QCM d`algèbre linéaire

INSA
DE
LYON
2009-2010
QCM d’algèbre linéaire Il peut parfois y avoir plusieurs réponses correctes, on les cochera toutes. Il peut aussi n’y avoir aucune réponse valable.
Tous les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur K = R ou C.
Qu 1. Est-il possible qu’un espace vectoriel possède exactement :
2 éléments
une infinité d’éléments
Qu 2. Un espace vectoriel de dimension finie possède un nombre fini
d’éléments.
VRAI
Qu 19. Si B est libre, alors B \ {vj } est libre.
FAUX
Qu 20. Si B est liée, alors B \ {vj } est liée.
Qu 21. Si B est liée, alors B \ {vj } est libre.
Soient E un espace vectoriel sur K, F , G et H trois sous-espaces vectoriels de E.
VRAI
Qu 4. F ∪ H est un sous-espace vectoriel de E.
VRAI
Qu 7. Si dim F + dim G = dim E alors F et G sont supplémentaires.
Qu 8. Si E = F ⊕ G et si x ∈
/ F alors x ∈ G.
FAUX
Qu 11. Si dim F = dim G = 2 et F ∩ G = {0E } alors dim E > 4.
Qu 12. Si E = R5 et dim F = dim G = 3 alors F ∩ G 6= {0E }.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Qu 13. F = (x, y, z) ∈ R3 3x + 2z = 0 et x + y = 0 avec E = R3 .
Qu 14. F = (x, y, z) ∈ R3 x > 0 avec E = R3 .
Qu 15. F = P ∈ R[X] Qu 25. Si les vi (pour 1 ≤ i ≤ n) sont non colinéaires 2 à 2, alors B est
libre.
Z
0
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
avec E = R[X].
Qu 16. F = P ∈ R[X] P + P ′ = 1 avec E = R[X].
1
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Qu 26. La famille (V1 , V2 ) est libre.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Qu 28. Cocher les cases correspondant à des bases de E :
(V1 )
(V1 , V2 )
(V1 , V2 , V3 )
(V2 , V3 )
(e1 , V2 , V3 )
On se place dans l’espace vectoriel E = R3 [X] des polyômes de degré inférieur ou égal à 3.
Cocher les cases correspondant à des affirmations vraies.
Qu 29. La famille B1 = (1 + 3X, X + X 2 , 3X + X 3 ) est :
libre
génératrice de E
une base de E
ni libre, ni génératrice
Qu 30. La famille B2 = (2X + X 3 , −2X + X 3 , −1 + X 2 , 1 + X 2 ) est :
1
P (t)dt = 0
VRAI
Soient E un espace vectoriel sur K muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ) et V1 = 2e1 + e2 − e3 ,
V2 = −e1 + 2e2 + 5e3 et V3 = 5e2 + 9e3 des vecteurs de E.
Qu 27. La famille (V1 , V2 , V3 ) est libre.
Dans chacun des cas suivants, dire si l’affirmation « F est un sous-espace vectoriel de E » est
vraie ou fausse.
Qu 24. Si aucun des vi (pour 1 ≤ i ≤ n) n’est combinaison linéaire des
autres, alors B est libre.
Qu 10. E = F ⊕ F où F désigne le complémentaire de F dans E.
Qu 9. Le complémentaire de F est un sous-espace vectoriel de E.
Qu 23. Si B est liée, alors B ∪ {vn+1 } est liée.
Qu 6. Si E = F ⊕ G et E = F ⊕ H alors G = H.
Qu 5. F + H est un sous-espace vectoriel de E.
FAUX
Qu 22. Si B est libre, alors B ∪ {vn+1 } est libre.
Qu 3. F ∩ H est un sous-espace vectoriel de E.
FAUX
Familles libres, liées, génératrices, bases, dimension
1 élément
Qu 18. F = R avec E = R.
VRAI
Soit E un espace vectoriel sur K de dimension finie, soit B = (v1 , v2 , . . . , vn ) une famille de n
vecteurs de E et soit vn+1 un vecteur de E qui n’est pas dans B.
Dans ce qui suit, j désigne un entier entre 1 et n.
Espaces vectoriels
0 élément
Qu 17. F = P ∈ R5 [X] deg(P ) > 2 avec E = R5 [X], l’ensemble des
polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 5.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
libre
génératrice de E
une base de E
2
ni libre, ni génératrice
Qu 31. La famille B3 = (−1, 7 + X, X − 3X 3 , 2 + X 3 , 5 − X + X 3 ) est :
génératrice de E
libre
une base de E
ni libre, ni génératrice
génératrice de E
une base de E
f est injective
Qu 32. La famille B4 = (−1, 3 + X, 5 + 4X 2 , 2X 2 , X + X 2 + X 3 ) est :
f est surjective
f est bijective
on ne peut pas savoir
Qu 47. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille liée, alors :
libre
Qu 46. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille libre, alors :
ni libre, ni génératrice
f est injective
Applications linéaires
f est surjective
f est bijective
on ne peut pas savoir
Qu 48. S’il existe une base B telle que f (B) soit une famille génératrice de F , alors :
f est injective
Soit f l’application de R2 dans R3 définie par : f (x, y) = (2x + y, x − y, x − y).
Qu 33. Alors f est :
Qu 34. Ker(f ) est :
Qu 35. f est :
un endomorphisme
{(0, 0)}
injective
Vect((1, 1))
surjective
un isomorphisme
un automorphisme
f est injective
ni l’un ni l’autre
bijective
Qu 50. Vect((0, 1, 0))
Vect((2, 1, 1), (1, −1, −1))
f est bijective
on ne peut pas savoir
Matrices
Qu 36. Im(f ) est :
R3
f est surjective
Vect((2, 1, 1), (1, −1, 1))
R2
on ne peut pas savoir
une application linéaire
f est bijective
Qu 49. S’il existe une base B telle que f (B) soit une base de F , alors :
f est surjective
le plan d’équation y = z
Le rang de B =
0 2 −1 1
est égal à :
0 −1 −1 0
1
2
4
8
Qu 51. Si on fait un changement de bases de matrice P , suivi par un changement de bases de matrice Q,
cela équivaut à faire un changement de bases de matrice
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies
Qu 37. Si f est une forme linéaire non nulle sur E, alors f est surjective.
Qu 38. Si f ∈ L(E, F ), alors rg(f ) 6 inf(dimE, dimF ).
PQ
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Soient E un espace vectoriel, f et g deux endomorphismes de E :
Qu 39. Si f (g(x)) = f (y) alors g(x) = y.
Qu 40. Si (e1 , . . . , en ) est une famille libre de E, alors (f (e1 ), . . . , f (en ))
est une famille libre de E.
Qu 41. Si (f (e1 ), . . . , f (en )) est une famille libre de E, alors (e1 , . . . , en )
est une famille libre de E.
Qu 42. Si (e1 , . . . , en ) est une famille génératrice de E, alors
(f (e1 ), . . . , f (en )) est une famille génératrice de E.
Qu 43. Si f est injective, alors :
Qu 44. Si f est surjective alors :
Qu 45. Si f est bijective alors :
n>p
n>p
n>p
p>n
p>n
p>n
3
n=p
n=p
n=p
Q−1 P
P −1 Q
Qu 52. Si deux matrices sont semblables alors leurs inverses sont semblables.
VRAI
FAUX
Soient E = R3 muni de sa base canonique B et f un endomorphisme de E.
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p, et f : E → F une application linéaire.
QP
on ne sait pas
on ne sait pas
on ne sait pas


0 0 1
Qu 53. La matrice A = 1 0 0 est inversible.
0 1 0


0 0 1

Qu 54. La matrice de f par rapport à B donnée par Mf = 1 0 0
0 1 0
permet d’affirmer que f est un isomorphisme.
Qu 55. Le vecteur v = (−1, 1, −1) est dans le noyau de f .
Qu 56. Le vecteur v = (−1, 1, −1) est dans l’image de f .
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
VRAI
FAUX
Soient A, B et C trois éléments de Mn (K).
Qu 57. Si AB = In alors B = A−1 .
Qu 58. Si C 6= 0 et si AC = BC alors A = B.
4
Qu 59. Si A = (aij )1≤i,j≤n
AB =
n
X
aik bjk
k=1
et B = (bij )1≤i,j≤n alors :
!
Qu 60. (AB = BA) ⇔
n
X
AB =
bkj aik
k=1
16i,j6n
∀(i, j) ∈ {1, . . . , n}2
n
X
!
AB =
k=1
n
X
k=1
bik akj
k=1
16i,j6n
aik bkj =
n
X
!
akj bij .
VRAI
!
16i,j6n
FAUX
Soit E un espace vectoriel muni d’une base B = (e1 , e2 , e3 ). On définit les vecteurs v 1 = e1 +e2 +e3 ,
v 2 = e1 − e3 , v 3 = e2 + e3 et f l’endomorphisme de E tel que :
f (e1 ) = 2e1 − 3e2 + e3 , f (e2 ) = −e1 + e2 − 3e3 et f (e3 ) = e1 − e3 .
Qu 61. La matrice de f par rapport à B est :


2 −3
1
1 −3
−1
1
0 −1



2 −2
1
1 −3
−1
1 −1
0

2 −1
1
1
0
−3
1 −3 −1

1
1
0
1
1 −1

0
1
1
Qu 62. L’image par f de v 1 a pour coordonnées :
 
2
−2
−3
 
2
−3
−2
 
0
−3
0
Qu 63. La matrice de passage de B à (v 1 , v 2 , v 3 ) est :


1 1
1

1 0 −1
0 1
1



1 −1
1

0
1 −1
−1
2 −1

2 −1
1

−3
1
0
1 −3 −1
5

1
1
0
1
1 −1

0
1
1