Mathémathiques au Lycée - Perpendiculaires

Mathématiques en Terminale ES
David ROBERT
2008–2009

Sommaire
1 Généralités sur les fonctions : Rappels et compléments 1
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Autres fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Fonction trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4 La continuité (approche graphique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Variations : Fonctions associées – Somme de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Opérations algébriques et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Fonction rationnelle – Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.7 Lectures graphiques (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.9 Fonction dérivée (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.10 Dérivée et composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.11 Fonctions composées, sujet d’annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Limites des fonctions usuelles (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Opérations sur les limites (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Détermination de limites (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Limites, asymptotes et lectures graphiques (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.5 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.6 Limites de fonctions composées : lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.7 Limites de fonctions composées : calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.8 Inégalités et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 Fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Inégalités et limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Fonctions composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Devoir surveillé n°1 : Généralités sur les fonctions – Dérivation – Graphes 23
Devoir surveillé n°2 : Généralités sur les fonctions – Limites – Graphes eulériens 29
Devoir surveillé n°2 : Généralités sur les fonctions – Limites 33
2 Statistiques à deux variables 35
2.1 Activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Bilan et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.1 Nuage de points, point moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Droite de régression par la méthode de MAYER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Droite de régression par la méthode des moindres carrés ......................... 37
2.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Devoir surveillé n°3 : Généralités sur les fonctions – Statistiques 43

SOMMAIRE Terminale ES – 2 008–2 009
3 Calcul intégral 47
3.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Primitive d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.1 Définition et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 Primitive satisfaisant une condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.3 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.4 Opérations sur les primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.2 Intégrale d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3 Sujets d’annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Devoir surveillé n°4 : Statistiques – Calcul intégral – Équations de plans et de droites 61
4 Fonction logarithme népérien 67
4.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.4 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.5 lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2.6 Autres limites faisant intervenir le logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Propriétés algébriques du logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Équations et inéquations comportant un logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.1 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4.2 Résoudre lnx=m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Aide : retour sur la notion de dérivation 81
I Prérequis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II Lectures graphiques de nombres dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
IV Lectures graphiques et fonctions dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Aide : retour sur la notion de limite 91
I Retour sur la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
II Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
III Limites des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
IV Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.1 Règle essentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.2 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.3 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
IV.4 Limite de l’inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.5 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.6 Cas des formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
IV.7 Fonctions polynôme et rationelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
V Asymptotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.1 Asymptote verticale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.2 Asymptote horizontale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
V.3 Asymptote oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
VI Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VI.1 Technique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VI.2 Lectures graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
VI.3 Étude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
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Chapitre 1
Généralités sur les fonctions : Rappels et
compléments
Sommaire
1.1 Généralités ........................................................ 2
1.1.1 Fonctions affines ................................................. 2
1.1.2 Autres fonctions usuelles ............................................ 4
1.1.3 Fonction trinôme ................................................. 4
1.1.4 La continuité (approche graphique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.5 Composition de fonctions ............................................ 6
1.2 Dérivation ........................................................ 7
1.2.1 Variations : Fonctions associées – Somme de fonctions ........................... 7
1.2.2 Fonctions dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Opérations algébriques et dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Fonction rationnelle – Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.5 Tableau de variations ............................................... 8
1.2.6 Lectures graphiques ............................................... 8
1.2.7 Lectures graphiques (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.8 Fonction dérivée ................................................. 10
1.2.9 Fonction dérivée (bis) .............................................. 11
1.2.10 Dérivée et composition ............................................. 11
1.2.11 Fonctions composées, sujet d’annales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Limites .......................................................... 13
1.3.1 Limites des fonctions usuelles (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Opérations sur les limites (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.3 Détermination de limites (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.4 Limites, asymptotes et lectures graphiques (rappels) ............................ 14
1.3.5 Fonctions polynômes et fonctions rationnelles (rappels) .......................... 14
1.3.6 Limites de fonctions composées : lectures graphiques ........................... 15
1.3.7 Limites de fonctions composées : calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.8 Inégalités et limites ................................................ 16
1.4 Bilan et compléments ................................................. 17
1.4.1 Fonction continue ................................................ 17
1.4.2 Inégalités et limites ................................................ 18
1.4.3 Fonctions composées .............................................. 18
1.5 Exercices ......................................................... 19
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