MT23 A2012 TEST 2 - Corrigé Exercice 1 P2 est l`espace vectoriel

MT23 A2012 TEST 2 - Corrigé
Exercice 1
P2 est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 2.
P3 est l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3.
On note {p0 , p1 , p2 } et {p0 , p1 , p2 , p3 } les bases canoniques respectives de P2 et P3 .
On définit
u(p) = p2 p0 , où p0 désigne la dérivée de p.
1. Montrer que u est une application linéaire de P2 dans P3 .
Quels que soient les polynômes p et q, quel que soit le scalaire λ, en utilisant les résultats
classiques d’analyse sur les dérivées et le produit de fonctions, on obtient :
u(p + q) = p2 (p + q)0 = p2 (p0 + q 0 ) = p2 p0 + p2 q 0 = u(p) + u(q).
u(λp) = p2 (λp)0 = p2 (λp0 ) = λp2 p0 = λu(p).
Donc l’application u est linéaire. On montre que, de plus, si p appartient à P2 , alors u(p)
appartient à P3 . Si p appartient à P2 , alors p0 appartient à P1 , donc le produit de p0 par p2 qui
est de degré 2, est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3.
2. P2 et P3 étant munis de leurs bases canoniques respectives, construire la matrice A associée à u.
On sait que p00 = 0, p01 = p0 , p02 = 2p1 , donc
u(p0 ) = 0, , u(p1 ) = p2 p0 = p2 , , u(p2 ) = p2 (2p1 ) = 2p3 .
On obtient donc la matrice :




A=
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2



.

Exercice 2
Soient E et F deux espaces vectoriels sur K, soit u une application linéaire de E dans F . On suppose
que dim E = dim F . Démontrer que :
u injective ⇔ u surjective .
On raisonne par équivalences :
u injective ⇔ Ker u = {~0} ⇔ dim (Ker u) = 0 ⇔ dim E = dim Im u ⇔ dim F = dim Im u.
On a utilisé l’hypothèse dim E = dim F et le théorème du rang : dim E = dim Ker u + dim Im u.
On sait de plus que Im u est inclus dans F , donc l’égalité des dimensions est équivalente à l’égalité
des espaces vectoriels, donc :
dim F = dim Im u ⇔ F = Im u ⇔ u surjective .
Exercice 3
Soit E un espace vectoriel sur K muni d’une loi interne notée +̂. Soit E l’ensemble des sous-espaces
vectoriels de E. On note +̃ la somme de sous-espaces vectoriels.
Montrer que +̃ est une loi de composition interne sur E.
Il faut montrer que si A ∈ E, si B ∈ E, alors A+̃B ∈ E, c’est à dire que A+̃B est un sous-espace
vectoriel de E.
A et B sont des sous espaces vectoriels, donc ils sont non vides, donc il existe ~a ∈ A, ~b ∈ B, donc
~a+̂~b ∈ A+̃B, donc A+̃B est non vide.
Si ~x et x~0 appartiennent à A+̃B, alors il existe ~a et a~0 appartenant à A, ~b et b~0 appartenant à B tels
que ~x = ~a+̂~b, x~0 = a~0 +̂b~0 . On a donc :
~x+̂x~0 = (~a+̂~b)+̂(a~0 +̂b~0 ) = (~a+̂a~0 )+̂(~b+̂b~0 )
On a utilisé les propriétés de commutativité et associativité de la loi +̂. De plus, A et B sont stables
pour cette loi donc ~a+̂a~0 ∈ A, ~b+̂b~0 ∈ B, donc ~x+̂x~0 ∈ A+̃B. Donc A+̃B est stable pour la loi +̂.
Soit λ ∈ K,
λ.~x = λ.(~a+̂~b) = λ.~a+̂λ.~b
On a utilisé une des propriétés de la loi externe, de plus A et B sont stables pour cette loi donc
λ.~a ∈ A, λ.~b ∈ B, donc λ.~x ∈ A+̃B.
Ce qui termine de démontrer que A+̃B est un sous-espace vectoriel de E.
Exercice 4
Soit A ∈ Mpn (K).
1. Quelle est la définition de Ker A ? De quel espace vectoriel Ker A est-il un sous-espace vectoriel ?
On ne demande pas de démontrer le résultat.
X ∈ Ker A ⇔ X ∈ Mn1 (K) et AX = 0.
Ker A est un sous-espace vectoriel de Mn1 (K).
2. Quelle est la définition de Im A ? De quel espace vectoriel Im A est-il un sous-espace vectoriel ?
On ne demande pas de démontrer le résultat.
Y ∈ Im A ⇔ ∃X ∈ Mn1 (K), Y = AX.
Im A est un sous-espace vectoriel de Mp1 (K).
3. Utiliser la définition pour démontrer que les colonnes de A appartiennent à Im A.



Si on choisit X = 


1
0
..
.



, on a AX = A1 , donc A1 appartient à Im A. En choisissant succes

0
sivement pour X les vecteurs de la base canonique de Mn1 (K), on montre que A1 , A2 , ..., An
appartiennent à Im A.
Exercice 5
Soit E et F deux espaces vectoriels sur K.
Soit u une application linéaire quelconque de E dans F .
Compléter et démontrer la proposition suivante :
Si {v~1 , v~2 , ...., v~n } est une famille ........ de E, alors {u(v~1 ), u(v~2 ), ...., u(v~n )} est une famille ........ de F .
On peut répertorier les théorèmes connus :
théorème 1 : Si {v~1 , v~2 , ...., v~n } est une famille génératrice de E, alors {u(v~1 ), u(v~2 ), ...., u(v~n )} est une
famille génératrice de Im u.
Or si u n’est pas surjective Im u est strictement inclus dans F , donc ce théorème ne convient pas.
théorème 2 : Si {v~1 , v~2 , ...., v~n } est une famille libre de E et si u est injective alors {u(v~1 ), u(v~2 ), ...., u(v~n )}
est une famille libre de F .
Or ici u n’est pas injective, donc ce théorème ne convient pas.
théorème 3 : Si {v~1 , v~2 , ...., v~n } est une famille liée de E, alors {u(v~1 ), u(v~2 ), ...., u(v~n )} est une famille
liée de F .
Ce théorème convient. On va le démontrer.
{v~1 , v~2 , ...., v~n } est une famille liée de E, donc il existe des scalaires α1 , α2 , ...., αn non tous nuls tels
que α1 v~1 + α2 v~2 + .... + αn v~n = ~0.
Dans la suite on choisit ces scalaires α1 , α2 , ...., αn .
On a donc
u(α1 v~1 + α2 v~2 + .... + αn v~n ) = u(~0).
Or u est linéaire, donc
u(α1 v~1 + α2 v~2 + .... + αn v~n ) = α1 u(v~1 ) + α2 u(v~2 ) + .... + αn u(v~n ), et u(~0) = ~0.
On obtient donc α1 u(v~1 ) + α2 u(v~2 ) + .... + αn u(v~n ) = ~0. De plus les scalaires α1 , α2 , ...., αn sont non
tous nuls, ce qui termine de démontrer que la famille {u(v~1 ), u(v~2 ), ...., u(v~n )} est liée.