1°S Angles, trigonométrie et repérage Dans tout ce chapitre, nous

1°S Angles, trigonométrie et repérage
Dans tout ce chapitre, nous considérons un repère orthonormal (O, I, J) et nous désignerons par :
♦
i
et
j
les vecteurs
OIi
et
OJj
;
♦ I’ et J’ les symétriques de I et J.
♦ C le cercle trigonométrique.
Nous exprimerons « les réels x et y diffèrent d’un multiple entier de 2 π » par :
« il existe k Z tel que x – y = 2 k π ou x = y + 2 k π » ou par :
« x = y [ 2 π ] qui se lit x égale y modulo 2 π ».
1. Les angles orientés.
Définition 1. Soit
u
et
v
deux vecteurs de norme 1 ; A et B des points de
tels que :
uOA
et
vOB
. On note a et b les abscisses curvilignes de
A et B. On appelle mesures de l’angle orienté
),( vu
les nombres b – a.
Remarques.
♦ Un angle orienté a une infinité de mesures qui diffèrent d’un multiple
de 2 π. Pour exprimer que le réel x est une mesure de l’angle orienté
),( vu
, on écrit
π2),( xvu
.
♦ Parmi les mesures de l’angle orienté
),( vu
, une et une seule appartient à l’intervalle ] – π , π ], cette
mesure est appelée la mesure principale de
),( vu
.
♦ Pour tout vecteur unitaire
u
, on a
),( uu
= 0 [ 2 π ] (angle nul) et
),( uu
= π [ 2 π ] (angle plat). Étant
donné deux vecteurs orthogonaux
u
et
v
, on a
π2),( 2
π
vu
ou bien
π2),( 2
π
vu
(angle droit).
Exercice 1. On considère les points A et B du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes respectives
3
π
et
4
π3
. Faire une figure, puis calculer la mesure principale des angles orientés
OB,OA
et
OA,OB
.
Définition 2. Les mesures de l’angle orienté
),( vu
(
u
et
v
non nuls) sont définies par :
Théorème 1 (relation de Chasles pour les angles orientés).
Quels que soient les vecteurs
u
,
v
,
w
:
π2),(),(),( wuwvvu
.
Démonstration. La définition 2 permet de supposer les vecteurs unitaires. Soit alors A, B, C les points du
cercle trigonométrique tels que
uOA
,
vOB
,
wOC
et notons a, b, c les abscisses curvilignes de
ces points. Par la définition 1, on a
π2),()()(),(),( wuacbcabwvvu
.
Conséquences. Soient
u
et
v
deux vecteurs non nuls. On a :
π2),(),( vuuv
π2π),(),( vuvu
et
π2π),(),( vuvu
π2),()λ,λ(vuvu
pour tout réel
λ
non nul.
A
B
I
J
O
u
v
(a)
(b)
+

Démonstrations. Utiliser la relation de Chasles, par exemple :
π20),(),(),( uuuvvu
donc
π2),(),( vuuv
.
Angles géométriques et angles orientés.
La mesure (en radian) α d’un angle géométrique  AOB est comprise entre 0 et π. On écrit  AOB = α.
La mesure x d’un angle orienté est réel défini modulo 2 π. On note
)OB,OA(
= x [ 2
π
].
La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté
)OB,OA(
est la mesure (en radians dans
[ 0 , π ]) de l’angle géométrique  AOB.
Définition 3. Un repère orthonormal
),,O( ji
du plan est direct lorsque
π2),( 2
π
ji
et indirect lorsque
π2),( 2
π
ji
.
Théorème 2 (admis).
Une réflexion change un angle orienté en son opposé.
2. Trigonométrie.
Définition 4.
Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’angle orienté
)OM,OI(
). On appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x), les coordonnées de M dans le repère
(O, I, J). Autrement dit
OJ)(sinOI)(cosOM xx
.
Remarques.
♦ En considérant les points I (1 , 0), J (0 , 1), I’(– 1 , 0), J’(0 , – 1)
associés à 0,
2
π
, π et
2
π
, on a cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos
2
π
= 0, sin
2
π
= 1,
cos π = – 1, sin π = 0, cos
2
π
= 0 et sin
2
π
= – 1.
♦ Quel que soit l’entier relatif k, les réels x et x + 2 k π ont le même
point associé M sur le cercle.
Donc cos (x + 2 k π) = cos x et sin (x + 2 k π) = sin x.
Les angles aigus.
Lorsque 0 < x <
2
π
, il est visible sur la figure que cos x > 0 et sin x > 0.
D’autre part, on a : cos  IOM =
1
cos
OM
OC x
et sin  IOM =
1
sin
OM
OS
OM
CM x
= sin x.
cos x et sin x sont le cosinus et le sinus de l’angle géométrique  IOM.
A
BC
A'
B' C'
α
– α
o
M
I
J
sin x
cos x
x
o
M
I
J
S
C
x

Définition 5. Étant donné deux vecteurs non nuls
u
et
v
, on désigne par cos
),( vu
et sin
),( vu
le
cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de
),( vu
.
Valeurs remarquables.
x
0
6
π
4
π
3
π
2
π
cos x
1
2
3
2
2
2
1
0
sin x
0
2
1
2
2
2
3
1
Propriétés élémentaires.
♦ Pour tout réel x, cos 2 x + sin 2 x = 1.
♦ Pour tout réel x, – 1 ≤ cos x ≤ 1 et – 1 ≤ sin x ≤ 1.
Exercice 2.
Calculer sin α et cos β sachant que : ▪
0α
2
π
et cos α = 0,6 ▪
πβ
2
π
et sin β = 0,8.
Que dire des points associés à α et β sur le cercle trigonométrique ?
Les angles associés.
a. Configuration du rectangle.
cos (π – x) = – cos x
sin (π – x) = sin x
cos (π + x) = – cos x cos (– x) = cos x
sin (π + x) = – sin x sin (– x) = – sin x
Exercice 3. Calculer
6
π
π
. En déduire le cosinus et le sinus de
6
π5
.
b. Angles complémentaires.
Deux points de C associés à deux angles complémentaires sont
symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
De ce fait les coordonnées sont « échangées ». Si l’un a pour
coordonnées (a, b) alors l’autre a pour coordonnées (b, a).
Il en découle :
cos
x
2
π
= sin x et sin
x
2
π
= cos x.
Par ailleurs en changeant x par – x dans ces relations, on obtient :
cos
x
2
π
= sin (– x) = – sin x et sin
x
2
π
= cos (– x) = cos x.
I
J
O
I
J
O
M
M1
M2 M'
x
x + π
π – x
– x
I
J
O
M
M'
x
2
π
– x
3
π
4
π
6
π
2
1
2
1

3. Fonctions cosinus et sinus.
La fonction cosinus est définie sur R.
Il est inutile d’étudier les variations de la fonction cosinus sur R, puisque pour tout x, cos x = cos (x + 2 ).
x
0 /2 3 /2 2
Cos x
1 1
0 0
– 1
x
0
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
2
Cos x
1
2/2
1/2
0
– 1/2
– 2/2
– 1
– 2/2
– 1/2
0
1/2
2/2
1
Point
A
T
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
R
S
La fonction sinus est définie sur R.
Il est inutile d’étudier les variations de la fonction sinus sur R, puisque pour tout x, sin x = sin (x + 2 ).
x
0 /2 3 /2 2
Sin x
1
0 0 0
– 1
x
0
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/4
4/3
3/2
5/3
7/4
2
Sin x
0
2/2
3/2
1
3/2
2/2
0
– 2/2
– 3/2
– 1
– 3/2
– 2/2
0
Point
O
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
R
S
x
y
o
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
R
SA
T
x
y
o
AB
C
DE
F
GH
P
Q
R
S

4. Repérage polaire.
Définition 6. A chaque point M distinct de O, nous pouvons associer les couples (r, θ) où :
▪ r est la distance OM (on a donc r > 0) ▪ θ est une mesure de l’angle
)OM,(i
.
Ce couple est un couple de coordonnées polaires de M et l’on note M (r, θ).
Remarques.
▪ Un point M admet plusieurs coordonnées polaires puisque θ n’est
défini qu’à 2 k π près (dans la pratique on choisit θ dans [ 0 , 2 π [ ou
dans ] – π , π ]).
▪ Pour l’origine, on convient que r = 0 et que θ est quelconque.
▪ La donnée d’un couple (r, θ) détermine de façon unique le point M.
Exercice 4.
Déterminer les coordonnées polaires des points I, J, A, B, C (sur la
figure).
Théorème 3.
Si un point M a pour coordonnées cartésiennes (x, y)
et pour coordonnées polaires (r,
θ
), alors :
Passage des coordonnées cartésiennes
aux coordonnées polaires
Passage des coordonnées polaires
aux coordonnées cartésiennes
 r =
22 yx
 x = r cos
θ
 cos
θ
=
22 yx
x
r
x
 y = r sin
θ
 sin
θ
=
22 yx
y
r
y
Démonstration. Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et de
coordonnées polaires (r, θ). Et soit m le point d’intersection de la demi-
droite [ O, M [ avec le cercle C.
On a d’une part
mr OOM
,
et d’autre part
jim θ)(sinθ)(cosO
,
d’où
jirmr θ)(sinθ)(cosOOM
,
soit
jrir θ)sin(θ)cos(OM
.
Et
jyixOM
(par définition des coordonnées cartésiennes).
Par identification, on a donc x = r cos θ et y = r sin θ.
La relation r 2 = x 2 + y 2 résulte du théorème de Pythagore puis donne r =
22 yx
puisque r > 0.
O I
J
M
r
O I
J
A
B C
O I
J
M
m
θ
r