Probabilités et Statistique Inférentielle 2

U NIVERSITÉ DE LYON - L UMIÈRE
L ICENCE MIASHS 2 ÈME ANNÉE
Probabilités et Statistique Inférentielle 2 - TD1
Exercice 1 : lecture des tables statistiques
En 2011 en France, la durée moyenne des périodes de chômage était de 14 mois. En supposant que la durée
d’une période de chômage peut-être modélisée par une loi normale, de moyenne 14 et de variance 36, répondez
aux questions suivantes :
1. quelles sont les limites de cette modélisation ?
2. quelle est la probabilité qu’une période de chômage dure plus de 2 ans ?
3. quelle est la probabilité qu’une période de chômage dure moins de 6 mois ?
4. quelle est la probabilité qu’une période de chômage dure entre 6 mois et 1 an ?
Vous répondrez à cet exercice en utilisant les tables statistiques, puis à l’aide du logiciel R.
Exercice 2 : estimation des moments d’une variable continue
Sur mon ordinateur, sous le logiciel R, j’ai tapé la commande suivante : round(rnorm(12,10,1),1)
J’ai alors obtenu le résultat suivant :
10.7
11.7
11.6
9.1
11.1
10.7
10.7
11.1
9.5
10.6
12.0
11.1
1. Que fait ce code R ?
2. Estimer l’espérance et la variance de la population dont sont issues ces observations. Pour ce faire, utiliser
le logiciel R, tout d’abord sans utiliser les fonctions prédéfinies puis en les utilisant.
Exercice 3 : estimation des moments d’une variable discrète
Une société de vente à distance demande à l’un de ses ingénieurs marketing de modéliser le nombre d’appels
téléphoniques par heure reçus sur le standard dédié aux commandes, dans le but d’optimiser la taille de celui-ci.
Les nombres d’appels, relevés sur une période de 53 heures, ont été les suivants :
Nb d’appels xi
Occurence Ni
0
1
1
4
2
7
3
11
4
10
5
9
6
5
7
3
8
2
9
1
1. Estimer le mode, l’espérance et la variance du nombre d’appels. Utiliser le logiciel R, tout d’abord sans
utiliser les fonctions prédéfinies puis en les utilisant.
2. Quelle type de loi pouvez-vous proposer pour décrire ce nombre d’appels ?
3. Représenter graphiquement à l’aide d’un histogramme la distribution empirique des données. Superposer
la distribution supposée à la question précédente.
Exercice 4 : Simulation de Monte-Carlo
On cherche dans cet exercice à approcher l’intégrale I =
R2
0
e−
x2
2
dx. Pour cela nous utilisons une méthode
de Monte-Carlo. Soit X1 , . . . , Xn un échantillon de variables aléatoires uniformes sur [0, 2], et soit Yi = e−
pour tout i = 1, n.
P
1. Quelle est la limite, au sens de la convergence en probabilité, de Ȳn = n1 ni=1 Yi lorsque n → ∞ ?
Xi2
2
2. Utiliser ce résultat pour approcher l’intégrale I, en simulant n variables aléatoires Yi (n = 100, 104 , 106 ).
3. Répéter 100 fois ces approximations, et représenter les résultats sous la forme d’une boîte à moustache
pour chacune des 3 valeurs de n utilisées. Que constatez-vous ?
4. Représenter cette fois ces résultats sous la forme d’un histogramme (pour chaque valeur de n). Avez-vous
une idée de la distribution de ces résultats d’approximation ? Que vous dit le théorème centrale limite ?
Exercice 5 : Calcul de vraisemblance
1. Simuler 3 échantillons X1 , . . . , Xn gaussiens d’espérance 10 et de variance 1(fonction rnorm)) de taille
10, 100 et 1000.
On oublie désormais que nous avons simulé ces échantillons à partir une loi normale, et nous allons
essayer plusieurs modélisation pour cette échantillon.
2. Première hypothèse : nous supposons que l’échantillon suit une loi exponentielle. Estimer le paramètre
de cette loi, et calculer la vraisemblance de l’échantillon sous cette hypothèse.
3. Faites de même pour la loi normale. Que concluez-vous ?
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