LETTRE DE RECHERCHE Mars 2016 Quelle est la DLC* des données d’estimation des volatilités et des corrélations? (*) AUTEURS : DLC : Date Limite de Consommation Dans cette lettre de recherche, nous revenons sur l’horizon de temps utilisé par la stratégie Finaltis EfficientBetaTM pour estimer les paramètres de volatilité et de corrélation L’ESSENTIEL RÉMY CROISILLE Responsable recherche Gérant sénior CHRISTOPHE OLIVIER Directeur des investissements La méthodologie Finaltis EfficientBetaTM repose sur une estimation propriétaire des paramètres de volatilité et de corrélation différente des formules classiques (cf. lettre de recherche de Février 2016). Cependant, elle se heurte au même problème de sélection d’un horizon de temps optimal pour effectuer les calculs. Ayant souvent été interrogés sur notre choix d’une période de 65 jours (trois mois), nous avons souhaité en expliquer les raisons : 1. L’utilisation d’un horizon d’un an pour estimer la variance d’une action est inadaptée dans plus de 90% des cas. Pour avoir une utilisation correcte de l’estimation de la variance dans plus de 85% des cas, il faut utiliser un horizon de calcul de trois mois ou moins. 2. Dès lors que l’on divise par 4 la taille de l’échantillon, on multiplie par 2 l’imprécision de l’estimateur de la variance. En dessous de deux mois, l’imprécision est supérieure à 20%. NICOLAS RENAUD Contrôleur des risques LEWIS MEREDITH SMITH Gérant Senior 3. L’horizon de 3 mois retenu résulte d’un compromis entre qualité (information récente cohérente) et volume : le paramètre de variance est statistiquement justifié dans plus de 85% des cas, et son incertitude d’estimation est inférieure à 20%. LETTRE DE RECHERCHE Quelle DLC des données d’estimation ? LE DILEMME PERTINENCE VERSUS VOLUME Le statisticien qui veut estimer à partir d’un échantillon un paramètre (dans notre cas, une volatilité ou une corrélation) susceptible de varier dans le temps est confronté à un dilemme classique entre volume et pertinence des données. S’il ne sélectionne que les données récentes, il est très probable que le paramètre qu’il veut estimer soit constant dans son échantillon, ce qui est cohérent avec sa volonté d’estimer un paramètre unique pour le futur proche. En revanche, cet échantillon risque d’être de taille modeste, et l’incertitude d’estimation liée à cette taille réduite sera élevée. A l’inverse, il peut privilégier le volume de données en prenant des échantillons historiques longs, dont la taille est telle que l’erreur d’estimation est faible. Mais il risque alors d’inclure des données anciennes pour lesquelles le paramètre n’avait pas la même valeur. Prenons deux exemples : 1. Supposons qu’un institut de sondages veuille estimer le résultat d’un Oui à un référendum. Il ne peut interroger chaque semaine qu’un seul échantillon représentatif de mille personnes. Quel est la meilleure estimation ? Est-ce qu’il s’agit du résultat du dernier sondage avant l’élection ou d’une moyenne des 12 sondages des trois derniers mois ? De manière évidente, l’institut va choisir le dernier sondage. En effet, la variation au cours de la campagne électorale des opinions des votants est beaucoup plus importante que l’incertitude d’estimation entre un échantillon de 1000 personnes et celui constitué des 12 000 personnes interrogées en 3 mois : priorité à la pertinence et aux données récentes. 2. Supposons maintenant qu’un statisticien veuille évaluer la probabilité qu’une pièce de monnaie tombe sur pile sachant qu’il ne peut faire que 10 lancers par semaine pendant 3 mois. Est-ce qu’il doit choisir le résultat des dix tirages de la dernière semaine ou la moyenne des 120 lancers effectués en trois mois ? Cette fois, il va évidemment privilégier le maximum de lancers ; la pièce de monnaie étant inchangée au cours du temps, sa probabilité de tomber sur pile était la même il y a trois mois que maintenant. L’accumulation de tirages permet de réduire l’incertitude liée à la taille de l’échantillon : priorité au volume et au nombre de données. Revenons à notre problème pratique d’estimation de la variance (carré de la volatilité) par la formule classique : 1 𝜎2 = 𝑛−1 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑖=1 Où : • • • 𝜎 2 est l’estimation de la variance ; 𝑋𝑖 est la variation relative observée de l’action le i éme jour ; 𝑋 est la moyenne des variations relatives observées de l’action entre le premier et le n ème jour. Réservé aux investisseurs professionnels au sens de la directive MIF. 2 LETTRE DE RECHERCHE Quelle DLC des données d’estimation ? QUANTIFICATION DE LA PERTINENCE L’estimateur de la variance σ² n’a de sens que si σ est constante sur tout l’horizon temporel de l’échantillon. Pour se faire une idée de la réalité de cette hypothèse de constance suivant l’horizon de temps, nous avons effectué un test statistique simple à une date donnée. Pour chaque horizon temporel d’estimation de 1 mois à 12 mois, nous avons testé l’hypothèse d’égalité entre la variance V0 sur la première moitié de l’échantillon (les 15 premiers jours quand l’horizon est d’un mois / les six premiers mois quand l’horizon est d’un an) et la variance V1 sur la deuxième moitié de l’échantillon (les 15 derniers jours quand l’horizon est d’un mois / les six derniers mois quand l’horizon est d’un an). Résultat du test d'égalité des variances % d'actions ayant des volatilités significativement différentes 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% Egalité des variances observées dans plus de 85% des cas 20% 10% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Longueur de l'estimation (mois) L’utilisation d’un horizon d’un an pour estimer la variance d’une action est inadaptée dans plus de 90% des cas, car il est clairement établi que l’action a connu deux régimes de variance distincts sur cet horizon. Pour avoir une utilisation correcte de l’estimateur dans plus de 85% des cas, il faut utiliser un horizon de calcul de trois mois ou moins. QUANTIFICATION DE L’EFFET VOLUME Afin de quantifier l’impact du nombre de données sur l’estimation de la variance, nous calculons l’incertitude de l’estimateur défini par : 1 𝜑 = 𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡 𝑇𝑦𝑝𝑒 𝑛−1 𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 2 𝑖=1 Avec la fonction Ecart Type définie par : 𝐸𝑐𝑎𝑟𝑡 𝑇𝑦𝑝𝑒(𝑋) = Réservé aux investisseurs professionnels au sens de la directive MIF. 𝐸 𝑋 2 − 𝐸 2 [𝑋] 3 LETTRE DE RECHERCHE Quelle DLC des données d’estimation ? Il est alors possible de démontrer (1) que : 2𝑉 𝜑= 𝑛−1 Où : • • • 𝑉 la variance de l’action (valeur du paramètre) ; 𝑋𝑖 est la variation relative observée de l’action le i éme jour ; 𝑋 est la moyenne des variations relatives observées de l’action entre le premier et le n ème jour. Ainsi, chaque fois que l’on divise par quatre la taille de l’échantillon, on multiplie par deux l’écart type de l’estimateur (2). Si l’on rapporte l’incertitude de l’estimateur à la valeur du paramètre de variance en fonction de la longueur de l’estimation, on obtient le graphe suivant : Incertitude de l'estimation (écart-type de l'estimateur) / paramètre 60% 50% 40% Incertitude de l'estimation inférieure à 20% 30% 20% 10% 0% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Longueur de l'estimation (mois) En deçà de deux mois, l’imprécision est supérieure à 20%. En revanche, au-delà de neuf mois, l’imprécision de l’estimateur est inférieure à 10%. Note 1 : Nous avons supposé les rendements journaliers des actions gaussiens et les volatilités constantes. Les étapes de la démonstration, ainsi qu’une présentation des tests d’égalité des variances utilisés page 2 (test de Fisher Snédécor), sont disponibles dans les manuels de statistiques tels que Méthodes Statistiques, de Tassi P., édition Economica. Note 2 : Soient deux échantillons composés de k1 et k2= 4k1 réalisations. Les écarts-types de l’estimateur de la variance sont donc respectivement de : 𝜑1 = 2𝑉 𝑘1 − 1 𝜑2 = 2𝑉 𝑘2 − 1 = 2𝑉 1 ≈ 𝜑1 2 𝑘1 − 1 4 2 Donc le deuxième échantillon, quatre fois plus grand, conduit à un écart type environ deux fois plus petit (autrement dit, un échantillon quatre fois plus petit conduit à un écart type environ deux fois plus grand). Réservé aux investisseurs professionnels au sens de la directive MIF. 4 LETTRE DE RECHERCHE Quelle DLC des données d’estimation ? CONCLUSIONS Nous avons donc choisi un compromis entre qualité (information récente cohérente) et volume. Un horizon de trois mois pour estimer le paramètre de variance est statistiquement justifié dans plus de 85% des cas, et conduit à une incertitude d’estimation de moins de 20%. Au-delà de toute référence statistique, cet horizon trimestriel a par ailleurs l’avantage d’être en phase avec l’horizon de conservation du portefeuille du FCP Finaltis EfficientBeta Euro, dont le rebalancement est calqué sur les modifications de son indice de référence, l’Euro Stoxx. CONTACTS 63, Avenue des Champs Elysées 75008 Paris – France www.finaltis.com Denis Beaudoin Tél: +33 (0)1 55 27 27 01 [email protected] Thierry Rigoulet Tél: +33 (0)1 55 27 27 07 [email protected] Mark Grobien Tél: +33 (0)1 55 27 27 08 [email protected] AVERTISSEMENT Ce document ne constitue pas une proposition d’investissement. Il a été réalisé dans un but d’information uniquement. Il ne présente donc aucune valeur contractuelle. Aucune des informations apparaissant dans le présent document ne saurait être considérée comme une offre de services ou de produits émanant de FINALTIS, ni comme une offre ou la sollicitation d’une offre d’achat ou de vente de valeurs mobilières ou de tout autre produit d’investissement. FINALTIS décline en conséquence toute responsabilité quant à l’utilisation qui pourrait être faite par quiconque du contenu des présentes pages. L’accès au produit décrit dans cette présentation, Finaltis EfficientBetaTM Euro fait l’objet de restrictions à l’égard de certaines personnes et/ou dans certains pays. Ce produit peut être amené à intervenir sur les marchés de gré à gré, à traiter des instruments volatils et, ce faisant, risqués. Le risque de défaut de contrepartie ne peut être écarté. Il n’offre par voie de conséquence ni garantie de restitution de capital, ni garantie de performance minimale, ni, plus généralement, aucune assurance que les objectifs ou caractéristiques indiqués seront atteints. Le niveau de détail présenté ci-après et la terminologie employée requièrent des connaissances et une expérience des marchés financiers correspondant à celles des investisseurs professionnels au sens de la Directive MIF. En conséquence, la présente présentation est réservée aux investisseurs professionnels. 5