!
n!n!
Montrer par r´ecurrence que, pour tout n1
Cn
2n4n.
Exercice 2. Pour tout sous ensemble Ade E, on note Acle compl´ementaire de Adans E. Si A
et Bsont deux sous ensembles de E, on note AB=ABc.
1 - Donner la fonction indicatrice de ABen fonction des fonctions indicatrices de Aet de B.
2 - En utilisant les fonctions indicatrices, montrer que, si A,Bet Csont des sous ensembles de E
A(AB)c(AC)c=ABC.
Exercice 3. On dit qu’une fonction fest d´erivable en 0 si
lR,ε > 0,η > 0,x, R,³|x| ≤ η⇒ |f(x)f(0) l x| ≤ ε|x|´.
Donner, `a l’aide des quantificateurs, la d´efinition de ”fn’est pas d´erivable en 0”.
2
ARITHM´
ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2005-2006
Mardi 18 D´ecembre 2001
Question de cours. ´
Enoncer le ”petit Th´eor`eme de Fermat”.
Exercice 1. R´esoudre (3x2y3 [6]
2xy4 [3]
Exercice 2. D´eterminer l’exposant de 5 dans la d´ecomposition en facteurs premiers de 200.
Exercice 3. On consid`ere le nombre
N= 21357 + 23573 + 25735
Est ce que Nest un multiple de 3 ? un multiple de 5 ? un multiple de 7 ?
3
ARITHM´
ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2005-2006
Universit´e Paris XII MIAS 1
UFR de Sciences Logique et Nombres
Examen du 24 Janvier 2000
Dur´ee : 2 heures
Les documents et les calculatrices ne sont pas autoris´es.
Exercice 1 : Montrer par r´ecurrence que, pour tout nN, 22×3n1 est divisible par 3n+1.
Exercice 2 : Soit Eun ensemble. On note P(E) l’ensemble des parties de E. Pour tout
A, B ∈ P(E) on note A4B= (AB)(BA).
1 - Montrer que, pour tout A, B, C ∈ P(E), on a
(BCAet CDA) =BDA
2 - Soit A∈ P(E). Montrer que la relation RAefinie sur P(E) par
BRACB4CA,
est une relation d’´equivalence.
3 - Pour tout B∈ P(E), pr´eciser la classe de Bmodulo RA.
Exercice 3 : Si xet ysont deux entiers, on note xyle pgcd de xet de y.
1 - D´ecomposer 576240 en facteurs premiers.
2 - D´eterminer une solution du syst`eme
(xy= 14
x4y4 = 576240
dans N2.
Exercice 4 : On veut r´esoudre, dans Z/35Z, l’´equation ˙x2˙
1 = ·0.
1 - Montrer que xZerifie x210 [35] si et seulement si ( x21≡ ·0 [5] et x210 [7]).
2 - D´eterminer l’ensemble des solutions de x210 [5] ainsi que l’ensemble des solutions de
x210 [7].
3 - D´eterminer a, b Ztels que 7a+ 5b= 1.
4 - D´eterminer l’ensemble des solutions de ˙x2˙
1 = 0 dans Z/35Z.
4
ARITHM´
ETIQUE ET GROUPES Ann´ee 2005-2006
DEUG MIAS I Ann´ee 2000-2001
Logique et Nombres
Lundi 22 Janvier 2001
Dur´ee : 2 heures
Exercice 1. Pour tout nNet pour tout 0 kn, on note
Ck
n=n!
(nk)! k!
Montrer par r´ecurrence que
Cn
2n4net que C2n
3nµ27
4n
.
Exercice 2. Trouver toutes les solutions (x, y)Z2du syst`eme
(4x3y2 [6]
2x+y1 [5]
Exercice 3. 1 - Calculer le reste de la division euclidienne de 1717 par 4.
2 - En utilisant la question 1, d´eterminer le reste de la division euclidienne de
231717 et de 171717
par 10.
Exercice 4. Soit nN.
1 - On suppose que n=p q o`u p2, q2 et p6=q. D´eterminer (n1)! modulo n.
2 - On suppose que n=p2o`u p2. D´eterminer (n1)! modulo n.
3 - On suppose que nest un nombre premier. D´eterminer (n1)! modulo n.
5
1 / 13 100%
La catégorie de ce document est-elle correcte?
Merci pour votre participation!

Faire une suggestion

Avez-vous trouvé des erreurs dans linterface ou les textes ? Ou savez-vous comment améliorer linterface utilisateur de StudyLib ? Nhésitez pas à envoyer vos suggestions. Cest très important pour nous !