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M2 Dynamique
Exercices de cours
Exercice 1 Expression de la poussée d’ArchimèdeExercice 1 Donner l’expression de la poussée d’Archimède
On considère une bille de fer de rayon r=1,0cm que l’on maintient dans un bain de mercure liquide. On note −→ ezl’axe dirigé
vers le haut, tel que le champ de pesanteur soit −→ g=−g−→ ez.
(1) Lister les forces s’exerçant sur la bille de fer autres que celle qu’exerce l’utilisateur.
(2) Donner leur expression en fonction du volume Vde la bille et des masses volumiques données ci-dessous.
(3) Donner à nouveau leur expression si on immerge la bille à moitié seulement.
Exercice 2 Un lance pierreExercice 2 Choisir un système, un référentiel et un sytème de coordonnées
Faire l’inventaire des forces extérieures
Appliquer le PFD
Trouver les équations horaires et la trajectoire
On souhaite lancer une pierre avec un lance pierre. On modélise la pierre par un point matériel M de masse men son centre
de gravité. La pierre est lancée avec une vitesse initiale −→ v0faisant un angle αavec l’horizontale depuis une altitude z0.
On négligera les frottements et l’on supposera le sol horizontal. Quelle est la trajectoire décrite par la pierre ?
Exercice 3 Un lance pierre avec des frottementsExercice 3 Appliquer le PFD
Trouver la vitesse limite d’un mouvement
Dans l’exercice précédent, on suppose que l’air freine la pierre.
(1) Exprimer l’accélération grâce au principe fondamental de la dynamique dans le cas où la force de frottement est de type
:
•Frottement fluide à faible vitesse : −→ F=−λ−→ v
•Frottement fluide à haute vitesse : −→ F=−µv−→ v
(2) Dans les deux cas, montrer que l’on peut écrire des équations différentielles (faisant intervenir des dérivées successives
des coordonnées) portant sur les coordonnées.
(3) En déduire dans les deux cas l’expression de la vitesse en régime permanent, c’est-à-dire quand la vitesse devient
constante.
Exercice 4 Pendule simpleExercice 4 Établir l’équation du mouvement d’un pendule simple
La simplifier dans l’approximation des petits angles
Faire un bilan des forces
Choisir un système, un référentiel et une base de projection
On considère un pendule simple constitué d’un fil parfait de longueur let d’une masse ponctuelle m: la masse est accrochée
en une extrémité du fil, l’autre extrémité étant fixe (point O) dans le référentiel terrestre. On néglige les frottements et on
lâche le pendule depuis un angle θ0par rapport à la verticale.
(1) Faire un bilan des forces puis les représenter sur un schéma paramétré. Choisir une base de projection et la représenter.
Exprimer alors les forces dans cette base
(2) Établir l’équation du mouvement. Que devient-elle dans l’approximation des petits angles?
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M2: Dynamique Exercices de cours
Exercice 5 Solide sur un plan inclinéExercice 5 Faire une hypothèse sur la nature d’un mouvement
Utiliser les lois de Coulomb pour étudier un mouvement
On pose à t=0 un solide de centre de gravité G et de
masse msur un plan incliné d’un angle α=10◦par rapport
à l’horizontale. On prendra µ=0,25 comme coefficient de
frottement.
On ne sait pas a priori si le solide va commencer à glisser à
t=0 où s’il restera fixe sur le support.
On notera xila position de G selon −→ iet xjsa positon selon
−→
j.
(1) Préciser le système, le référentiel et faire un bilan des
forces.
(2) On suppose que le solide glisse vers le bas.
(a) Sans calculs, quel seront la direction et le sens de
la vitesse de G?
(b) Par l’application du PFD, déterminer la vitesse de
G en fonction du temps tet des paramètres.
(c) Ce mouvement est-il possible?
(3) On suppose maintenant que le solide ne glisse pas.
(a) Que devient la vitesse du point G?
(b) Par l’application du PFD, déterminer les forces de
contact s’exerçant sur la masse.
(c) Ce mouvement est-il possible?
−→
RN
−→
RTG
−→
P
α
−→
j
−→
i
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