Chapitre 8 COURBES EN POLAIRES Enoncé des

Chapitre 8
COURBES EN POLAIRES
Enoncé des exercices
1Les basiques
Exercice 8.1 Reconnaître et tracer les graphes des courbes d’équation polaires
1) ρ=1
sin θ−π
32) ρ=5
4 cos θ+ 3 sin θ
3) ρ= sin θ−π
64) ρ= 2 cos θ−3 sin θ
Exercice 8.2 On considère la cardioïde d’équation ρ(θ) = 1 + cos θ. Tracer rapidement son support, préciser la
tangente au point Mπ
2.
Exercice 8.3 Tracer la courbe d’équation polaire ρ= cos 2θ
Exercice 8.4 On considère l’arc paramétré défini en coordonnées polaires par
ρ(θ) = cos 2θ+ cos
2
θ
On note Cla courbe représentative associée.
1. Quelle est la périodicité Tde ρ?
Si on trace le support de l’arc lorsque θdécrit un intervalle de largeur T, quelle transformation géométrique
doit-on effectuer ensuite afin d’obtenir Cen entier ?
2. Quelle est la parité de ρ?
Si on trace le support de l’arc lorsque θdécrit 0,π
2,quelles transformations géométriques doit-on effectuer
ensuite afin d’obtenir Cen entier ?
3. Pour quelle valeur de θ
0
∈0,π
2a-t-on ρ(θ
0
) = 0 ? (On exprimera le résultat avec la fonction arccos).
Dresser le tableau de signe de ρsur l’intervalle 0,π
2.
4. Tracer la courbe C.Préciser les tangentes verticales et horizontales (en les justifiant).
5. La courbe Cest symétrique par rapport à Oy, quelle propriété de ρcela traduit-il ?
6. Quelle est la tangente en M(θ
0
) ? Donner un procédé géométrique pour la tracer (avec la règle et le compas).
Exercice 8.5 Etudier la courbe d’équation polaire ρ=sin θcos θ
sin θ−cos θ,on précisera la branche infinie.
Exercice 8.6 Tracer la courbe de représentation polaire ρ(θ) = cos (3θ)−2.

2. LES TECHNIQUES CHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES
Exercice 8.7 Tracer le support de l’arc paramétré défini en coordonnées polaires par ρ(θ) = 1
cos θ+ cos
2
θ.
On calculera la valeur exacte pour laquelle la tangente à la courbe est perpendiculaire à OM.
Exercice 8.8 Tracer la courbe de représentation polaire ρ(θ) = cos
2
θ. On prendra soin de réduire l’intervalle d’étude.
Pour quelle valeur de θ∈0,
π
2
,la tangente est-elle horizontale ?
Exercice 8.9 Etudier la courbe d’équation polaire ρ(θ) = tan θ.
Exercice 8.10 Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbe Θ(Théta majuscule) d’équation
polaire
ρ(θ) = 1 + cos
2
θ
1. Tracer la courbe en repère orthonormé. Préciser les points à tangente horizontale.
2. Soit Mde paramètre θet Vl’angle entre la tangente en Met la droite (OM ).
(a) Pour quelles valeurs de θ∈0,
π
2
a-t-on V=π
2(π)? Où se situe M(θ)dans ce cas et quelle est alors la
tangente en M?
(b) Exprimer tan Ven fonction de θlorsque V=π
2(π).
(c) Soit Ale point de paramètre π
4. On note αl’angle entre l’axe Ox et la tangente en A. Calculer tan α. En
déduire une équation cartésienne de la tangente en Aà la courbe Θ.
(d) Question bonus : Soit Ble point de paramètre θ=π
2,montrer que la tangente en Brecoupe Θen deux
autres points Cet Dde paramètre γ∈0,π
2et δ∈π 2, π.
Exprimer γà l’aide de la fonction arcsin. Préciser les coordonnées de C. (On pourra utiliser le nombre
φ=1 + √5
2qui est racine de X
2
=X+ 1)
2Les techniques
Exercice 8.11 Etudier la lemniscate de Bernoulli définie par ρ(θ) = √cos 2θ.
Exercice 8.12 Soit Cla cardioïde d’équation polaire ρ(θ) = 1 + cos θen repère orthonormé O, −→ i , −→ j. Un droite
variable Dpassant par l’origine Odu repère coupe, en général, Cen deux autre points Met M
′
. On considèra que
si Dest l’axe Ox alors Drecoupe bien en Cen deux autres points dont l’un des deux est O(ce qui revient à voir O
comme un point double). On notera θl’angle que fait Davec l’axe Ox.
1. Si Ma pour coordonnées polaires (ρ, θ),exprimer −−→ OM et −−−→ OM
′
à l’aide de cos θet de −→ u
θ
= cos θ−→ i+ sin θ−→ j.
2. Montrer que la distance MM
′
est constante.
3. Montrer que le milieu Ide [M, M
′
]décrit un cercle (on pourra déterminer −→ OI).
—2/21— G´  H - E M -() 2009

CHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES 3. LE GRENIER
4. Montrer que les tangentes Tet T
′
àCissues de Met de M
′
sont perpendiculaires.
3Le grenier
Exercice 8.13 Décrire les ensembles gris en polaire
Exercice 8.14 Tracer ρ
2
(θ) = 1
sin 2θ(rép : on a ρ
2
sin 2θ= 2ρcos θ×ρsin θce qui donne 2xy = 1,hyperbole)
Exercice 8.15 Tracer ρ(θ) = 1
cos θ+1 sin θ(rép : cela donne ρ=ρ ρcos θ+ρ ρsin θsoit en simplifiant par ρqui n’est
jamais nul 1 = 1
x+1 y=⇒x+y=xy)
Exercice 8.16 Tracer ρ=3
1 + 2 (cos θ+ sin θ)(conique)
Exercice 8.17 Tracer ρ=2
4 + √3 sin θ+ cos θ
—3/21—
G´  H - E M -() 2009

3. LE GRENIER CHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES
—4/21— G´  H - E M -() 2009

Chapitre 8
COURBES EN POLAIRES
Solution des exercices
1Les basiques
Exercice 8.1
Pour 1), on a 1
sin θ−π
3=1
cos 
π
2
−θ−π
3 =
1
cos 5π
5−θ=1
cos θ−5π
6. Il s’agit donc de la droite pas-
sant par Pde coordonnées polaires 1,5π
6et perpendiculaire à
−−→
OP . (Avec θ=π
2,on ρ=1
sin π
2−π 3= 2,elle passe donc par le
point de coordonnées 0
2).
2
1
P
A
y
x
Pour 2), On sait qu’il s’agit d’une droite d’après le cours. On a
4 cos θ+ 3 sin θ=G4
Gcos θ+3 Gsin θoù G=√4
2
+ 3
2
= 5.
Soit ϕtel que cos ϕ=4
5,sin ϕ=3 5,alors 5 4 cos θ+ 3 sin θ=
1
cos (θ−ϕ).La courbe d’équation polaire ρ=5 4 cos θ+ 3 sin θest
donc la droite passant par le point Pde coordonnées polaire (1, ϕ)
et pependiculaire à −−→ OP . Les coordonnées cartésiennes de Psont
1×cos ϕ
1×sin ϕ=
4
5
3
5
,ce qui permet de tracer cette droite. On
peut aussi avoir son équation en car si M, de coordonnées polaires
(ρ, θ)et de coordonnées cartésiennes (x, y), est sur la droite alors
ρ=5
4 cos θ+ 3 sin θ⇐⇒ 4ρcos θ+ 3ρsin θ= 5 ⇐⇒ 4x+ 3y= 5.
L’équation de la droite est donc 4x+ 3y= 5
1
P
y
x