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Exemples d’applications de la
2ème loi de newton
I. Etude Théorique de la chute
verticale avec frottement
1. Introduction.
Déterminer, en utilisant la 2ème loi de Newton
et les outils mathématiques adaptés, les
caractéristiques du mouvement d’une bille
chutant verticalement avec frottement dans
du glycérol.
2.Cadre de l’étude.
Référentiel d’étude: le référentiel terrestre
considéré comme galiléen
Système: la bille de masse m. On considère
que la bille est « ponctuelle » et qu’elle se
confond avec son centre d’inertie G.
Bilan des forces appliquées à la bille au cours
de sa chute:
– Le poids de la bille,
– La poussée d’Archimède exercée par le glycérol,
– La force de frottement également par le glycérol.
3. La poussée d’Archimède.
Tout corps plongé dans un fluide (gaz ou liquide) est soumis à
la poussée d’Archimède F A dont les caractéristiques sont les
suivantes :
Point d’application: le centre d’inertie G du corps si celui-ci
est totalement immergé.
Direction: la verticale.
Sens: de bas en haut.
Intensité: L’intensité de la poussée d’Archimède est égale « au
poids du volume de fluide déplacé par le corps immergé ».
Si Vol est le volume du corps immergé et ρ0 la masse
volumique du fluide, on a alors :
FA = ρ0 Vol g
où g est l’accélération de la pesanteur

FA
G●
Exemple :
Un corps de volume Vol = 100 cm3 plongé dans de l’eau
(ρ0 = 1,0 10-3 kg.cm-3) est soumis à une poussée
d’Archimède d’intensité :
FA = 1,0 10-3 x 100 x 9,8 = 0,98 N
4. La force de frottement.

La force de frottement fluide F frottement exercée
sur un solide en mouvement de translation à
les caractéristiques générales suivantes :
Direction: celle du mouvement.
Sens: opposé au sens du mouvement
La force de frottement est donc à tous
instants colinéaire et de sens opposé au
vecteur vitesse du mobile.

F frottement
G●
Sens du mouvement
Intensité: L’intensité de la force de frottement est d’autant plus importance
que la norme de la vitesse du mobile est grande ( Ffrottement est une fonction
croissante de v).
il est généralement impossible de donner une expression analytique
(mathématique) de la fonction Ffrottement (v).
Dans la pratique on cherche à modéliser cette fonction de façon à tenir compte
au mieux de la réalité du phénomène de frottement.
On utilise très généralement des modèles du type :
Ffrottement = k
v
k et γ étant deux paramètres réels dont on « ajuste » les valeurs pour obtenir les
résultats les plus proches de la réalité.
5. Retour sur l’étude du mouvement de la bille :
application de la 2ème loi de Newton.
●O

F frottement

FA
Sens du mouvement

P
z
On choisie comme repère d’espace le repère (O,Oz), où O est le
point d’où est lâché la bille sans vitesse initiale et Oz un axe
vertical dirigé vers le bas.
On choisie comme origine des dates l’instant où la bille est lâchée
en O.
La 2ème loi de Newton appliquée à la bille en
mouvement de chute verticale s’écrit :
 


m aG = P + F A + F frottement


on notera aG = a

  
m a = P + F A + F frottement
6. Equation différentielle du mouvement de la bille.
On projette l’expression vectorielle de la 2ème loi de
Newton suivant l’axe Oz ; on obtient :
m az = Pz + FAz + Ffrottement z
Les trois forces sont colinéaires à l’axe Oz et, en
fonction de leur sens, on obtient :
Pz = P = mg
FAz = - FA = - ρ0 Vol g
où ρ0 est la masse volumique du glycérol et Vol le
volume de la bille
Ffrottement z = - Ffrottement
dv z
az =
dt
Par définition:
m az = Pz + FAz + Ffrottement z
dv z
m
= mg - ρ0 Vol g - Ffrottement
dt
F frottement
 0 Vol
dv z
= (1 )gm
dt
m
On pose:
A = (1 -
 0 Vol
F frottement
dv z
=Adt
m
m
)g
Par ailleurs Ffrottement est fonction de la norme
v de la vitesse de la bille ; on peut écrire :
Ffrottement = Ffrottement (v).
La bille se déplaçant verticalement vers le
bas, son vecteur vitesse est vertical et orienté
vers le bas.
O●
●

v
z
vz =v
Ffrottement = Ffrottement (v) = Ffrottement (vz)
F frottement (v z )
dv z
=Adt
m
Cette expression relie une fonction de vz avec la dérivée
de vz , c’est une équation différentielle ; c’est l’équation
différentielle d’évolution temporelle de la vitesse au
cours du mouvement, ou encore l’équation
différentielle du mouvement.
Pour résoudre mathématiquement cette équation
différentielle, il faut donner une expression analytique à
la fonction Ffrottement (vz) ; il faut donc modéliser la force
de frottement.