1°S Angles, trigonométrie et repérage Dans tout ce chapitre, nous considérons un repère orthonormal (O, I, J) et nous désignerons par : ♦ i et j les vecteurs i OI et j OJ ; ♦ I’ et J’ les symétriques de I et J. ♦ C le cercle trigonométrique. Nous exprimerons « les réels x et y diffèrent d’un multiple entier de 2 π » par : « il existe k Z tel que x – y = 2 k π ou x = y + 2 k π » ou par : « x = y [ 2 π ] qui se lit x égale y modulo 2 π ». 1. Les angles orientés. + J A (a) (b) B tels que : OA u et OB u v Définition 1. Soit u et v deux vecteurs de norme 1 ; A et B des points de O I v . On note a et b les abscisses curvilignes de A et B. On appelle mesures de l’angle orienté ( u , v ) les nombres b – a. Remarques. ♦ Un angle orienté a une infinité de mesures qui diffèrent d’un multiple de 2 π. Pour exprimer que le réel x est une mesure de l’angle orienté ( u , v ) , on écrit ( u , v ) x 2π . ♦ Parmi les mesures de l’angle orienté ( u , v ) , une et une seule appartient à l’intervalle ] – π , π ], cette mesure est appelée la mesure principale de ( u , v ) . ♦ Pour tout vecteur unitaire u , on a ( u , u ) = 0 [ 2 π ] (angle nul) et ( u , u ) = π [ 2 π ] (angle plat). Étant donné deux vecteurs orthogonaux u et v , on a ( u , v ) π 2 2 π ou bien ( u , v ) π 2 2 π (angle droit). Exercice 1. On considère les points A et B du cercle trigonométrique d’abscisses curvilignes respectives π 3 et 3π 4 . Faire une figure, puis calculer la mesure principale des angles orientés OA , OB et OB , OA . Définition 2. Les mesures de l’angle orienté ( u , v ) ( u et v non nuls) sont définies par : Théorème 1 (relation de Chasles pour les angles orientés). Quels que soient les vecteurs u , v , w : ( u , v ) ( v , w ) (u , w) 2 π . Démonstration. La définition 2 permet de supposer les vecteurs unitaires. Soit alors A, B, C les points du cercle trigonométrique tels que OA u , OB v , OC ces points. Par la définition 1, on a ( u , v ) ( v , w ) (b w et notons a, b, c les abscisses curvilignes de a) (c b) c a (u , w) 2 π . Conséquences. Soient u et v deux vecteurs non nuls. On a : (v ,u ) (λu,λv) (u ,v ) 2 π ( u , v ) 2 π pour tout réel λ non nul. ( u ,v) (u ,v ) π 2π et ( u , v ) (u ,v ) π 2π Démonstrations. Utiliser la relation de Chasles, par exemple : (u ,v ) (v ,u ) (u ,u ) 0 2 π donc ( v , u ) (u ,v ) 2 π . Angles géométriques et angles orientés. La mesure (en radian) α d’un angle géométrique AOB est comprise entre 0 et π. On écrit AOB = α. La mesure x d’un angle orienté est réel défini modulo 2 π. On note ( OA , OB ) = x [ 2 π ]. La valeur absolue de la mesure principale de l’angle orienté ( OA , OB ) est la mesure (en radians dans [ 0 , π ]) de l’angle géométrique AOB. A Définition 3. Un repère orthonormal ( O , i , j ) du plan est direct lorsque (i, j) π 2 π 2 2 π et indirect lorsque ( i , j ) B α C 2π . Théorème 2 (admis). Une réflexion change un angle orienté en son opposé. B' C' –α A' 2. Trigonométrie. Définition 4. Soit x un réel et M le point du cercle trigonométrique associé à x (x est une mesure de l’angle orienté ( OI , OM ) ). On appelle cosinus et sinus de x (notés cos x et sin x), les coordonnées de M dans le repère (O, I, J). Autrement dit OM (cos x ) OI J (sin x ) OJ . cos π = – 1, sin π = 0, cos π 2 = 0 et sin π 2 M sin x Remarques. ♦ En considérant les points I (1 , 0), J (0 , 1), I’(– 1 , 0), J’(0 , – 1) associés à 0, π2 , π et π2 , on a cos 0 = 1, sin 0 = 0, cos π2 = 0, sin π2 = 1, x = – 1. I cos x o ♦ Quel que soit l’entier relatif k, les réels x et x + 2 k π ont le même point associé M sur le cercle. Donc cos (x + 2 k π) = cos x et sin (x + 2 k π) = sin x. Les angles aigus. Lorsque 0 < x < π2 , il est visible sur la figure que cos x > 0 et sin x > 0. D’autre part, on a : cos IOM = OC OM cos x 1 et sin IOM = CM OM OS OM cos x et sin x sont le cosinus et le sinus de l’angle géométrique IOM . sin x 1 = sin x. J S M x C o I Définition 5. Étant donné deux vecteurs non nuls u et v , on désigne par cos ( u , v ) et sin ( u , v ) le cosinus et le sinus d’une mesure quelconque de ( u , v ) . J Valeurs remarquables. x 0 cos x 1 sin x 0 3 π π π π 6 4 3 2 3 2 1 2 2 3 2 π 4 1 π 2 6 0 2 2 1 2 π 1 2 O Propriétés élémentaires. ♦ Pour tout réel x, cos 2 x + sin 2 x = 1. ♦ Pour tout réel x, – 1 ≤ cos x ≤ 1 et – 1 ≤ sin x ≤ 1. Exercice 2. Calculer sin α et cos β sachant que : ▪ π 2 α 1 I 2 0 et cos α = 0,6 ▪ π 2 β π et sin β = 0,8. Que dire des points associés à α et β sur le cercle trigonométrique ? Les angles associés. J a. Configuration du rectangle. π–x M cos (π – x) = – cos x sin (π – x) = sin x x 1 M O I cos (π + x) = – cos x sin (π + x) = – sin x Exercice 3. Calculer π cos (– x) = cos x sin (– x) = – sin x π 6 M' M x+π –x . En déduire le cosinus et le sinus de 5π 6 b. Angles complémentaires. π 2 x = sin x et sin π 2 x = cos x. Par ailleurs en changeant x par – x dans ces relations, on obtient : cos π 2 . J Deux points de C associés à deux angles complémentaires sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. De ce fait les coordonnées sont « échangées ». Si l’un a pour coordonnées (a, b) alors l’autre a pour coordonnées (b, a). Il en découle : cos 2 x = sin (– x) = – sin x et sin π 2 x = cos (– x) = cos x. π 2 –x M' x M O I 3. Fonctions cosinus et sinus. La fonction cosinus est définie sur R. Il est inutile d’étudier les variations de la fonction cosinus sur R, puisque pour tout x, cos x = cos (x + 2 ). x 0 1 Cos x /2 3 /2 0 0 2 1 –1 y x 0 /4 /3 /2 2 /3 Cos x 1 2/2 1/2 0 – 1/2 – 2/2 – 1 – 2/2 – 1/2 Point A T B C 3 /4 D 5 /4 E F G 4 /3 3 /2 5 /3 H 7 /4 2 0 1/2 2/2 1 P Q R S A S T R B Q P C o x D H E G F La fonction sinus est définie sur R. Il est inutile d’étudier les variations de la fonction sinus sur R, puisque pour tout x, sin x = sin (x + 2 ). x 0 Sin x 0 /2 1 3 /2 2 0 0 –1 y x 0 /4 /3 /2 Sin x 0 2/2 3/2 Point O A B 2 /3 3 /4 5 /4 1 3/2 2/2 0 C D E F 4 /3 3 /2 –1 – 2/2 – 3/2 G H P 5 /3 7 /4 – 3/2 – 2/2 Q R 2 0 S C A B D E F S o x G H R Q P 4. Repérage polaire. Définition 6. A chaque point M distinct de O, nous pouvons associer les couples (r, θ) où : ▪ r est la distance OM (on a donc r > 0) ▪ θ est une mesure de l’angle (i , OM ) . Ce couple est un couple de coordonnées polaires de M et l’on note M (r, θ). M Remarques. ▪ Un point M admet plusieurs coordonnées polaires puisque θ n’est défini qu’à 2 k π près (dans la pratique on choisit θ dans [ 0 , 2 π [ ou dans ] – π , π ]). ▪ Pour l’origine, on convient que r = 0 et que θ est quelconque. ▪ La donnée d’un couple (r, θ) détermine de façon unique le point M. Exercice 4. Déterminer les coordonnées polaires des points I, J, A, B, C (sur la figure). J r O I B C J O Théorème 3. Si un point M a pour coordonnées cartésiennes (x, y) et pour coordonnées polaires (r, θ ), alors : Passage des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires r= x2 y2 cos θ = x r x2 sin θ = r x = r cos θ y = r sin θ y2 y x2 y2 Démonstration. Soit M un point de coordonnées cartésiennes (x, y) et de coordonnées polaires (r, θ). Et soit m le point d’intersection de la demidroite [ O, M [ avec le cercle C. On a d’une part OM et d’autre part O m d’où OM soit OM Et OM r Om M J r r Om , (cos θ) i r (cos θ) i ( r cos θ) i x i A Passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes x y I m (sin θ) j , (sin θ) j , O θ I ( r sin θ) j . y j (par définition des coordonnées cartésiennes). Par identification, on a donc x = r cos θ et y = r sin θ. La relation r 2 = x 2 + y 2 résulte du théorème de Pythagore puis donne r = x2 y 2 puisque r > 0. Exercice 5. Calculer les coordonnées cartésiennes des points A, B, C de coordonnées polaires A 2 , π6 , B 2, π 4 et C 4 , 2π 3 . Théorème 4 (facultatif). A Soit i un vecteur unitaire (de norme 1) et v un vecteur quelconque non nul. Le projeté orthogonal v ' de v sur i est tel que v ' v cos ( i , v ) i . Démonstration. Fixons un point O et introduisons les points I et A tels que OI Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (OI). i et OA O Alors, par définition, v ' OH est le projeté orthogonal de v sur i et le théorème 4 énonce que : OH ( OA ce qui est maintenant évident car OH cos θ) i avec θ = ( i , v ) ), OH i et OH = OA I v. cos θ . H 5. Tangente d’un réel. α J A Définition 7. Pour tout réel α , α π 2 Z), on a tan α = k π (k sin α cos α . Exercice 6. Démontrer que . O I Le point A étant associé au réel α sur le cercle trigonométrique, le point T défini dans la figure ci-contre a pour coordonnées T (1, tan α ). Exercice 7. Dans le cas où ordonnée , démontrer que a pour . T Rappel. Tangente de 0 < α < π 2 (1, tan α ) (angle aigu). Dans un triangle ABC rectangle en A, on pose α = ACB, on a tan α = AB AC . Valeurs particulières et propriétés. α 0 tan α 0 π π π 6 4 3 2 3 1 3 tan ( α + k π ) = tan α , k 1 + tan 2 α = π 1 cos α 2 Z (1) 3 Non défini tan (2) π 2 α = 1 tan α . Par conséquent La fonction tan est impaire (2) et périodique de période π (1). Le cercle trigonométrique et ses valeurs remarquables π x= x= x= x= 2 2π x= 3 3 3π π 3 2 4 x= 2 π 4 2 5π 1 6 x= 2 x= π 3 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 x= 7π 6 x= 2 x= 2 5π 2 4 x= 3 x= 2 4π x= 3 x= 3π 2 5π 3 6 x=0 3 2 π 7π 4 11 π 6 1°S Angles, trigonométrie et repérage Correction des exercices du cours + Exercice 1. J 3π D’après la définition, on a OA , OB D’autre part, on a OB , OA π 3 4 9π 4π 5π 12 12 12 5π OA , OB 12 A . B . I O Exercice 2. De la relation cos 2 x + sin 2 x = 1, nous tirons sin 2 α = 1 – cos 2 α = 1 – 0,6 2 = 0,64 = 0,8 2. De même, cos 2 β = 1 – sin 2 β = 1 – 0,8 2 = 0,6 2. Nous pouvons lire sur le cercle trigonométrique que sin α < 0, d’où sin α = – 0,8. De même, cos β < 0 donc cos β = – 0,6. Les points associés A (0,6 ; – 0,8) et B (– 0,6 ; 0,8) sont diamétralement opposés sur le cercle. J B 0,8 O 0,6 – 0,6 – 0,8 Exercice 3. Nous avons π ▪ cos 5π 6 π 6 = cos π 5π π 6 = – cos 6 π 6 A . Il en découle : =– ▪ sin 3 2 5π 6 π 6 = sin π = sin Exercice 4. ▪ Il est clair que pour A et I, θ = 0 . Comme OI = 1 et OA = 2, les coordonnées polaires de A et I sont (1, 0) et (2, 0). ▪ Avec OJ = 1, OB = 2 et ( OI , OJ ) = ( OI , OB ) = les coordonnées polaires de J et B sont 1 , π 2 π 2 et 2 , π 2 π 6 = 1 2 . B 2π , C J . ▪ Le segment [OC] est la diagonale du carré OACB de côté égal à 2. 2π , d’où C 2 2 , π4 . π 4 Nous avons OC = 2 2 et OI , OC O I Exercice 5. Par le théorème 3, on obtient xA = 2 cos De même, xB = 2 cos De même xC = 4 cos 2π 3 π 4 =4 = 2 1 2 2 2 π 6 =2 3 2 = = 1 et yB = = – 2 et yC = 4 sin 3 et yA = 2 sin 2 sin π 4 2π 3 =4 = π 6 1 2 =2 2 2 2 3 2 =–2 = 1. = – 1. 3. A I Exercice 6. Démontrons que . la fonction tangente est définie par : La recherche des « valeurs interdites » amènent à résoudre l’équation . Une droite graduée peut être utile pour visualiser les « valeurs interdites » qui sont : On en déduit que : Exercice 7. Dans le cas où . , démontrons que On applique la formule de la tangente dans le triangle a pour ordonnée rectangle en , on obtient : .