Formulaire Espaces vectoriels

17 -Concours 2018
Formulaire Espaces vectoriels : l’essentiel en une page
pE,`,.qdésigne un K-espacevectoriel.Lesélémentsuisont éléments de Eet les isont éléments de K.
Sous-espace vectoriel. Fest un sous-espace vectoriel de pE,`,.qsi FÄE,siF‰?,etsiFest stable par loi
`et par la loi , i.e. si : @pu, vqPE2,@p, µqPK2,pu`µvqPE.Enparticulier,sontdessous-espacesvectorielsde
E:toutespaces’écrivantsousformeVectpu1,...,u
nq,Kerf (si fest une application linéaire définie sur E)ouencore
Imf (si fest une application linéaire à valeurs dans E.)
Combinaison linéaire On dit que uest combinaison linéaire de u1,u
2,...,u nsi il existe une n-liste p1, 2,..., nqP
Kntelle que : u“
n
ÿ
i“1
iui.L’ensembledescombinaisonslinéairesdeu1,u
2,...,u nest noté Vectpu1,u 2,...,u nq.
Famille libre. pu1,u
2,...,u nqest une famille libre de Esi :
n
ÿ
i“1
iui“0ñ@iPrr1,nss,
i“0.
Famille liée. pu1,u
2,...,u nqest une famille liée de Esi ce n’est pas une famille libre de E,i.e.siaumoinsun
des éléments de cette famille est combinaison linéaire des autres.
Famille génératrice. pu1,u
2,...,u nqest génératrice de Esi : @uPE, Dp1, 2,..., nq,u“
n
ÿ
i“1
iui.
Base. pu1,u
2,...,u nqnest une base de Esi c’est une famille libre et génératrice de E,i.e.si:@uPE, D!p1, 2,..., nq,u“
n
ÿ
i“1
iui.
Liens en dimension finie. Si Eest de dimension finie n:
–Toute famille libre de Eadmet au maximum néléments (on dit dans ce cas qu’elle est maximale). Toute famille
libre et maximale de Eest une base de E.
–Toute famille génératrice de Eadmet au maximum néléments (on dit dans ce cas qu’elle est minimale). Toute
famille libre et minimale de Eest une base de E.
Théorème de la base incomplète.Sipu1,u
2,...,u pqest une famille génératrice de E,alors(aveccertains
vecteurs bien choisis de E), on peut la compléter en une base pu1,u
2,...,u nqde E.
Sommes, sommes directes. La somme de deux s.e.v. Fet Gde Eest donnée par : F`G“tx`y, x PF, y PGu.
La somme F`Gest directe si cette décomposition est unique pour tout élément de F`G.Fet Gsont en somme
directe si et seulement si FXG“t0u.
Sous-espaces vectoriels supplémentaires. Fet Gsont supplémentaires dans E(et l’on note F`G“F‘G)
si l’une de ces conditions est remplie :
–@xPE,D!py, zqPFˆG, x “y`z,
–FXG“t0uet F`G“E,
–Fet Gsont respectivement le noyau et l’image d’un projecteur pde E,
–F“Kerps´idqet G“Kerps`idq,oùsest une symétrie de E,
–FXG“t0uet dim F`dim G“dim E,
–la juxtaposition d’une base de Fet d’une base de Gest une base de E,
les deux dernières méthodes n’étant applicables qu’en dimension finie.