Trigonométrie et repérage polaire

Première S/Trigonométrie et repérage polaire
1. Rappels :
Exercice 6038
C
On considère le triangle ABC
rectangle en B représenté cidessous :
’
¸ = CAB
2. En déduire la mesure de
’ arrondie au
l’angle CDB
degré près.
9c
o
60
α
D
A
’
; ˛ = ABC
β
α
A
B
’ et CBA
’ sont deux angles
1. Justifier que les angles CAB
complémentaires.
m
8,
1. Déterminer la longueur
du segment [BC] arrondie au millimètre près.
C
On considère un triangle
ABC rectangle en C. On
note :
2.
B
4 cm
a. A l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC,
exprimer les valeurs de cos ¸ et sin ˛.
(ı
)
b. En déduire l’égalité : cos ¸ = sin
−¸
2
3.
a. A l’aide des longueurs des côtés du triangle ABC,
exprimer les valeurs de tan ¸ et tan ˛
(ı
)
1
b. En déduire l’égalité : tan
−¸ =
2
tan ¸
(
)2 (
)2
4. Etablir l’égalité :
cos ¸ + sin ¸ = 1
Exercice 2182
2. Radians :
cutifs de chacun de ces polygones :
Exercice 2721
a. A
A
b.
A
c.
B
IB
O
I
O
I
O
C
120 o
Ci-dessous sont [représentées
deux droites graduées représen]
tant l’intervalle 0 ; 2ı . Compléter la graduation du bas (représentant une mesure d’angle en radian), puis compléter les
valeurs du haut représentant la conversion correspondante en
degré :
B
D
C
d. B
e.
A
1.
B
f.
A
B
C
A
C
π
2
π
2π
C
I
O
D
g. C
2.
π
2
I
O
π
2π
E
F
E
E
B
h.
A
0
ID
O
D
135 o
0
C
B
i. D
B
A
D
E
IE
O
H
On a représenté ci-dessous les neufs premiers polygones réguliers inscrit dans le cercle trigonométrique. Donner la mesure,
en radians, de l’angle au centre séparant deux sommets consé-
C
A
D
I
O
F
K
J
F
G
I
O
F
E
Exercice 2188
G
F
G
G
H
H
Sauriez-vous les nommer ?
Première S - Trigonométrie et repérage polaire - http://chingatome.net
J
4. Angles orientés :
Exercice 810
Dans le plan muni d’un reJ
père orthonomal (O ; I ; J),
C
M
on considère le cercle de
centre O et de rayon 1
appelé cercle trigonomé+
π
trique.
+ 3
Tout point M définit un
I
O
− π
’.
angle géométrique IOM
3
Le sens de parcours du
−
cercle trigonométrique permet de caractériser tout
point du cercle par son
M′
angle géométrique :
˜ est orienté dans le sens
l’angle est positif si l’arc IM
inverse des aiguilles d’une montre.
˜ est orienté dans le sens des
l’angle est négatif si l’arc IM
aiguilles d’une montre.
Dans la représentation
:
Ä −→ −−→ci-dessus
ä
ı
On a :
OI ; OM = + rad
3
( ı)
Dans le cercle trigonométrique, on note M +
.
3
Ä −→ −−−→ ä
ı
On a :
OI ; OM ′ = − rad
3
( ı)
Dans le cercle trigonométrique, on note M ′ − .
3
1. Dans la figure
ci-dessous, rajouter le signe
permettant de
repérer chaque
point
marqué
du cercle trigonométrique :
3π
4
2π
3
J
O
I
π
6
π
4
K
M
I
M′
N
J
′
′
P′
1. Donner la mesure des angles repérant les points M , N ,
P en radians.
2. Les points M ′ , N ′ , P ′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OI) :
Ä−→ −−→ä Ä−→ −−−→ä
a. Que peut-on dire de OI ; OM et OI ; OM ′ ?
b. Donner
la mesure
en
radians ädes angles
:
Ä−→ −
Ä−→
Ä−→ suivants
−−→′ä
−−→′
−−→′ä
OI ; OM
; OI ; ON
; OI ; OP
a. Quelle
algébrique
vérifie
Ä−→ relation
Ä−→ −−−
ä les deux angles :
→
−−→ä
′′′
OI ; OM
; OI ; OM
L
2π
3
N
4. Les points M ′′′ , N ′′′ et P ′′′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OJ) :
π
6
3π
4
P
b. Donner
la mesure
en
radians des
Ä−→ −
ä
Ä−→
ä angles
Ä−→suivants
ä :
−−→
−−−→
−−→
′′
′′
′′
OI ; OM
; OI ; ON
; OI ; OP
π
4
5π
6
J
3. Les points M ′′ , N ′′ et P ′′ sont respectivements les symétriques des points M , N , P par rapport à l’axe (OJ) :
Ä−→ −−→ä Ä−→ −−−→ä
a. Que peut-on dire de OI ; OM et OI ; OM ′′ ?
π
3
5π
6
Dans le
d’un reP ′′
( plan muni
)
′′
N
père O ; I ; J , on considère le cercle trigonomé- M ′′
trique représenté ci-dessous
sur lequel est placé plusieurs
points :
I′
Les points M , N , P vérifient
les mesures suivantes :
′′′
’ = 30o ; ION
’ = 45o M
IOM
N ′′′
‘ = 60o
IOP
P ′′′
π
3
2. Dans le cercle trigonométrique ci-dessus, placer sur cette
figure les points M , N , P , Q, R, S réalisant les mesures
suivantes :
Ä−→ −−→ä
Ä−→ −−→ä
ı
5ı
rad
a. OI ; ON = − rad
b. OI ; OP =
4
6
Ä−→ −−→ä
Ä−−→ −−→ä
2ı
ı
c. OI ; OQ = −
d. OK ; OR = − rad
rad
3
4
Ä−−→ −→ä
Ä−→ −→ä
ı
ı
e. OK ; OS = rad
f. OJ ; OT = − rad
6
4
Exercice 5464
b. Donner
la mesure
enÄ radians des
Ä−→ −
ä
ä angles
Ä−→suivants
ä:
−−→
−−→
−→ −−−→
′′′
′′
′′
; OI ; ON
; OI ; OP
OI ; OM
Exercice 5465
C
On considère le quadrilatère ABCD représenté cidessous qui est constitué
de deux triangles ABC et
ACD respectivement équila- D
téral et isocèle rectangle en
D.
B
I
A
A l’aide des points de cette figure et pour chaque question,
donner un angle orienté réalisant les mesures suivantes :
a.
ı
rad
3
b. −
ı
rad
4
c. −
ı
rad
6
d.
7ı
rad
12
5. Angles associés :
Exercice 2179
On considère( le cercle
) trigonométrique C dans le plan muni
d’un repère O ; I ; J
Première S - Trigonométrie et repérage polaire - http://chingatome.net
1.
a. Déterminer les coordonnées cartésienne du
point M .
b. Placer le point M ′ symétrique du point M
par la symétrie d’axe
(OJ). Donner les coordonnées cartésiennes
du point M ′ . Puis, donner l’angle repérant le
point M ′ dans le cercle
C.
2.
Exercice 2871
J
N
M
π
3
π
6
O
I
1. Tracer un cercle trigonométrique et placer les points suivants dont le repérage par leur mesure principale :
( 2ı )
( 3ı )
( 5ı )
a. A
b. B −
c. C
3
4
6
(ı)
( ı)
( ı)
d. D
e. E −
f. F −
4
4
6
2. Préciser les valeurs du cosinus et du sinus associées à
chacun des angles repérant les points précédents.
Exercice 2153
c. Placer le point M ′′ symétrique du point M par la
symétrie d’axe (OI). Donner les coordonnées cartésiennes du point M ′′ . Puis, donner l’angle repérant le
point M ′′ dans le cercle C .
On considère le cercle trigonométrique ci-dessous où est
inscrit un dodécagone (polygone régulier à 12 côtés)
a. Déterminer les coordonnées cartésienne du point N .
1. DéterminerÄ la mesure
−→ −→ä
de l’angle OI ; OA
′
b. Placer le point N symétrique du point N par la symétrie d’axe (OJ). Donner les coordonnées cartésiennes
du point N ′ . Puis, donner l’angle repérant le point N ′
dans le cercle C .
c. Placer le point N ′′ symétrique du point N par la symétrie d’axe (OI). Donner les coordonnées cartésiennes
du point N ′′ . Puis, donner l’angle repérant le point N ′′
dans le cercle C .
J
A
O
I
2. Placer sur la figure cidessus les points M , N ,
P tels que :
Ä−→ −−→ä
2ı
OI ; OM =
rad
3
Ä−→ −−→ä
ı
c. OA ; OP = − rad
2
a.
Ä−→ −−→ä
ı
OJ ; ON = − rad
6
Ä−−→ −→ä
5ı
c. OQ ; OJ = −
rad
6
b.
6. Angles associés et formule trigonométrique :
Exercice 2235
1. Simplifier chacune des expressions suivantes :
( ı)
(
)
a. cos x−ı
b. sin x−
2
( ı)
( ı)
c. sin x+
d. cos x+
2
2
sinx
ı
2. A l’aide de la relation : tanx =
où x ̸= +k·ı
cosx
2
simplifier les expressions suivantes :
(ı
)
(
)
a. tan x+ı
b. tan
−x
2
Exercice 2230
1. Etablir l’égalité : cos
5ı
ı
+ cos
=0
6
6
2. Déterminer la valeur des coefficients ¸ et ˛ réalisant
l’égalité
:
( ı)
( ı ) suivante
8ı
6ı
ı
ı
2·cos − +3·cos −2·sin +sin − =¸·cos +˛·sin
7
7
7
7
7
7
Exercice 2304
1. Déterminer les valeurs exactes des expressions cidessous :
( 7ı )
( 5ı )
( 5ı )
a. sin
b. cos −
c. cos
3
4
6
2. Exprimer l’expression suivante à l’aide des rapports triı
gonométriques de
:
5
4ı
6ı
3ı
A = 2· cos
+ 3· sin
− 4· sin
5
5
10
Exercice 2244
1. On donne la
exacte ci-dessous :
»valeur
√
2+ 2
ı
cos =
.
8
2
(
) (
)2
a. En utilisant la formule cos x + sin x =1, détermiı
ner la valeur exacte de sin .
8
5ı
b. En déduire la valeur exacte de cos
en justifiant
8
votre démarche.
»
√
ı
c. Etablir l’égalité : tan = 3 − 2 2 .
8
2. On considère l’expression suivante :
9ı
5ı
7ı
A = cos
− 3· sin
+ 2· cos
8
8
8
Déterminer une écriture de l’expression de A en fonction
ı
des rapports trigonométriques de l’angle .
8
7. Mesures principales :
Première S - Trigonométrie et repérage polaire - http://chingatome.net
entier k réalisant cet encadrement.
Exercice 2738
c. En déduire la mesure principale de l’angle ¸.
On considère
où sont placés les
( 20 la
) droite
( 17graduée
)
(ci-dessous
43 )
points A
ı ,B −
et C
ı .
3
5
8
B
C
A
-5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
1.
a. Graphiquement, déterminer le nombre de fois dont
on doit enlever 2·ı à l’abscisse du point A afin d’obtenir la mesure principale de ce nombre ?
20
b. En déduire la mesure principale de
.
3
2. De la même manière, déterminer la mesure principale des
angles suivants :
a. −
29
ı
3
b. −
27
ı
4
c.
70
ı
9
Exercice 2799
1. Donner, sous forme de réunions d’intervalles, l’ensemble
formé par les mesures principales des angles repérant les
points surlignés du cercle trigonométrique :
J
J
a.
2. Déterminer la mesure principale des abscisses des points
B et C.
b.
Exercice 2201
Déterminer la mesure principale des angles orientés de mesure
suivante :
9ı
192ı
5ı
a.
b.
c. −
4
6
4
33ı
16ı
52ı
d. −
e.
f.
2
7
3
Exercice 2737
O
I
I
O
2. Pour chaque question, surligner l’ensemble des points
ayant pour angle orienté l’ensemble précisé sous le cercle
trigonométrique :
a.
1. On se propose, dans cette question, de déterminer la me73
sure principale de l’angle ¸ = ı :
5
a. Soit k un entier relatif réalisant l’encadrement suivant :
73
−ı <
ı+2·k·ı ⩽ ı
5
Réaliser un encadrement de k à l’aide de l’encadrement
ci-dessus.
J
b.
O
[ 13ı 29ı ]
;
3
6
b. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’unique nombre
I
J
O
I
[ ı 8ı ]
;
2 3
8. Angles oriéntés et algèbre :
On souhaite montrer que les points D, F et E sont alignés.
Exercice 2233
On considère le carré ABCD.
Soit le point E extérieur au carré tel que BCE soit équilatéral.
Soit F le point intérieur au carré tel que le triangle ABF soit
équilatéral.
D
C
F
1.
a. Donner la mesure des deux angles orientés suivants :
Ä−→ −−→ä
Ä−−→ −−→ä
AF ; AD
; DF ; DA
Ä−−→ −−→ä
b. En déduire la mesure de l’angle orienté DC ; DF .
Ä−−→ −−→ä
2. a. Donner la mesure de l’angle orienté CD ; CE .
Ä−−→ −−→ä
b. En déduire la mesure de l’angle orienté DC ; DE .
3. En déduire que les points D, F et E sont alignés.
E
Les questions suivantes ont pour objectif d’utiliser la relation
de Chasles.
4. Détermmminer la mesure des angles orientés :
Ä−−→ −−→ä
Ä−→ −−→ä
a. BE ; CF
b. AF ; CE
A
B
9. Equations :
Première S - Trigonométrie et repérage polaire - http://chingatome.net
3. Résoudre dans
√ R, l’équation suivante :
3
cos x =
2
Exercice 5482
Dans (le plan ) muni d’un repère O ; I ; J , on considère
le cercle trigonométrique représenté ci-dessous :
1.
√
3
2
√
2
2
Exercice 2624
1
2
√
-
2
2
√
2
2
a. Sur le cercle trigo√
√
1
1
3
- 23 - 2
2
nométrique, placer les
2
′
deux points M et M
- 12
√
ayant
pour
abscisse
√
- 22
√
- 23
2
−
.
2
b. Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre
l’équation : √
2
cos x = −
2
2. Dans l’intervalle des mesures principales, résoudre les
équations suivantes :
√
1
1
3
a. sin x =
b. cos x =
c. sin x = −
2
2
2
Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
3
2
a. sin x =
b. cos x =
2
2
Exercice 2874
]
]
1. Résoudre dans l’ensemble −ı ; ı des mesures principales, les équations suivantes :
√
2
1
a. cos x =
b. sin x = −
2
2
√
3
1
c. sin x =
d. cos x = −
2
2
2. Résoudre dans R les équations suivantes :
√
√
3
2
a. cos x =
b. sin x = −
2
2
Première S - Trigonométrie et repérage polaire - http://chingatome.net