Lettre Recherche Mars 2016

LETTRE DE RECHERCHE
Mars 2016
CHRISTOPHE OLIVIER
Directeur
des investissements
RÉMY CROISILLE
Responsable recherche
Gérant sénior
NICOLAS RENAUD
Contrôleur
des risques
AUTEURS :
Quelle est la DLC* des données
d’estimation des volatilités
et des corrélations?
(*) DLC : Date Limite de Consommation
Dans cette lettre de recherche, nous revenons sur l’horizon de temps utilisé
par la stratégie Finaltis EfficientBetaTM pour estimer les paramètres de
volatilité et de corrélation
LEWIS MEREDITH SMITH
Gérant
Senior
L’ESSENTIEL
La méthodologie Finaltis EfficientBetaTM repose sur une estimation propriétaire
des paramètres de volatilité et de corrélation différente des formules classiques
(cf. lettre de recherche de Février 2016). Cependant, elle se heurte au même
problème de sélection d’un horizon de temps optimal pour effectuer les calculs.
Ayant souvent été interrogés sur notre choix d’une période de 65 jours (trois
mois), nous avons souhaité en expliquer les raisons :
1. L’utilisation d’un horizon d’un an pour estimer la variance d’une action est
inadaptée dans plus de 90% des cas. Pour avoir une utilisation correcte de
l’estimation de la variance dans plus de 85% des cas, il faut utiliser un
horizon de calcul de trois mois ou moins.
2. Dès lors que l’on divise par 4 la taille de l’échantillon, on multiplie par 2
l’imprécision de l’estimateur de la variance. En dessous de deux mois,
l’imprécision est supérieure à 20%.
3. L’horizon de 3 mois retenu résulte d’un compromis entre qualité (information
récente cohérente) et volume : le paramètre de variance est statistiquement
justifié dans plus de 85% des cas, et son incertitude d’estimation est
inférieure à 20%.

Réservé aux investisseurs professionnels au sens de la directive MIF.
LETTRE DE RECHERCHE
Quelle DLC des données d’estimation ?
2
Le statisticien qui veut estimer à partir d’un échantillon un paramètre (dans notre cas, une volatilité ou une
corrélation) susceptible de varier dans le temps est confronté à un dilemme classique entre volume et pertinence
des données. S’il ne sélectionne que les données récentes, il est très probable que le paramètre qu’il veut
estimer soit constant dans son échantillon, ce qui est cohérent avec sa volonté d’estimer un paramètre unique
pour le futur proche. En revanche, cet échantillon risque d’être de taille modeste, et l’incertitude d’estimation liée
à cette taille réduite sera élevée. A l’inverse, il peut privilégier le volume de données en prenant des échantillons
historiques longs, dont la taille est telle que l’erreur d’estimation est faible. Mais il risque alors d’inclure des
données anciennes pour lesquelles le paramètre n’avait pas la même valeur.
Prenons deux exemples :
1. Supposons qu’un institut de sondages veuille estimer le résultat d’un Oui à un référendum. Il ne peut
interroger chaque semaine qu’un seul échantillon représentatif de mille personnes. Quel est la meilleure
estimation ? Est-ce qu’il s’agit du résultat du dernier sondage avant l’élection ou d’une moyenne des 12
sondages des trois derniers mois ? De manière évidente, l’institut va choisir le dernier sondage. En effet, la
variation au cours de la campagne électorale des opinions des votants est beaucoup plus importante que
l’incertitude d’estimation entre un échantillon de 1000 personnes et celui constitué des 12 000 personnes
interrogées en 3 mois : priorité à la pertinence et aux données récentes.
2. Supposons maintenant qu’un statisticien veuille évaluer la probabilité qu’une pièce de monnaie tombe sur
pile sachant qu’il ne peut faire que 10 lancers par semaine pendant 3 mois. Est-ce qu’il doit choisir le résultat
des dix tirages de la dernière semaine ou la moyenne des 120 lancers effectués en trois mois ? Cette fois, il
va évidemment privilégier le maximum de lancers ; la pièce de monnaie étant inchangée au cours du temps,
sa probabilité de tomber sur pile était la même il y a trois mois que maintenant. L’accumulation de tirages
permet de réduire l’incertitude liée à la taille de l’échantillon : priorité au volume et au nombre de
données.
Revenons à notre problème pratique d’estimation de la variance (carré de la volatilité) par la formule classique :
LE DILEMME PERTINENCE VERSUS VOLUME
Où :
•
 est l’estimation de la variance ;
• est la variation relative observée de l’action le i éme jour ;
• est la moyenne des variations relatives observées de l’action entre le premier et le n ème jour.

Réservé aux investisseurs professionnels au sens de la directive MIF.
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Quelle DLC des données d’estimation ?
3
L’estimateur de la variance σ² n’a de sens que si σ est constante sur tout l’horizon temporel de l’échantillon. Pour
se faire une idée de la réalité de cette hypothèse de constance suivant l’horizon de temps, nous avons effectué
un test statistique simple à une date donnée. Pour chaque horizon temporel d’estimation de 1 mois à 12 mois,
nous avons testé l’hypothèse d’égalité entre la variance V0 sur la première moitié de l’échantillon (les 15 premiers
jours quand l’horizon est d’un mois / les six premiers mois quand l’horizon est d’un an) et la variance V1 sur la
deuxième moitié de l’échantillon (les 15 derniers jours quand l’horizon est d’un mois / les six derniers mois quand
l’horizon est d’un an).
QUANTIFICATION DE LA PERTINENCE
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
% d'actions ayant des volatilités significativement
différentes
Longueur de l'estimation (mois)
Résultat du test d'égalité des variances
Egalité des
variances observées
dans plus de 85%
des cas
L’utilisation d’un horizon d’un an pour estimer la variance d’une action est inadaptée dans plus de 90% des cas, car
il est clairement établi que l’action a connu deux régimes de variance distincts sur cet horizon.
Pour avoir une utilisation correcte de l’estimateur dans plus de 85% des cas, il faut utiliser un horizon de calcul de
trois mois ou moins.
Afin de quantifier l’impact du nombre de données sur l’estimation de la variance, nous calculons l’incertitude de
l’estimateur défini par :
QUANTIFICATION DE L’EFFET VOLUME
Avec la fonction Ecart Type définie par :

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LETTRE DE RECHERCHE
Quelle DLC des données d’estimation ?
4
Où :
• la variance de l’action (valeur du paramètre) ;
• est la variation relative observée de l’action le i éme jour ;
• est la moyenne des variations relatives observées de l’action entre le premier et le n ème jour.
Ainsi, chaque fois que l’on divise par quatre la taille de l’échantillon, on multiplie par deux l’écart type de
l’estimateur (2). Si l’on rapporte l’incertitude de l’estimateur à la valeur du paramètre de variance en fonction de la
longueur de l’estimation, on obtient le graphe suivant :
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(écart-type de l'estimateur) / paramètre
Longueur de l'estimation (mois)
Incertitude de l'estimation
Incertitude de l'estimation inférieure à 20%
En deçà de deux mois, l’imprécision est supérieure à 20%.
En revanche, au-delà de neuf mois, l’imprécision de l’estimateur est inférieure à 10%.
Il est alors possible de démontrer (1) que :
Note 1 : Nous avons supposé les rendements journaliers des actions gaussiens et les volatilités constantes. Les étapes de la
démonstration, ainsi qu’une présentation des tests d’égalité des variances utilisés page 2 (test de Fisher Snédécor), sont
disponibles dans les manuels de statistiques tels que Méthodes Statistiques, de Tassi P., édition Economica.
Note 2 : Soient deux échantillons composés de k1 et k2= 4k1 réalisations. Les écarts-types de l’estimateur de la variance sont
donc respectivement de :
Donc le deuxième échantillon, quatre fois plus grand, conduit à un écart type environ deux fois plus petit (autrement dit, un
échantillon quatre fois plus petit conduit à un écart type environ deux fois plus grand).

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Denis Beaudoin
Tél: [phone]
[e-mail]
Thierry Rigoulet
Tél: [phone]
[email protected]
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Ce produit peut être amené à intervenir sur les marchés de gré à gré, à traiter des instruments volatils et, ce faisant, risqués. Le
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garantie de performance minimale, ni, plus généralement, aucune assurance que les objectifs ou caractéristiques indiqués seront
atteints.
Le niveau de détail présenté ci-après et la terminologie employée requièrent des connaissances et une expérience des marchés
financiers correspondant à celles des investisseurs professionnels au sens de la Directive MIF. En conséquence, la présente
présentation est réservée aux investisseurs professionnels.
Mark Grobien
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CONTACTS
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75008 Paris – France
www.finaltis.com
LETTRE DE RECHERCHE
Quelle DLC des données d’estimation ?
CONCLUSIONS
Nous avons donc choisi un compromis entre qualité (information récente cohérente) et volume. Un horizon de trois
mois pour estimer le paramètre de variance est statistiquement justifié dans plus de 85% des cas, et conduit à une
incertitude d’estimation de moins de 20%.
Au-delà de toute référence statistique, cet horizon trimestriel a par ailleurs l’avantage d’être en phase avec l’horizon
de conservation du portefeuille du FCP Finaltis EfficientBeta Euro, dont le rebalancement est calqué sur les
modifications de son indice de référence, l’Euro Stoxx.