Examen d'algèbre linéaire - INSA Lyon 2009-2010

INSA DE LYON 2009-2010
QCM d’algèbre linéaire
Il peut parfois y avoir plusieurs réponses correctes, on les cochera toutes. Il peut aussi n’y avoir aucune réponse valable.
Tous les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur K=Rou C.
Espaces vectoriels
Qu 1. Est-il possible qu’un espace vectoriel possède exactement :
0élément 1élément 2éléments une infinité d’éléments
Qu 2. Un espace vectoriel de dimension finie possède un nombre fini
d’éléments.
VRAI FAUX
Soient Eun espace vectoriel sur K,F,Get Htrois sous-espaces vectoriels de E.
Qu 3. F∩Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 4. F∪Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 5. F+Hest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 6. Si E=F⊕Get E=F⊕Halors G=H.VRAI FAUX
Qu 7. Si dim F+ dim G= dim Ealors Fet Gsont supplémentaires. VRAI FAUX
Qu 8. Si E=F⊕Get si x /∈Falors x∈G.VRAI FAUX
Qu 9. Le complémentaire de Fest un sous-espace vectoriel de E.VRAI FAUX
Qu 10. E=F⊕Foù Fdésigne le complémentaire de Fdans E.VRAI FAUX
Qu 11. Si dim F= dim G= 2 et F∩G={0E}alors dim E>4.VRAI FAUX
Qu 12. Si E=R5et dim F= dim G= 3 alors F∩G6={0E}.VRAI FAUX
Dans chacun des cas suivants, dire si l’affirmation « Fest un sous-espace vectoriel de E» est
vraie ou fausse.
Qu 13. F=(x, y, z)∈R33x+ 2z= 0 et x+y= 0avec E=R3.VRAI FAUX
Qu 14. F=(x, y, z)∈R3x>0avec E=R3.VRAI FAUX
Qu 15. F=P∈R[X]Z1
0
P(t)dt= 0avec E=R[X].VRAI FAUX
Qu 16. F=P∈R[X]P+P′= 1avec E=R[X].VRAI FAUX
1
Qu 17. F=P∈R5[X]deg(P)>2avec E=R5[X], l’ensemble des
polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 5.
VRAI FAUX
Qu 18. F=Ravec E=R.VRAI FAUX
Familles libres, liées, génératrices, bases, dimension
Soit Eun espace vectoriel sur Kde dimension finie, soit B= (v1, v2, . . . , vn)une famille de n
vecteurs de Eet soit vn+1 un vecteur de Equi n’est pas dans B.
Dans ce qui suit, jdésigne un entier entre 1et n.
Qu 19. Si Best libre, alors B\ {vj}est libre. VRAI FAUX
Qu 20. Si Best liée, alors B\ {vj}est liée. VRAI FAUX
Qu 21. Si Best liée, alors B\ {vj}est libre. VRAI FAUX
Qu 22. Si Best libre, alors B∪ {vn+1}est libre. VRAI FAUX
Qu 23. Si Best liée, alors B∪ {vn+1}est liée. VRAI FAUX
Qu 24. Si aucun des vi(pour 1≤i≤n) n’est combinaison linéaire des
autres, alors Best libre.
VRAI FAUX
Qu 25. Si les vi(pour 1≤i≤n) sont non colinéaires 2 à 2, alors Best
libre.
VRAI FAUX
Soient Eun espace vectoriel sur Kmuni d’une base B= (e1, e2, e3)et V1= 2e1+e2−e3,
V2=−e1+ 2e2+ 5e3et V3= 5e2+ 9e3des vecteurs de E.
Qu 26. La famille (V1, V2)est libre. VRAI FAUX
Qu 27. La famille (V1, V2, V3)est libre. VRAI FAUX
Qu 28. Cocher les cases correspondant à des bases de E:
(V1)(V1, V2)(V1, V2, V3)(V2, V3)(e1, V2, V3)
On se place dans l’espace vectoriel E=R3[X]des polyômes de degré inférieur ou égal à 3.
Cocher les cases correspondant à des affirmations vraies.
Qu 29. La famille B1= (1 + 3X, X +X2,3X+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 30. La famille B2= (2X+X3,−2X+X3,−1 + X2,1 + X2)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
2

Qu 31. La famille B3= (−1,7 + X, X −3X3,2 + X3,5−X+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 32. La famille B4= (−1,3 + X, 5 + 4X2,2X2, X +X2+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Applications linéaires
Soit fl’application de R2dans R3définie par : f(x, y) = (2x+y, x −y, x −y).
Qu 33. Alors fest :
une application linéaire un endomorphisme un isomorphisme un automorphisme
Qu 34. Ker(f)est : {(0,0)}Vect((1,1)) Vect((2,1,1),(1,−1,1))
Qu 35. fest : injective surjective ni l’un ni l’autre bijective
Qu 36. Im(f)est :
R2R3Vect((0,1,0)) Vect((2,1,1),(1,−1,−1)) le plan d’équation y=z
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions finies
Qu 37. Si fest une forme linéaire non nulle sur E, alors fest surjective. VRAI FAUX
Qu 38. Si f∈L(E, F ), alors rg(f)6inf(dimE, dimF). VRAI FAUX
Soient Eun espace vectoriel, fet gdeux endomorphismes de E:
Qu 39. Si f(g(x)) = f(y)alors g(x) = y.VRAI FAUX
Qu 40. Si (e1, . . . , en)est une famille libre de E, alors (f(e1), . . . , f(en))
est une famille libre de E.
VRAI FAUX
Qu 41. Si (f(e1), . . . , f(en)) est une famille libre de E, alors (e1, . . . , en)
est une famille libre de E.
VRAI FAUX
Qu 42. Si (e1, . . . , en)est une famille génératrice de E, alors
(f(e1), . . . , f(en)) est une famille génératrice de E.
VRAI FAUX
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions respectives net p, et f:E→Fune applica-
tion linéaire.
Qu 43. Si f est injective, alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
Qu 44. Si fest surjective alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
Qu 45. Si fest bijective alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
3
Qu 46. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille libre, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 47. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille liée, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 48. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille génératrice de F, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 49. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une base de F, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Matrices
Qu 50. Le rang de B =0 2 −1 1
0−1−1 0est égal à : 1248
Qu 51. Si on fait un changement de bases de matrice P, suivi par un changement de bases de matrice Q,
cela équivaut à faire un changement de bases de matrice
P Q QP Q−1PP−1Q
Qu 52. Si deux matrices sont semblables alors leurs inverses sont sem-
blables.
VRAI FAUX
Soient E=R3muni de sa base canonique Bet fun endomorphisme de E.
Qu 53. La matrice A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
est inversible. VRAI FAUX
Qu 54. La matrice de fpar rapport à Bdonnée par Mf=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
permet d’affirmer que fest un isomorphisme.
VRAI FAUX
Qu 55. Le vecteur v= (−1,1,−1) est dans le noyau de f.VRAI FAUX
Qu 56. Le vecteur v= (−1,1,−1) est dans l’image de f.VRAI FAUX
Soient A, B et C trois éléments de Mn(K).
Qu 57. Si AB =Inalors B =A−1.VRAI FAUX
Qu 58. Si C 6= 0 et si AC =BC alors A =B. VRAI FAUX
4

Qu 59. Si A= (aij )1≤i,j≤net B= (bij )1≤i,j≤nalors :
AB = n
X
k=1
aikbjk!16i,j6n AB = n
X
k=1
bkj aik !16i,j6n AB = n
X
k=1
bikakj !16i,j6n
Qu 60. (AB =BA)⇔ ∀(i, j)∈ {1, . . . , n}2
n
X
k=1
aikbkj =
n
X
k=1
akj bij !.VRAI FAUX
Soit Eun espace vectoriel muni d’une base B= (e1,e2,e3). On définit les vecteurs v1=e1+e2+e3,
v2=e1−e3,v3=e2+e3et fl’endomorphisme de Etel que :
f(e1) = 2e1−3e2+e3, f(e2) = −e1+e2−3e3et f(e3) = e1−e3.
Qu 61. La matrice de fpar rapport à Best :
2−3 1
−1 1 −3
1 0 −1
2−2 1
−1 1 −3
1−1 0
2−1 1
−3 1 0
1−3−1
110
1 0 1
1−1 1
Qu 62. L’image par fde v1a pour coordonnées :
2
−2
−3
2
−3
−2
0
−3
0
Qu 63. La matrice de passage de Bà(v1,v2,v3)est :
1 1 1
1 0 −1
0 1 1
1−1 1
0 1 −1
−1 2 −1
2−1 1
−3 1 0
1−3−1
1 1 0
1 0 1
1−1 1
5