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D5 – Comment modéliser une force de frottement ?
Cette séance fait suite à l’étude expérimentale de la chute dans un fluide. Le but est ici d’utiliser
les données expérimentales obtenues précédemment pour construire un modèle de la force de
frottement fluide. Pour cela, on utilise un outil de résolution numérique : ici, la méthode d’Euler.
Le principe de cette étude est le suivant.
On formule différentes hypothèses plausibles concernant la forme de la relation liant la valeur de
la force de frottement à la vitesse du solide en mouvement dans le fluide. L’application de la
deuxième loi de Newton au solide en mouvement permet alors d’établir une équation
différentielle dont la fonction inconnue est l’expression, en fonction du temps, de la vitesse v(t).
La résolution de cette équation différentielle par la méthode d’Euler fournit une courbe
représentative de la fonction cherchée.
Pour valider le modèle de la force de frottement fluide, on raisonne alors de la manière suivante :
si l’hypothèse de départ concernant l’expression de la force de frottement est bonne, une courbe
théorique obtenue par la méthode d’Euler doit passer au plus près des points expérimentaux. Si,
au contraire, le recouvrement n’est pas acceptable, l’hypothèse de départ doit être revue. Sur la
base d’une analyse physique du désaccord, une nouvelle hypothèse est alors testée.
Dans cette activité, les élèves sont conduits à examiner successivement les deux hypothèses
simples f  k . v et f  k'. v 2 . On constate qu’il est possible de déterminer dans chaque cas la
valeur de k ou de k’ de manière à obtenir une courbe passant au plus près des points
expérimentaux. La qualité de ce recouvrement dépend des conditions expérimentales (nature du
fluide, conditions de chute, mobile). On montre néanmoins que, quel que soit le modèle envisagé1
pour la force f, il est toujours possible de distinguer deux régimes d’évolution (transitoire puis
permanent) et de déterminer la valeur d’une vitesse limite de chute2. On montre, en outre, que
l’accélération du mouvement varie toujours de manière monotone entre la valeur initiale
g(1  ρV/M) et la valeur finale 0.
Travail proposé
Chaque groupe d’élèves travaille sur l’un des enregistrements étudié dans la séance précédente
(cf. fiches « D3 – Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air ? De quoi dépend-il ? »
ou « D4 – Quels sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide ? »). Il
dispose dans son tableur de la feuille de calcul dans laquelle sont reportées les coordonnées des
points expérimentaux, le calcul des vitesses, ainsi que leur représentation dans le plan (t , v).
Hypothèses concernant les frottements
Les élèves ont eu à lire le texte de Huygens intitulé « Comment et pourquoi l’air et l’eau
ralentissent-ils la chute des corps » (texte et questions3 donnés ici en dernière page). Dans ce
1. En général, les deux hypothèses simples envisagées ne peuvent être départagées par la seule
expérience de chute dans un fluide. Pour obtenir un résultat plus probant, il serait nécessaire de s’interroger
sur la nécessité de prendre en compte dans l’établissement de l’équation différentielle, outre les frottements
visqueux, l’inertie du fluide au contact de l’objet en chute. Cette modélisation plus difficile et hors de portée
pour un élève de terminale ne sera pas envisagée ici.
2 On pourra se reporter au texte de Complément scientifique sur les forces de frottement pour une mise au
point des différents modèles possibles.
3. On pourra se référer au document « TG1 - De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement
des sciences physiques » pour des suggestions sur l’exploitation didactique de ce texte.
texte, Huygens discute deux hypothèses concernant la relation liant la force de frottement à la
vitesse du solide dans l’air.
Le travail proposé aux groupes peut alors se présenter de la manière suivante.
Exemple de questions
« Quelles sont les deux hypothèses successives de Huygens concernant la relation entre force
de résistance (ou force de frottement) f et vitesse v ?
Écrivez les relations qui les traduisent.
On se propose, pour commencer, de tester l’hypothèse la plus simple. Quelle est cette
hypothèse ? »
L’hypothèse la plus simple est celle d’une force de frottement du type f  k . v .
Premier essai de modélisation : avec l’hypothèse f  k.v
Établissement de l’équation différentielle
Il faut déterminer l’équation différentielle et les valeurs des constantes qui interviennent.
Exemple de questions
« Appliquez au solide en chute la deuxième loi de Newton (vous pouvez vous aider d’un
diagramme objet-interactions de manière à bien prendre en compte toutes les actions qui
s’appliquent au solide en chute).
Montrez alors qu’avec l’hypothèse faite concernant les frottements, la vitesse v satisfait à une
dv
équation différentielle de la forme :
 B. v  A »
dt
Diagramme objet-interactions4 :
Frottements
Ballons
+ lest
(B)
Terre
(T)
La deuxième loi de Newton s’écrit :
Air
(A)
Poussée
d’Archimède




F(T/B)  F(A/B)  f (A/B)  M . a
avec F(A/B)  ρVg (V étant le volume des ballons)
)
fA/B
FA/B
et f (A/B)  k . v (par hypothèse).
On obtient donc arithmétiquement la relation suivante
(en projection sur un axe dirigé vers le bas) : Mg ρVg kv  Ma .
FT/B
4 Nous donnons ici l’exemple de la chute d’une grappe de ballons dans l’air. Le même type de calcul vaut
pour tout solide en chute dans un fluide visqueux.
L’équation différentielle cherchée s’obtient en divisant le tout par la masse M :
dv
 B . v  A (1)
dt
avec :
ρV
A  g(1 
) (2)
M
k
(3)
B
M
On fait alors remarquer aux élèves que l’équation différentielle (1) est de même type que celle qui
a été écrite lors de la charge d’un condensateur pour la fonction q(t), ainsi que celle qui a été
écrite pour l’établissement d’un courant électrique dans une bobine inductive pour la fonction i(t),
et qu’ils savent résoudre cette équation.
Exemple de questions
« Montrez que l’estimation de la vitesse limite permet de calculer la valeur de B. Effectuez
alors les calculs de A et de B pour la chute dont vous avez l’enregistrement. »
A est donné par la relation (2).
B est déduit de la relation (1) : lorsque v est constante (vitesse limite), la dérivée de v est nulle et
A
B
Vlim
À titre d’exemple, nous donnons ci-dessous les résultats trouvés avec l’enregistrement de la chute
correspondant au document « chutair 22g » donné sur le cédérom.
Le volume des ballons est 5,4 L5 et la masse en chute est 22 g. On obtient6 A = 6,95 m.s–2. En
prenant pour la vitesse limite 2,45 m.s–1 le calcul donne B = 2,85 s–1.
Avec ces valeurs exprimées en unités SI, l’équation différentielle s’écrit alors numériquement de
dv
la façon suivante :
 2,85.v  6,95 .
dt
5. Ce volume est obtenu en mesurant le diamètre moyen de chaque ballon assimilé à une sphère.
6. En prenant la masse volumique de l’air à une température de 25 °C, soit 1,19 g.mol–1
Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
On rappelle aux élèves le principe de la méthode.
Les accélérations aux instants de discrétisation sont données
par l’équation différentielle : acalc n  6,95  2,85.vcalc n .
Les vitesses, calculées à partir des accélérations, sont
données par la relation : vcalc n 1  vcalc n  acalc n  t .
Les élèves effectuent à la main les calculs des trois ou
quatre premières valeurs de vcalc et de acalc.
On définit alors deux nouvelles colonnes de la feuille pour
les calculs de vcalc et acalc (dans notre exemple, les colonnes
D et E). On porte la valeur 0 comme première valeur de la
vitesse calculée (cellule D4). Puis on écrit la formule de
l’accélération correspondante (cellule E4). À la ligne
suivante, on peut écrire la formule de la vitesse sous la
valeur zéro (cellule D5). On recopie alors jusqu’au bas du
tableau de valeurs les contenus des cellules D5 et E4 et l’on
demande la construction de la courbe représentative de
v calc  f(t) . On obtient un résultat analogue au suivant
(nous prenons toujours comme exemple le document « chutair 22g »).
On constate que la courbe passe au voisinage des points expérimentaux. Elle se situe cependant
plutôt au-dessous de ces points. L’hypothèse f  k . v n’est donc pas tout à fait satisfaisante.
On suggère alors aux élèves de tester la deuxième hypothèse proposée par Huygens.
Deuxième essai de modélisation : avec l’hypothèse f  (k'.v2 )
Il s’agit maintenant de tester de la même façon l’hypothèse f = k’.v². Il faut donc réexprimer
l’équation différentielle et déterminer les valeurs des constantes.
L’équation différentielle s’écrit
ρV
dv
 Cv ²  A avec A  g(1 
) et
dt
M
Dans ce cas, seule la valeur de C est modifiée. Pour
C
A
v lim ²
 1,16 m 1 et l’équation différentielle à résoudre s’écrit :
C
k
M
v  v lim  2,45 m . s 1 , on a
dv
 1,16.v²  6,95 .
dt
On remplace, dans la colonne E, la formule de calcul de acalc par 6,95  1,16  D 4^2 (cellule E4).
On obtient alors le tracé suivant :
Ici encore, on constate que la courbe passe au voisinage des points expérimentaux. Le
recouvrement est assez bon, excepté dans la partie centrale de la courbe. Cette seconde hypothèse
semble plutôt mieux vérifiée que la première.
Conclusion
1. 1.Les résultats précédents ne permettent pas de choisir à coup sûr, parmi les deux hypothèses,
f  k.v et f  k'.v 2 , celle qui modélise le mieux les frottements visqueux au cours de la
chute étudiée. Les deux courbes passant cependant près des points expérimentaux confirment
que les frottements peuvent être modélisés par une force qui augmente avec la vitesse.
2. 2.Le fait que les courbes obtenues passent tantôt au-dessous, tantôt au-dessus, des points
expérimentaux incite à penser que les hypothèses formulées par Huyghens, qui ont le mérite
de la simplicité, sont insuffisantes pour modéliser le phénomène de manière plus
satisfaisante. Une modélisation plus précise supposerait des hypothèses plus complexes7.
3. 3.Les courbes obtenues dans les deux cas montrent néanmoins qu’il est toujours possible de
distinguer dans le phénomène deux régimes d’évolution : un régime transitoire accéléré
suivi d’un régime permanent à vitesse constante (la somme des forces est alors nulle) et de
déterminer la valeur d’une vitesse limite de chute.
4. 3.Elles montrent également que, pendant la phase transitoire, l’accélération du mouvement
varie toujours de manière monotone entre la valeur initiale g(1  ρV/M) et la valeur finale 0.
Tenant compte, notamment, qu’une certaine masse d’air  est entraînée dans le mouvement de chute et
donc accélérée comme l’objet.
7
Texte documentaire : comment l'air ou l'eau ralentissent-ils la chute d'un corps ?
Christian Huygens, dans son Discours de la cause de la pesanteur, écrit ceci en 1690 :
« J’ai vu avec plaisir ce que Mr. Newton écrit touchant les chutes et les jets
des corps pesants dans l’air, ou dans quelque autre milieu qui résiste au
mouvement, m’étant appliqué autrefois à la même recherche.
...
J’examinerai premièrement ces mouvements en supposant que les forces de la
résistance sont comme8 les vitesses des corps, ce qui, alors, me paraissait fort
vraisemblable. Mais ayant obtenu ce que je cherchais, j’appris presque en
même temps, par les expériences que nous fîmes à Paris dans l’Académie des
Sciences, que la résistance de l’air et de l’eau était comme les carrés des
vitesses. Et la raison est assez aisée à concevoir ; parce qu’un corps, allant
par exemple avec double vitesse, est rencontré par deux fois autant de
particules de l’air ou de l’eau, et avec double célérité. Ainsi je vis ma nouvelle
théorie renversée, ou du moins inutile.
…
Pour expliquer ce qui est des chutes des corps, je répète ici premièrement ce
que j’ai écrit à la fin du traité du Centre d’Agitation : à savoir qu’un corps, en
tombant à travers l’air, augmente continuellement sa vitesse, mais toutefois en
sorte qu’il n’en peut jamais excéder, ni même atteindre, un certain degré9, qui
est la vitesse qu’il faudrait à l’air à souffler de bas en haut, pour tenir le corps
suspendu sans pouvoir descendre ; car alors, la force de l’air contre ce corps
égale sa pesanteur10. J’appelle cette vitesse, dans chaque corps, la vitesse
Terminale. »
Questions
1. Quelles sont les deux hypothèses successives de Huygens concernant la relation entre force
de résistance (ou force de frottement) f et vitesse v ?
2. Que pensez vous du justificatif de la première hypothèse de Huygens ?
3. Quelle sorte d’argument incite Huygens à changer d’opinion ? Comment Huygens justifie-t-il
théoriquement et a posteriori cette hypothèse ? Reformulez l’interprétation de cette seconde
hypothèse. Que pensez vous de cette interprétation ?
4. Dans le dernier paragraphe, Huygens énonce deux affirmations :


l’existence d’une vitesse limite de chute
une fois cette vitesse limite atteinte, l’égalité entre cette vitesse et celle qu’il faudrait
donner à un vent vertical, vers le haut, pour tenir le corps en équilibre en l’air malgré son
poids.
Justifiez les deux affirmations de Huygens par l’application des lois de Newton.
8
Quand on lit « sont comme » dans un texte de cette époque, il faut comprendre « sont
proportionnelles ».
9
Quand on lit « un certain degré » il faut comprendre « une certaine valeur ».
10
Lire « égale son poids ».