T°S A tout nombre réel x, on peut associer son sinus ou son cosinus. On crée ainsi deux nouvelles fonctions : les fonctions sin et cos. Ces deux fonctions augmente le nombre des fonctions de référence étudiées au lycées. Leurs propriétés sont à connaître parfaitement afin d'étudier des fonctions plus complexes appelées fonctions trigonométriques. FONCTIONS SINUS – FONCTION COSINUS FONCTION SINUS Définition : on appelle fonction sinus (sin en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x sin x . Propriété : la fonction sinus est impaire. Cela signifie que pour tout réel x, on a : sin(− x)=−sin x . Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine O. Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction sinus est impaire. Propriété : la fonction sinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a : sin( x+ 2 π)=sin x . Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur 2 π ⃗i . Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que la fonction sinus est 2-périodique. Si on tient compte de plus de la parité de la fonction sinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle [0 ;π ] : en effet, la parité permet d'en déduire les variations sur [−π ; π ] (amplitude 2) ; la 2-périodicité permet d'en déduire les variations sur ℝ. Propriété : la fonction sinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a : sin ' (x)=cos( x) . Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction sinus sur [0 ;π ] . π x 0 2 Signe de sin ' (x)=cos( x) 1 0 −1 1 Variations de la fonction sin 0 0 Propriété : limite remarquable : lim x →0 sin x =1 . x Définition : la courbe représentative de la fonction sinus s'appelle une sinusoïde. FONCTION COSINUS Définition : on appelle fonction cosinus (cos en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x cos x . Propriété : la fonction cosinus est paire. Cela signifie que pour tout réel x, on a : cos(−x)=cos x . Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe (O ; ⃗j ) . Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction cosinus est paire. Propriété : la fonction cosinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a : cos( x+ 2 π)=cos x . Dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur 2 π ⃗i . Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que la fonction cosinus est 2-périodique. Si on tient compte de plus de la parité de la fonction cosinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle [0 ;π ] Lycée Victor Hugo M. CHAPON puisque la parité permet de déduire les variations sur [−π ; π ] (amplitude 2) ; la 2-périodicité permet d'en déduire les variations sur ℝ. Propriété : la fonction cosinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a : cos ' ( x)=−sin( x) . Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction cosinus sur [0 ;π ] . x 0 Signe de sin( x) 0 + 0 Signe de cos ' ( x)=−sin( x) 0 – 0 1 Variations de la fonction cos −1 Propriété : limite remarquable : lim x →0 cos x−1 =0 . x Propriété : dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j ) , on passe de la courbe représentative de la fonction cosinus à la courbe π représentative de la fonction sinus par une translation de vecteur 2 ⃗i . Définition : la courbe représentative de la fonction cosinus s'appelle aussi une sinusoïde. FORMULAIRE (RAPPELS DE 1ÈRE S) Propriété : soient x et y deux réels quelconques. On a alors les égalités suivantes. cos – x=cos x sin – x=– sin x cos – x=– cos x sin – x=sin x sin x= –sin x cos 2 – x =sin x cos 2 x =– sin x sin 2 x =cos x √3 cos π = 6 2 √2 cos π = 4 2 1 cos π = 3 2 cos π =0 2 sin 0=0 1 sin π = 6 2 √2 sin π = 4 2 √3 sin π = 3 2 sin π =1 2 cos( x+ y)=cos x cos y−sin xsin y sin( x+ y)=sin x cos y+ cos x sin y cos( x – y)=cos x cos y+ sin x sin y sin( x− y)=sin x cos y−cos x sin y 2 Formules de duplication : 2 – x =cos x cos 0=1 cos 2 x+ sin 2 x=1 Formules d'addition : sin cos x= – cos x 2 cos(2 x)=cos x−sin x cos(2 x)=2cos 2 x−1 cos(2 x)=1−2sin 2 x sin(2 x)= 2sin x cos x Remarque : à part les formules d'addition et de duplication, toutes ces formules se retrouvent rapidement à l'aide d'un cercle trigonométrique. FONCTIONS PÉRIODIQUES Définition : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D. On dit que f est périodique de période P (ou P-périodique) si : ∀x∈D, (x+ P) ∈D ; et : ∀x∈D, f ( x+ P )= f ( x) . Propriété : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D. Si f est P-périodique, alors sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O ; ⃗i , ⃗j) est invariante par translation de vecteur P ⃗i . Lycée Victor Hugo M. CHAPON