d5 - comment modeliser une force de frottement

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D5 5 - - C CO OM MM ME EN NT T M MO OD DE EL LI IS SE ER R U UN NE E F FO OR RC CE E D DE E F FR RO OT TT TE EM ME EN NT T ? ?
Repères
Cette séance fait suite à l’étude expérimentale de la chute dans un fluide. Le but est ici d’utiliser les
données expérimentales obtenues précédemment pour construire un modèle en termes de force des
frottements fluides.
Pour cela on utilise un outil de résolution numérique : ici la méthode d’Euler.
Le principe de cette étude est le suivant.
On formule différentes hypothèses plausibles concernant la forme de la relation liant la valeur de la force
f représentant les frottement fluides à la vitesse v du solide en mouvement dans le fluide.
L’application de la deuxième loi de Newton au solide en mouvement permet alors d’établir une équation
différentielle dont la fonction inconnue est l’expression, en fonction du temps, de la vitesse v (t).
La résolution de cette équation différentielle par la méthode d’Euler fournit une courbe représentative de
la fonction cherchée.
Pour construire le modèle de la force de frottement fluide, on raisonne alors de la manière suivante : si
l’hypothèse de départ concernant l’expression de la force de frottement est bonne, une courbe théorique
obtenue par la méthode d’Euler doit passer au plus près des points expérimentaux. Si, au contraire, il est
impossible d’obtenir un recouvrement acceptable, l’hypothèse de départ doit être revue. Sur la base d’une
analyse physique du désaccord, une nouvelle hypothèse est alors testée.
Dans cette activité, les élèves sont conduits à examiner successivement les deux hypothèses simples
f = k.v et f = k’.v² concernant le modèle des frottements fluides qui interviennent au cours de la chute.
On constate alors qu’il est possible de déterminer dans chaque cas la valeur de k ou de k’ de manière à
obtenir une courbe passant au plus près des points expérimentaux. La qualité de ce recouvrement dépend
du fluide, des conditions de chute et de l’objet en chute. On montre néanmoins que, quel que soit le
modèle envisagé
1
pour la force f, il est toujours possible de distinguer deux régimes d’évolution
(transitoire puis permanent) et de déterminer la valeur d’une vitesse limite de chute
2
. On montre, en
outre, que l’accélération du mouvement varie toujours de manière continue entre la valeur initiale g(1-
V/M) et la valeur finale 0.
Travail proposé
Chaque groupe d’élèves travaille sur l’un des enregistrements étudié dans la séance précédente (cf. fiches
« D3 – Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air ? De quoi dépend-il ? » ou « D4 – Quels
sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide ? »). Il dispose dans son tableur
de la feuille de calcul dans laquelle sont reportées les coordonnées des points expérimentaux, le calcul
des vitesses, ainsi que leur représentation dans le plan ( t , v ).
1
En général, les deux hypothèses simples envisagées ne peuvent être départagées par la seule expérience de chute
dans un fluide. Pour obtenir un résultat plus probant, il serait nécessaire de s‘interroger sur la nécessité de prendre
en compte dans l’établissement de l’équation différentielle, outre les frottements visqueux, l’inertie du fluide au
contact de l’objet en chute. Cette modélisation plus difficile et hors de portée pour un élève de terminale ne sera pas
envisagée ici.
2
On pourra se reporter au texte de Complément scientifique sur les forces de frottement pour une mise au point des
différents modèles possibles.

1. Hypothèses concernant les frottements
Les élèves ont eu à lire le texte d’Huygens intitulé « comment et pourquoi l’air et l’eau ralentissent-ils la
chute des corps » (texte et questions
3
donnés ici en dernière page). Dans ce texte, Huygens discute deux
hypothèses concernant la relation liant la force des frottements f à la vitesse v du solide dans l’air.
Le travail proposé aux groupes peut alors se présenter de la manière suivante :
Proposition de questions :
Quelles sont les deux hypothèses successives de Huygens concernant la relation entre force de
résistance (ou force de frottement) f et vitesse v ?
Écrivez les relations traduisant celles-ci .
On se propose, pour commencer, de tester l’hypothèse la plus simple. Quelle est cette hypothèse ?
L’hypothèse la plus simple à tester, est donc une force de frottement de type
v.kf 
2. Premier essai de modélisation : avec l’hypothèse f = k.v
2.1. Établissement de l’équation différentielle :
Appliquez au solide en chute la deuxième loi de Newton (vous pouvez vous aider au moyen d’un
diagramme objet-interactions de manière à bien prendre en compte toutes les actions qui
s’appliquent au solide en chute).
Montrez alors qu’avec l’hypothèse faite concernant les frottements, la vitesse v satisfait à une
équation différentielle de la forme :
Av.B
dt
dv 
Diagramme objet-interactions
4
: La
deuxième
loi de
Newton
s’écrit :
a.MfFF )B/A()B/A()B/T(
Avec
VgF)B/A( 
(V étant le volume des ballons)
et
v.kf )B/A( 
(par hypothèse).
On obtient donc arithmétiquement la relation suivante
(tout étant unidirectionnel) :
MakvVgMg 
L’équation différentielle (1) s’obtient en divisant le tout par la masse M.
Av.B
dt
dv 
(1) avec
)
M
V
(gA   1
(2) et
M
k
B
(3)
3
On pourra se référer au document "TG1 - De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences
physiques" pour des suggestions sur l’exploitation didactique de ce texte.
4
Nous donnons ici l’exemple de la chute d’une grappe de ballons dans l’air. Le même type de calculs vaut pour tout
solide en chute dans un fluide visqueux.
fA/B
FT/B
FA/B
Ballons
+ lest
Terre
Air
Frottements
fr
Poussée
d’Archimède
(T)
(B)
(A)
)

On fait alors remarquer aux élèves que l’équation différentielle (1) est de même type que celle qui a été
écrite lors de la charge d’un condensateur pour la fonction q(t) ainsi que celle qui a été écrite pour
l’établissement d’un courant électrique dans une bobine inductive pour la fonction i(t) et qu’ils savent
résoudre cette équation.
Montrez que l’estimation de la vitesse limite permet de calculer la valeur de B. Effectuez alors les
calculs de A et de B pour la chute dont vous avez l’enregistrement.
A est donné par la relation (2)
B est déduit de la relation (1) : lorsque v est constante (vitesse limite) la dérivée de v est nulle et
lim
vA
B
A titre d’exemple nous donnons ci-dessous les résultats trouvés avec l’enregistrement de la chute
correspondant au document "chutair 22g" donné sur le cédérom.
Le volume des ballons est 5,4 L
5
et la masse en chute est 22 g . On obtient
6
A = 6,95 m.s-2. En prenant
pour la vitesse limite 2,45 m.s-1 le calcul donne B = 2,85 s-1.
Avec ces valeurs exprimées en unités SI, l’équation différentielle s’écrit alors numériquement de la façon
suivante :
6,952,85.v
dt
dv 
5
Ce volume est obtenu en mesurant le diamètre moyen de chaque ballon assimilé à une sphère.
6
En prenant la masse volumique de l’air à une température de 25°C, soit 1,19 g.mol-1

2.2. Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler.
On rappelle aux élèves le principe de la méthode :
Les accélérations sont données par l’équation différentielle :
n
calc
n
calc 2,85.v6,95a 
Les vitesses, calculées à partir des accélérations, sont données
par la relation :
tavv n calc
n
calc
1n
calc 
Les élèves effectuent à la main les calculs des trois ou quatre
premières valeurs de vcalc et de acalc.
On définit alors deux nouvelles colonnes de la feuille pour les calculs
de vcalc et acalc (dans notre exemple les colonnes D et E). On porte la
valeur 0 comme première valeur de la vitesse
calculée(cellule D4). Puis on écrit la formule de
l’accélération correspondante (cellule E4). A la ligne suivante,
on peut écrire alors la formule de la vitesse sous la valeur zéro
(cellule D5). On recopie alors jusqu’au bas du tableau de valeurs les
contenus des cellules D5 et E4 et l’on demande la
construction de la courbe représentative de vcalc = f(t). On obtient un
résultat analogue au suivant (nous prenons toujours comme exemple le document "chutair 22g").
On constate que la courbe, passe au voisinage des points expérimentaux. Elle se situe cependant plutôt au-
dessous de ces points. L’hypothèse f = k.v n’est donc pas tout à fait satisfaisante.
On propose alors aux élèves de tester la deuxième hypothèse proposée par Huygens.

3. Deuxième essai de modélisation : avec l’hypothèse f = k’.v²
Il s’agit maintenant de tester de la même façon l’hypothèse f = k’.v². Cela qui signifie qu’il faut
réexprimer l’équation différentielle et déterminer les valeurs des constantes.
L’équation différentielle s’écrit
A²Cv
dt
dv 
avec
)
M
V
(gA   1
et
M
k
C
Dans ce cas, seule la valeur de C est modifiée : quand v = v lim = 2,45 m.s-1 , on a
1,16
²vA
C
lim
m –1 et l’équation différentielle à résoudre est :
6,951,16.v²
dt
dv 
On remplace, dans la colonne E la formule de calcul de acalc par 6,95–1,16*D4^2 (cellule E4)
On obtient alors le tracé suivant :
Ici encore, on constate que la courbe, passe au voisinage des points expérimentaux. Le recouvrement est
assez bon excepté dans la partie centrale de la courbe. Cette deuxième hypothèse semble plutôt mieux
vérifiée que la première.