Formulaire de trigonométrie

Formulaire de trigonométrie
Périodicité des fonctions trigonométriques
Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a:
sin
x
2
k
=
sin
x
période
2
cos
x
2
k
=
cos
x
période
2
tan
x
k
=
tan
x
période
2
Zéros des fonctions trigonométriques
sin
x
=
0
si et seulement si
x
=
k
cos
x
=
0
si et seulement si
x=
2
k
tan
x
=
0
si et seulement si
x
=
k
où k est un entier relatif quelconque.
Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques
Pour tout réel x:
sin
2
x
cos
2
x
=
1
Pour tout réel x≠
2k où k est un entier relatif quelconque, on a: tan x=
sin
x
cos x
Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles remarquables
Angle x
Radians Degrés sin xcos xtan x
0 0 0 1 0
π
6
30
1
2
3
2
3
3
π
4
45
2
2
2
2
1
3
π
60
3
2
1
2
3
π
290 1 0
π180 0 −10
3π
2
270 −10
2π360 0 1 0

Angles associés
Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a:
sin
x
=
sin
x
sin
2
k
x
=
sin
x
cos
x
=
cos
x
cos
2
k
x
=
cos
x
tan
x
=
tan
x
tan
2
k
x
=
tan
x
sin
x
=
sin
x
sin
x
=
sin
x
cos
x
=
cos
x
cos
x
=
cos
x
tan
x
=
tan
x
tan
x
=
tan
x
sin
2x
=cos x sin
2x
=cos x
cos
2x
=sin xcos
2x
=sin x
tan
2x
=1
tan xtan 2x
= 1
tan x
NB: faire attention à l'ensemble de définition de la fonction tangente.
Formules d'addition et de soustraction
Pour tout réel a et b, on a:
sin
a
b
=
sin
a
cos
b
cos
a
sin
b
sin
a
b
=
sin
a
cos
b
cos
a
sin
b
cos
a
b
=
cos
a
cos
b
sin
a
sin
b
cos
a
b
=
cos
a
cos
b
sin
a
sin
b
tan ab =
tan
a
tan
b
1tan atan b avec ab≠ 2k
tan ab =
tan
a
tan
b
1tan atan b avec ab≠ 2k

Formules de duplication
Pour tout réel a , on a:
sin
2
a
=
2
sin
a
cos
a
cos 2a =cos
2
asin
2
a=12sin
2
a=2 cos
2
a1
tan 2a =
2
tan
a
1
tan
2
a
avec 2a≠
2k
Formules de triplement
Pour tout réel a , on a:
sin
3
a
=
3
sin
a
4
cos
3
a
cos
3
a
=
4
cos
3
a
3
cos
a
tan 3a =3 tan atan
3
a
1
3
tan
2
a
avec
3a≠
2k
Formules de factorisation
Pour tout réel a et b, on a:
sin asin b=2 sin
a
b
2
cos
a
b
2
sin asin b=2 cos
a
b
2
sin
a
b
2
cos acos b=2 cos
ab
2
cos
ab
2
cos acos b=2 sin
ab
2
sin
ab
2
tan atan b=
sin
a
b
cos
a
cos
b
avec a≠
2ket b≠ 2k
tan atan b=sin
ab
cos
a
cos
b
avec
a≠
2k
et
b≠
2k

Formules de Werner
Pour tout réel a et b, on a:
sin asin b=
1
2
[ cos ab cos ab ]
sin acos b=
1
2
[ sin ab sin ab ]
cos acosb=
1
2
[ cos ab cos ab ]
Sin x et Cos x en fonction de tan (x/2)
Pour tout réel
x
≠
2
k
1
 où k est un entier relatif, on a:
sin x=
2 tan
x
2
1tan
2
x
2
cos x=
1tan
2
x
2
1tan
2
x
2
Puissances des fonctions trigonométriques
Pour tout réel x, on a:
sin
2
x=
1
2
1cos 2x cos
2
x=
1
2
1cos 2x
sin
3
x=1
4
3 sin xsin 3x cos
3
x=1
4
3cos xcos 3x
sin
4
x=1
8
cos 4x 4 cos 2x 3 cos
4
x=1
8
cos 4x 4 cos 2x 3

Forme trigonométrique des nombres complexes
Le nombre complexe
a
ib
représenté sur le plan cartésien par le point P peut être exprimé aussi sous
la forme :
a
ib
= 
cos
i
sin
où est le module (distance de P à l'origine)
et  est l'argument (angle que la demi-droite (OP) forme avec le demi-axe des réels positifs)
On a :
a
=
cos
,
b
= 
sin
et
=
a
2
b
2
avec le module 
0
et l’argument  tel que   .
Produit et quotient de nombres complexes en forme trigonométrique
Étant donnés deux nombres complexes :
z
1
=
1
cos
1
i
sin
1
et
z
2
=
2
cos
2
i
sin
2
on a:
z
1
z
2
= 
1
2
cos
1
2
i
sin
1
2
et:
z
1
z
2
=
1
2
cos
1 2
isin
1 2
Formule de Moivre
Si
z
= 
cos
i
sin
, alors, pour tout entier naturel n, on a: z
n
= 
n
cos n isin n
Formules d'Euler
e
i
=
cos
i
sin
e
i
=
cos
i
sin
En particulier: e
i
=1 et
e
i
2
=
i
cos  = e
i
e
i
2
sin = e
i
e
i
2i