Formulaire de trigonométrie Périodicité des fonctions trigonométriques Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a: sin x 2 k =sin x cos x 2 k =cos x tan x k =tan x période 2 période 2 période 2 Zéros des fonctions trigonométriques sin x =0 si et seulement si cos x =0 si et seulement si tan x =0 où k est un entier relatif quelconque. si et seulement si x=k x = k 2 x=k Relations fondamentales entre les fonctions trigonométriques Pour tout réel x: sin 2 x cos2 x=1 Pour tout réel x ≠ sin x k où k est un entier relatif quelconque, on a: tan x = 2 cos x Valeurs des fonctions trigonométriques pour quelques angles remarquables Angle x Radians Degrés sin x cos x tan x 0 0 0 1 0 π 6 30 1 2 3 3 2 3 π 4 45 2 2 2 2 π 3 60 3 2 1 2 π 2 90 1 0 π 3π 2 180 0 −1 270 −1 0 2π 360 0 1 1 3 0 0 Angles associés Pour tout réel x et tout entier relatif k, on a: sin x =sin x sin 2 k x =sin x cos x = cos x cos 2 k x = cos x tan x =tan x tan 2 k x =tan x sin x =sin x sin x =sin x cos x =cos x cos x =cos x tan x =tan x tan x = tan x sin 2 x =cos x sin 2 x =cos x cos 2 x =sin x cos 2 x =sin x tan 2 x = tan1 x tan 2 x = tan1 x NB: faire attention à l'ensemble de définition de la fonction tangente. Formules d'addition et de soustraction Pour tout réel a et b, on a: sin a b =sin a cos b cos a sin b sin a b =sin a cos b cos a sin b cos a b =cos a cos b sin a sin b cos a b =cos a cos b sin a sin b tan a b = tan a tan b avec a b ≠ k 1 tan a tan b 2 tan a b = tan a tan b avec a b ≠ k 1 tan a tan b 2 Formules de duplication Pour tout réel a , on a: sin 2 a = 2 sin a cos a cos 2 a =cos 2 a sin 2 a = 1 2 sin 2 a =2 cos 2 a 1 tan 2 a = 2 tan a avec 2 a ≠ k 2 2 1 tan a Formules de triplement Pour tout réel a , on a: sin 3 a =3 sin a 4 cos 3 a cos 3 a = 4 cos 3 a 3 cos a tan 3 a = 3 tan a tan 3 a avec 3 a ≠ k 2 2 1 3 tan a Formules de factorisation Pour tout réel a et b, on a: sin a sin b =2 sin a b cos a b 2 2 sin a sin b =2 cos a b sin a b 2 2 cos a cos b = 2 cos ab cos a b 2 2 cos a cos b =2 sin a b sin a b 2 2 tan a tan b = sin a b avec a ≠ k et b ≠ k 2 2 cos a cos b tan a tan b = sin a b avec a ≠ k et b ≠ k 2 2 cos a cos b Formules de Werner Pour tout réel a et b, on a: sin a sin b = 1 [ cos a b cos a b ] 2 sin a cos b = 1 [ sin a b sin a b ] 2 cos a cos b = 1 [ cos a b cos a b ] 2 Sin x et Cos x en fonction de tan (x/2) Pour tout réel x ≠ 2 k 1 où k est un entier relatif, on a: 2 tan sin x = x2 1 tan 2 2x x 2 cos x = x 1 tan 2 1 tan 2 2 Puissances des fonctions trigonométriques Pour tout réel x, on a: sin 2 x = sin 3 x = 1 1 cos 2 x 2 1 3 sin x sin 3 x 4 1 sin 4 x = cos 4x 4 cos 2x 3 8 cos 2 x = cos3 x = 1 1 cos 2 x 2 1 3 cos x cos 3 x 4 1 cos4 x = cos 4x 4 cos 2x 3 8 Forme trigonométrique des nombres complexes Le nombre complexe a ib représenté sur le plan cartésien par le point P peut être exprimé aussi sous la forme : a ib = cos i sin où est le module (distance de P à l'origine) et est l'argument (angle que la demi-droite (OP) forme avec le demi-axe des réels positifs) On a : a = cos , b = sin et = a 2 b 2 avec le module 0 et l’argument tel que . Produit et quotient de nombres complexes en forme trigonométrique Étant donnés deux nombres complexes : z 1 =1 cos 1 i sin 1 et z 2 = 2 cos 2 i sin 2 on a: z 1 z 2 = 1 2 cos 1 2 i sin 1 2 et: z 1 1 = cos 1 2 i sin 1 2 z 2 2 Formule de Moivre Si z = cos i sin , alors, pour tout entier naturel n, on a: z n = n cos n i sin n Formules d'Euler e i =cos i sin e i = cos i sin En particulier: e i =1 et e i 2 =i cos = e i ei 2 sin = e i ei 2i Nombres complexes sous forme exponentielle a ib = cos i sin = ei Limites lim x 0 lim sin x =1 x 1cos x x x 0 lim x 0 2 = 1 2 tan x =1 x Dérivées cos ' =sin sin ' =cos tan ' = 1 2 2 =1 tan cos