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Terminale S - obligatoire - Nombres complexes
Les exercices suivants sont-ils encore dans l'esprit du programme ?
Sont-ils hors programme ?
A tout point M d'affixe z (z  -i), on associe le point M' d'affixe z' avec
z' z 2 .
z i
1
2
1. En écrivant z = x + iy, x et y réels, calculer la partie réelle et la partie
imaginaire de z'.
2. Déterminer l'ensemble des points M tels que M' ait une affixe réelle.
3. Déterminer l'ensemble des points M tels que M' soit sur l'axe des
ordonnées.
Soit (E) l'équation : z3- 4z2+22z + 68 = 0.
1. a) Déterminer un nombre entier solution de (E).
b) Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des complexes.
2. On appelle A, B, C les images des solutions de (E) dans le plan
complexe. Déterminer la nature du triangle ABC.
1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l’équation :
z 2  3z 10 .
3
On désigne par b et c les solutions de l'équation précédente, b
ayant une partie imaginaire positive.
2. Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v) ; A est le point
d'affixe i, B et C sont les points d'affixes respectives b et c.
a) Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle ()de
centre O et de rayon 1.
b) Calculer le module de b-i. En déduire la nature du triangle OAB.
c) Démontrer que le quadrilatère OABC est un losange .

4


Soit : z  6  2 i 6  2 .
1. Calculer z2.
2. Déterminer le module et un argument de z2.
3. En-déduire le module et un argument de z .
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v) ;
A est le point d'affixe 1,
R1 est la rotation de centre O et d'angle  ,
3
R2 est la rotation de centre O et d'angle  ,
5
6
R ‘ est la rotation de centre A et d'angle  .
3
1. Démontrer que T = R' o R1 est une translation. Construire l'image B
de O par T et en déduire le vecteur de T.
2. Démontrer que U = R' o R2 est une rotation. Déterminer son angle
et l'affixe de son centre.
Terminale S - obligatoire - Nombres complexes
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v).
A0 est le point d'affixe 2, A'0 celui d'affixe 2i, A1 est le milieu de [A0A'0].
Plus généralement, si An est un point d'affixe zn, on désigne par A'n le
point d'affixe izn et par An+1 le milieu de [AnA'n] .
On note n et n le module et un argument de zn.
1. a) Placer les points Ao, A'0, A1, A'1, A2, A'2, A3 .
b) Calculer 0 , 1 , 2 , 3 , ainsi que 0 , 1 , 2 , 3 .
2.
Exprimer zn+1 en fonction de zn. En déduire zn en fonction de n.
6
Exprimer n et n en fonction de n.
Déterminer la limite de (n) et interpréter géométriquement le
résultat.
3.
Prouver que An An1 1 An1 An .
2
Après avoir exprimé AnAn+1 en fonction de n, déterminer la longueur
ln de la ligne brisée Ao AI A2 ... An. Déterminer la limite de ln .
7
 et x sont deux réels et n un entier supérieur ou égal à 1.
On considère les sommes :
A = cos  + cos(x + ) + cos(2x + ) +... + cos(nx +)
B = sin  + sin(x + ) + sin(2x + ) +... + sin(nx + )
Calculer A+iB. En déduire A et B.
8
Linéariser f(x) = cos4 x .
Calculer une-primitive de la fonction f.