T°S - Monsieur CHAPON

T°S
FONCTION SINUS
Définition : on appelle fonction sinus (sin en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x
sin x
.
Propriété : la fonction sinus est impaire. Cela signifie que pour tout réel x, on a :
sin(−x)=−sin x
.
Dans un repère orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
, cela signifie que la courbe de la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine O.
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction sinus est impaire.
Propriété : la fonction sinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a :
sin(x+2π)=sin x
.
Dans un repère orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
, cela signifie que la courbe de la fonction sinus est invariante par translation de
vecteur
2π⃗ i
.
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction sinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que la
fonction sinus est 2-périodique.
Si on tient compte de plus de la parité de la fonction sinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle
[0 ;π ]
:
en effet, la parité permet d'en déduire les variations sur
[−π;π]
(amplitude 2) ; la 2-périodicité permet d'en déduire les
variations sur ℝ.
Propriété : la fonction sinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a :
sin '(x)=cos(x)
.
Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction sinus sur
[0 ;π ]
.
x0
π
2
Signe de
sin '(x)=cos(x)
1 0
−1
Variations de la fonction sin
0
1
0
Propriété : limite remarquable :
lim
x→0
sin x
x=1
.
Définition : la courbe représentative de la fonction sinus s'appelle une sinusoïde.
FONCTION COSINUS
Définition : on appelle fonction cosinus (cos en abrégé) la fonction définie sur ℝ par : x
cos x
.
Propriété : la fonction cosinus est paire. Cela signifie que pour tout réel x, on a :
cos(−x)=cos x
.
Dans un repère orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
, cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe
(O;⃗ j)
.
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur ℝ+, le reste se déduisant du fait que la fonction cosinus est paire.
Propriété : la fonction cosinus est 2-périodique. Cela signifie que pour tout réel x, on a :
cos(x+2π)=cos x
.
Dans un repère orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
, cela signifie que la courbe de la fonction cosinus est invariante par translation de
vecteur
2π⃗ i
.
Remarque : ceci permet de n'étudier la fonction cosinus que sur un intervalle d'amplitude 2, le reste se déduisant du fait que
la fonction cosinus est 2-périodique.
Si on tient compte de plus de la parité de la fonction cosinus, alors on peut limiter l'étude de cette fonction à l'intervalle
[0 ;π ]
Lycée Victor Hugo M. CHAPON
A tout nombre réel x, on peut associer son sinus ou son cosinus. On crée ainsi deux nouvelles fonctions : les
fonctions sin et cos.
Ces deux fonctions augmente le nombre des fonctions de référence étudiées au lycées. Leurs propriétés sont
à connaître parfaitement afin d'étudier des fonctions plus complexes appelées fonctions trigonométriques.
F
FONCTIONS ONCTIONS S SINUS INUS – F – FONCTION ONCTION C COSINUS OSINUS

puisque la parité permet de déduire les variations sur
[−π;π]
(amplitude 2) ;
la 2-périodicité permet d'en déduire les variations sur ℝ.
Propriété : la fonction cosinus est dérivable sur ℝ et pour tout réel x, on a :
cos'(x)=−sin(x)
.
Remarque : ceci permet d'en déduire les variations de la fonction cosinus sur
[0 ;π ]
.
x0
Signe de
sin(x)
0 + 0
Signe de
cos'(x)=−sin(x)
0 – 0
Variations de la fonction cos
1
−1
Propriété : limite remarquable :
lim
x→0
cos x−1
x=0
.
Propriété : dans un repère orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
, on passe de la courbe représentative de la fonction cosinus à la courbe
représentative de la fonction sinus par une translation de vecteur
π
2⃗
i
.
Définition : la courbe représentative de la fonction cosinus s'appelle aussi une sinusoïde.
FORMULAIRE (RAPPELS DE 1ÈRE S)
Propriété : soient x et y deux réels quelconques. On a alors les égalités suivantes.
cos– x=cos x
sin– x=–sin x
cos – x=–cos x
sin – x=sin x
cosx=–cos x
sin x=–sin x
cos
2– x
=sin x
sin
2– x
=cos x
cos
2x
=–sin x
sin
2x
=cos x
cos2x+sin2x=1
cos 0=1
cos π
6=
√
3
2
cos π
4=
√
2
2
cos π
3=1 2
cos π
2=0
sin 0=0
sin π
6=1 2
sin π
4=
√
2
2
sin π
3=
√
3
2
sin π
2=1
Formules d'addition :
cos(x+y)=cos xcos y−sin xsin y
sin(x+y)=sin xcos y+cos xsin y
cos(x – y)=cos xcos y+sin xsin y
sin(x−y)=sin xcos y−cos xsin y
Formules de duplication :
cos(2x)=cos2x−sin2x
cos(2x)=2 cos2x−1
cos(2x)=1−2sin2x
sin(2x)=2 sin xcos x
Remarque : à part les formules d'addition et de duplication, toutes ces formules se retrouvent rapidement à l'aide d'un cercle trigonométrique.
FONCTIONS PÉRIODIQUES
Définition : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D.
On dit que f est périodique de période P (ou P-périodique) si :
∀ x ∈ D,
(x+P)
∈ D ; et : ∀ x ∈ D,
f(x+P)= f(x)
.
Propriété : soit P un nombre réel non nul et f une fonction définie sur un ensemble D.
Si f est P-périodique, alors sa courbe représentative dans un repère
orthogonal
(O;⃗ i,⃗ j)
est invariante par translation de vecteur
P
⃗
i
.
Lycée Victor Hugo M. CHAPON