Qu 31. La famille B3= (−1,7 + X, X −3X3,2 + X3,5−X+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Qu 32. La famille B4= (−1,3 + X, 5 + 4X2,2X2, X +X2+X3)est :
libre génératrice de Eune base de Eni libre, ni génératrice
Applications linéaires
Soit fl’application de R2dans R3définie par : f(x, y) = (2x+y, x −y, x −y).
Qu 33. Alors fest :
une application linéaire un endomorphisme un isomorphisme un automorphisme
Qu 34. Ker(f)est : {(0,0)}Vect((1,1)) Vect((2,1,1),(1,−1,1))
Qu 35. fest : injective surjective ni l’un ni l’autre bijective
Qu 36. Im(f)est :
R2R3Vect((0,1,0)) Vect((2,1,1),(1,−1,−1)) le plan d’équation y=z
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions finies
Qu 37. Si fest une forme linéaire non nulle sur E, alors fest surjective. VRAI FAUX
Qu 38. Si f∈L(E, F ), alors rg(f)6inf(dimE, dimF). VRAI FAUX
Soient Eun espace vectoriel, fet gdeux endomorphismes de E:
Qu 39. Si f(g(x)) = f(y)alors g(x) = y.VRAI FAUX
Qu 40. Si (e1, . . . , en)est une famille libre de E, alors (f(e1), . . . , f(en))
est une famille libre de E.
VRAI FAUX
Qu 41. Si (f(e1), . . . , f(en)) est une famille libre de E, alors (e1, . . . , en)
est une famille libre de E.
VRAI FAUX
Qu 42. Si (e1, . . . , en)est une famille génératrice de E, alors
(f(e1), . . . , f(en)) est une famille génératrice de E.
VRAI FAUX
Soient Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions respectives net p, et f:E→Fune applica-
tion linéaire.
Qu 43. Si f est injective, alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
Qu 44. Si fest surjective alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
Qu 45. Si fest bijective alors : n>pp>nn=pon ne sait pas
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Qu 46. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille libre, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 47. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille liée, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 48. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une famille génératrice de F, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Qu 49. S’il existe une base Btelle que f(B)soit une base de F, alors :
fest injective fest surjective fest bijective on ne peut pas savoir
Matrices
Qu 50. Le rang de B =0 2 −1 1
0−1−1 0est égal à : 1248
Qu 51. Si on fait un changement de bases de matrice P, suivi par un changement de bases de matrice Q,
cela équivaut à faire un changement de bases de matrice
P Q QP Q−1PP−1Q
Qu 52. Si deux matrices sont semblables alors leurs inverses sont sem-
blables.
VRAI FAUX
Soient E=R3muni de sa base canonique Bet fun endomorphisme de E.
Qu 53. La matrice A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
est inversible. VRAI FAUX
Qu 54. La matrice de fpar rapport à Bdonnée par Mf=
0 0 1
1 0 0
0 1 0
permet d’affirmer que fest un isomorphisme.
VRAI FAUX
Qu 55. Le vecteur v= (−1,1,−1) est dans le noyau de f.VRAI FAUX
Qu 56. Le vecteur v= (−1,1,−1) est dans l’image de f.VRAI FAUX
Soient A, B et C trois éléments de Mn(K).
Qu 57. Si AB =Inalors B =A−1.VRAI FAUX
Qu 58. Si C 6= 0 et si AC =BC alors A =B. VRAI FAUX
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