Partie 2

Évolution des systèmes mécaniques Partie 2 – Étude et modélisation de chutes verticales
1 SESAMES – 2005
Chapitre 2.
Étude et modélisation de chutes verticales
Activité 1 : forces mises en jeu lors d’une chute
On se propose d’étudier les trois situations suivantes figurant sur la paillasse de l’enseignant. Chaque
situation est schématisée dans le tableau de l'annexe 1.
• Situation 1 :
On lâche sous la surface de l’eau deux balles de ping-pong, l’une d’elles étant lestée.
• Situation 2 :
On chiffonne de la façon la plus compacte possible deux feuilles de papier identiques.
On déplie légèrement l’une d’entre elles de façon à lui donner la forme d’un objet de “diamètre” deux à
trois fois plus grand que l’autre. On lâche les deux objets en même temps et à la même hauteur.
• Situation 3 :
On lâche à la même altitude deux billes métalliques, l’une dans l’air et l’autre dans de l'huile (ou du
glycérol) contenu(e) dans une éprouvette.
1- Prévisions : dans la 1ère ligne du tableau, pour chaque situation, prévoir si un des deux objets tombe
plus vite que l'autre.
2- Réalisation des manipulations par l’enseignant.
A l’aide des observations compléter la 2e ligne du tableau.
3- Pour chaque situation, faire l’inventaire des systèmes qui interagissent avec chaque objet lâché.
Lire les § A et B1 du modèle et donner les caractéristiques des forces représentées. Compléter le tableau
en représentant qualitativement les forces sur le point représentant l'objet.
4- En vous servant des schémas de forces, expliquer la différence de comportement de chacun des deux
objets pour chaque situation.
-----------------------------------------
Activité 2 : Première analyse à partir du clip vidéo d’un mouvement de chute
verticale
On laisse tomber un petit objet (masse m et volume V) dans de l’eau (masse volumique ).
On donne m = 5,13 g,  = 1,0.103 kg.m-3, V = 2,9 mL, g = 9,8 m.s-2. On filme la chute à l’aide d’une web-
cam (clip activité2.avi).
1. A partir de l’observation de cette vidéo à l'œil nu, décrire la façon dont évolue la valeur de la vitesse
du centre d’inertie de l’objet. Proposer une allure pour la courbe v = f(t). On choisit la date t = 0 au
moment où l’objet est lâché et que le mouvement commence.
-----------------------------------------
Pour vérifier qu'on obtient expérimentalement cette allure, on analyse cette vidéo. Pour ceci, il faut :
a. pointer les différentes positions d'un point choisi du système (après avoir défini une origine, un
repère et une échelle sur la vidéo) : le logiciel de pointage est Aviméca ;
b. calculer les valeurs de la vitesse aux différents instants grâce au tableau donnant les différentes
positions en fonctions du temps : le logiciel de traitement des données est Excel.
Effectuer le pointage des positions en suivant la fiche d'aide Aviméca et les consignes données par le professeur.
L’axe
Oy
est choisi vertical, orienté vers le bas, l'origine du repère étant la position initiale du point choisi pour
repérer la position de l'objet. Vous devez effectuer les opérations suivantes :
1. charger la vidéo
2. dans l'onglet étalonnage, choisir origine et sens puis échelles identiques
3. Pointer les différentes positions.
2. Exprimer la valeur de la vitesse à l'instant ti notée v(ti). Calculer ces valeurs à l'aide du tableur Excel
dans une 4e colonne.
A partir des points expérimentaux fournis ci-dessus, on obtient les points suivants.

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3. Tracer la courbe "lissée" v=f(t).
4. Indiquer en français comment évolue la valeur de l’accélération.
5. En vous référant au modèle et à la situation 3 de l’activité 1, indiquer comment évolue la valeur de la
somme vectorielle des forces qui s’exercent sur le système. En déduire comment évolue la force de
frottement.
6. Calculer la valeur de l’accélération à t =0+ :
- par une méthode graphique : valeur expérimentale = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- à partir de la deuxième loi de Newton : valeur théorique = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questions à traiter à la maison :
7. Proposer une représentation vectorielle (échelle 1 cm pour 10 mN) des forces qui s’exercent sur le
système
a) à la date t = 0+
b) aux dates t > 0,6s (pour ces dates, on considère la vitesse constante). Montrer que la
connaissance de la valeur de vlim permet de calculer une valeur de k, quel que soit le modèle
choisi pour la force de frottement (Fk = kv ou Kv2).
c) Proposer à la même échelle une représentation qualitativement correcte à une date 0<t<0,6s.
8. En vous aidant de ce qui a pu être fait en radioactivité ou en électricité, proposez une définition
"graphique" d'un temps caractéristique de la chute ; le déterminer à partir du graphe.
-----------------------------------------
Activité 3 : équation différentielle vérifiée par la valeur de la vitesse
Pour modéliser la situation, on choisit de décrire la position du centre d'inertie d'un objet tombant dans un fluide
par rapport à un axe (
Oy
) vertical orienté vers le bas dont l'origine coïncide avec la position initiale du centre
d'inertie. On notera
j
le vecteur unitaire de cet axe.
Vos connaissances mathématiques vous permettent de trouver la fonction vy(t) lorsque Ff = Kv. C’est pour cela que
l’on s’intéresse d’abord à ce modèle.
1. Le mouvement étant vertical, on peut écrire
y
v v .j
. En déduire l'expression du vecteur accélération.
2. Déduire de l'expression de
v
que la valeur de la vitesse est v=vy.
3. Etablir les expressions vectorielles des 3 forces évoquées dans l’activité 1 à un instant quelconque (on
considérera que la valeur de la force de frottement peut s'écrire Kv où k est une constante).
4. A l’aide de la 2e loi de Newton, établir l’équation différentielle vérifiée par v (=vy) (on mettra cette équation
sous la forme y'+ay=b).
5. En déduire l’expression générale de la vitesse limite de chute vlim.
6. A quelle condition (théorique) ne peut-on plus calculer de vitesse limite ? Comment réaliser expérimentalement
cette condition ?
7. Réécrire l'équation dans le cas où la poussée d'Archimède peut être considérée négligeable.
chute dans de l'eau
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
temps t (en s)
vitesse v (en m/s)

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Activité 4 : Résolution de l’équation différentielle par une méthode itérative,
la méthode d’Euler
Objectif : La résolution par une méthode itérative peut être effectuée dans tous les cas de chute mais elle est en
particulier utile pour connaître la vitesse limite lorsque celle-ci n’a pas été atteinte expérimentalement ou lorsqu’on
veut tester la validité d’une modélisation (des frottements en Kv2 en particulier car dans ce cas la résolution
analytique de l’équation différentielle n’est pas connue d’un élève de TS).
Grâce au fichier vidéo chute_A4.avi, on étudie le mouvement de chute d'un objet dans l'air. Cet objet est
beaucoup plus dense que l’air et nous admettons que les frottements peuvent être modélisés par une force dont les
norme est Kv2.Un pointage des positions du centre de l'objet a été fait et a permis de calculer la vitesse aux dates
correspondantes (même opération que dans l'activité 2). Le fichier chute_en_v2EL.xls permet de visualiser la
courbe vy=f(t) obtenue. La vidéo utilisée a été trop courte pour qu'on puisse connaître la vitesse limite.
Travail préparatoire à l’itération :
On rappelle que résoudre l’équation différentielle par une méthode itérative consiste à trouver une solution v(t) par
approximations successives.
L'approximation affine permet d'écrire à partir de la relation y(x+h) = y(x)+h.y’(x) + h.(h) :
y(x+h)  y(x)+h.y’(x)
1. Compléter le schéma ci-contre en y faisant figurer les différents termes des
expressions précédentes. Comment ce schéma rend-il compte de l’influence du
pas h sur la validité de l’approximation ?
2. La fonction que nous cherchons est vy(t). Écrire alors l'approximation affine en
l’adaptant à cette fonction :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. En prenant un modèle en K.v2 pour la force de frottement (où K est le coefficient
de frottement), écrire l’équation différentielle vérifiée par vy sous la forme
2
.
yy
dv A Bv
dt
en exprimant A et B
en fonction des paramètres de la situation.
A= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. En déduire la valeur de A et l'unité de B.
5. Compléter alors le tableau ci-dessous avec h = 4,0.10-2 s. On prendra B=0,25 uSI (cette valeur a été choisie à
partir de l’ordre de grandeur de
2
lim
v
mg
nécessairement approximative puisqu’on ne connaît pas vlim).
t
vy
vy’
t0 = 0
t1 = t0 + h
t2 = t1 + h
Un tableur (excel par exemple) peut faire un très grand nombre d’itérations de ce type et tracer ensuite vy(t).
Itération :
1. Ouvrir le fichier excel chute_en_v2EL.xls. Les graphes yexp(t) et vyexp(t) sont déjà tracés.
2. Nous allons dans un premier temps retrouver à l’aide d’Excel les valeurs calculées dans la question 5 ci-
dessus. Compléter d’abord la cellule A2 avec la valeur du paramètre A trouvée à la question 4 ci-dessus puis, à
l’aide des curseurs, ajuster le paramètre B à la valeur 0,25 et le pas h à la valeur 0,04s. Compléter les cases
grisées du tableur en se servant du travail de la question 5 et en le reformulant avec la syntaxe d'excel.
Vérifier que vous retrouvez les mêmes valeurs que dans le tableau ci-dessus.
A ce stade, la méthode d’Euler a donc été programmée pour les 2 premières lignes.
3. Effectuer les itérations jusqu'à la ligne 2000 en copiant le bloc de cellules A8 à D8 vers le bas. Les courbes
v(t) et y(t) se tracent automatiquement.
4. Ajuster le paramètre B pour que la courbe obtenue par itération suive le mieux possible les points
expérimentaux. Indiquer la valeur de la vitesse limite donnée par la simulation : vlim = . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Examiner l’influence du pas en le faisant varier.
6. Prévoir comment varie la valeur de la vitesse limite dans le cas où seule augmente la masse du
système (changement de matériaux) ; comment vérifier vos affirmations précédentes à l'aide du fichier excel ?
7. Quel(s) paramètre(s) faudrait-il modifier si l’expérience était réalisée avec un objet de mêmes dimensions mais
moins dense ?

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Activité 4 : Résolution analytique de l'équation différentielle
En mathématiques, on a vu que les solutions de l'équation différentielle du 1er ordre établie précédemment sont
forcément de la forme v(t)=Ae-t+B où A, B et  sont des constantes (indépendantes du temps).
1. a. En examinant la situation à la date t = 0+ trouver une relation entre A et B
b. En écrivant l'expression de v lorsque t tend vers l'infini de 2 façons différentes, établir l’expression B
c. En déduire l'expression de v(t) solution de l'équation différentielle : il reste  à exprimer.
2. Indiquer à quelle condition sur l'expression précédente est solution de l'équation différentielle. Donner
l'expression de la fonction v(t) solution de l'équation différentielle et compléter le § B-2 du modèle :
4. En vous inspirant de ce qui a été vu en électricité, proposer une expression de la constante de temps (temps
caractéristique).
-----------------------------------------
Activité 6 : Chute libre verticale
Une chute libre est une modélisation d’une chute réelle où seul est pris en compte le poids du système étudié.
On considère ici des chutes sur Terre.
1. A partir de l’affirmation précédente et de vos connaissances sur les chutes, indiquer quelles sont les actions qui
sont négligées devant celle de la terre lorsque l’on utilise le modèle de la chute libre pour décrire une chute
réelle.
Comment réaliser une chute réelle qui corresponde à une chute libre (sans rien négliger) ?
2. Les situations suivantes vous semblent-elles modélisables approximativement par une chute libre ?
a- La chute d’une bille métallique dans l’eau, dans les premiers instants de son mouvement. oui non
b- La chute d’une bille métallique dans l’eau au bout de plusieurs mètres de chute. oui non
c- La chute d’une bille métallique dans l’air, dans les premiers instants de son mouvement. oui non
d- La chute d’une bille métallique dans l’air après une centaine de mètres de chute. oui non
e- Une boule de papier dans l’air. oui non
3. Donner l'expression de l'accélération (vectorielle) dans le cas de la chute libre :
a
4. Le mouvement étant vertical, la vitesse de l’objet peut s’écrire :
j.vv 
(axe Oy vers le bas). Montrer que l’on
obtient une équation différentielle sur la fonction v(t) (appelée équation différentielle du mouvement) qui est un
cas particulier de celle obtenue à la question 3 de l’activité 3.
5. On cherche à déterminer les fonctions horaires v(t) et y(t). La vitesse initiale du système est nulle.
a- A partir de l'expression précédente de
dt
dv
, déterminer une expression générale de v(t) faisant intervenir g, t
et une constante C indépendante du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b- Déterminer cette constante pour que l'expression de v(t) soit en accord avec la valeur de v à t=0.
c- Sachant que
dt
dy
v
, déterminer de la même façon une expression générale de y(t) faisant intervenir g, t et
une constante C' indépendante du temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
d- Déterminer cette constante C' pour que l'expression de y(t) soit en accord avec la valeur de y à t=0.
6. Prévoir et comparer le mouvement d’une bille métallique de masse m= 5 g et d’une
plume de masse m= 0,5 g lâchés tous les deux verticalement, sans vitesse initiale,
dans un tube où l’on a fait le vide.
7. Tracer qualitativement en fonction du temps la fonction v(t) obtenue à la question 5.
Compléter le § B-3. du modèle.

Évolution des systèmes mécaniques Partie 2 – Étude et modélisation de chutes verticales
Annexe 1
Situation 1
Balles lâchées dans l’eau
lestée non lestée
Situation 2
Boules de papier chiffonnée et défroissée
lâchées dans l'air
Situation 3
Deux billes métalliques
lâchée dans l’air lâchée dans l’eau
Prévision
Balle allant le plus vite :
idem
Boule tombant le plus vite :
idem
Bille tombant le plus vite :
idem
Observation
Balle allant le plus vite :
idem
Boule tombant le plus vite :
idem
Bille tombant le plus vite :
idem
t=0
Au cours du
mouvement
Quelques
explications