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INSA DE LYON 2014-2015
Correction du QCM : Espaces vectoriels, Applications linéaires, Matrices (début)
Espaces vectoriels
Qu 1. Il est possible qu’un espace vectoriel possède exactement :
0élément 1élément 2éléments une infinité d’éléments
Soient Eun espace vectoriel sur K,F,Get Htrois sous-espaces vectoriels de E.
Qu 2. F∩Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 3. F∪Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 4. F+Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 5. Si E=F⊕Get E=F⊕Halors G=H.VRAI FAUX
Qu 6. Si dim F+ dim G= dim Ealors Fet Gsont supplémentaires. VRAI FAUX
Qu 7. Si dim F= dim G= 2 alors dim F+G= 4.VRAI FAUX
Qu 8. Si E=R5et dim F= dim G= 3 alors F∩G6={0E}.VRAI FAUX
Dans chacun des cas suivants, dire si l’affirmation « Fest un sous-espace vectoriel de E»
est vraie ou fausse.
Qu 9. F=(x, y, z)∈R3
3x+ 2z= 0 et x+y= 0avec E=R3.VRAI FAUX
Qu 10. F=(x, y, z)∈R3
x>0avec E=R3.VRAI FAUX
Qu 11. F=P∈R[X]
Z1
0
P(t)dt= 0avec E=R[X].VRAI FAUX
Qu 12. F=P∈R[X]
P+P0= 1avec E=R[X].VRAI FAUX
Qu 13. F=P∈R5[X]
deg(P)>2avec E=R5[X], l’ensemble des
polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 5.
VRAI FAUX
Soit Eun espace vectoriel sur Kde dimension finie p, soit B= (v1, v2, . . . , vn)une famille de
nvecteurs de Eet soit vn+1 un vecteur de Equi n’est pas dans B. Dans ce qui suit, jdésigne
un entier entre 1et n.
Qu 14. Si aucun des vi(pour 16i6n) n’est combinaison linéaire des autres,
alors Best libre.
VRAI FAUX
1

Qu 15. Si les vi(pour 16i6n) sont non colinéaires 2 à 2, alors Best libre. VRAI FAUX
Qu 16. Si Best libre, alors B\ {vj}est libre. VRAI FAUX
Qu 17. Si Best liée, alors B\ {vj}est liée. VRAI FAUX
Qu 18. Si Best libre, alors B∪ {vn+1}est libre. VRAI FAUX
Qu 19. Si Best liée, alors B∪ {vn+1}est liée. VRAI FAUX
Qu 20. Si n>p, alors Best liée. VRAI FAUX
Qu 21. Si n>p, alors Best génératrice de E.VRAI FAUX
Qu 22. Si Best libre, elle peut se compléter en une base de E.VRAI FAUX
Soient Eun espace vectoriel sur Kmuni d’une base B= (e1, e2, e3)et V1= 2e1+e2−e3,
V2=−e1+ 2e2+ 5e3et V3= 5e2+ 9e3des vecteurs de E.
Qu 23. La famille (V1, V2)est libre. VRAI FAUX
Qu 24. La famille (V1, V2, V3)est libre. VRAI FAUX
Qu 25. Cocher les cases correspondant à des bases de E:
(V1, V2)(V1, V2, V3)(e1, V1, V2, V3)(e1, V2, V3)(V1, V2, V3+e3)
Qu 26. Les sous-espaces Vect(V1, V2)et Vect(V3)sont supplémentaires dans E.VRAI FAUX
Soit E=R3[X]. Cocher les cases correspondant à des affirmations vraies.
Qu 27. La famille B1= (1 + 3X, X +X2,3X+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 28. La famille B2= (2X+X3,−2X+X3,−1 + X2,1 + X2)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 29. La famille B3= (−1,7 + X, X −3X3,2 + X3,5−X+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 30. La famille B4= (−1,3 + X, 5+4X2,2X2, X +X2+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
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Applications linéaires
Soit fl’application de R2dans R3définie par : f(x, y) = (2x+y, x −y, x −y).
Qu 31. Alors fest :
une application linéaire un endomorphisme un isomorphisme un automorphisme
Qu 32. Ker(f)est : {(0,0)}Vect((1,1)) Vect((2,1,1),(1,−1,1)) {(0,0,0)}
Qu 33. fest : injective surjective ni l’un ni l’autre bijective
Qu 34. Im(f)est :
R2R3Vect((0,1,0)) Vect((2,1,1),(1,−1,−1)) le plan d’équation y=z
Qu 35. Le rang de fest égal à : 0123
Soient Eun espace vectoriel, fet gdeux endomorphismes de E:
Qu 36. f+g,g◦fet f◦gsont des endomorphismes de E.VRAI FAUX
Qu 37. Si f◦f=f, alors fest une symétrie. VRAI FAUX
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions respectives net p,f:E→Fune
application linéaire, et kun entier non nul.
Qu 38. Si (e1, . . . , ek)est une famille génératrice de E, alors (f(e1), . . . , f(ek))
est une famille génératrice de F.
VRAI FAUX
Qu 39. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une base de F, alors :
fest injective fest surjective fest bijective
Qu 40. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille liée, alors fn’est
pas injective.
VRAI FAUX
Qu 41. rg(f)6min(n, p).VRAI FAUX
Qu 42. p=rg(f) + dim Ker(f).VRAI FAUX
Qu 43. fest surjective si et seulement si rg(f) = n.VRAI FAUX
Matrices
Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (e1,e2,e3).
On définit les vecteurs v1=e1+e2+e3,v2=e1−e3,v3=e2+e3et fl’endomorphisme de
Etel que :
f(e1) = 2e1−3e2+e3, f(e2) = −e1+e2−3e3et f(e3) = e1−e3.
3

Qu 44. La matrice de fpar rapport à Best :
2−3 1
−1 1 −3
1 0 −1
2−2 1
−1 1 −3
1−1 0
2−1 1
−310
1−3−1
110
101
1−1 1
Qu 45. L’image par fde v1a pour coordonnées dans la base B:
2
−2
−3
2
−3
−2
0
−3
0
Qu 46. Le rang de fest égal à :
0123
Soit H=1 2 −2 0
2−1−4 1et soit g∈L(R4,R2)canoniquement associée à H.
Qu 47. Le rang de Hest égal à :
1248
Qu 48. L’application gest :
injective surjective bijective
Qu 49. Le noyau de gest de dimension :
1234
Qu 50. Le vecteur (2,0,1,0) est dans le noyau de g.VRAI FAUX
Qu 51. Soit x∈Ret v= (x, x, x, x). Alors g(v)=(x, 2x).VRAI FAUX
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