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M2
Dynamique
Exercices de cours
Exercice 1 Expression de la poussée d’Archimède
Donner l’expression de la poussée d’Archimède
−
→
On considère une bille de fer de rayon r = 1,0 cm que l’on maintient dans un bain de mercure liquide. On note ez l’axe dirigé
−
→
−
→
vers le haut, tel que le champ de pesanteur soit g = −g ez .
(1) Lister les forces s’exerçant sur la bille de fer autres que celle qu’exerce l’utilisateur.
(2) Donner leur expression en fonction du volume V de la bille et des masses volumiques données ci-dessous.
(3) Donner à nouveau leur expression si on immerge la bille à moitié seulement.
Choisir un système, un référentiel et un sytème de coordonnées
Faire l’inventaire des forces extérieures
Appliquer le PFD
Trouver les équations horaires et la trajectoire
Exercice 2 Un lance pierre
On souhaite lancer une pierre avec un lance pierre. On modélise la pierre par un point matériel M de masse m en son centre
→
de gravité. La pierre est lancée avec une vitesse initiale −
v0 faisant un angle α avec l’horizontale depuis une altitude z0 .
On négligera les frottements et l’on supposera le sol horizontal. Quelle est la trajectoire décrite par la pierre ?
Exercice 3 Un lance pierre avec des frottements
Appliquer le PFD
Trouver la vitesse limite d’un mouvement
Dans l’exercice précédent, on suppose que l’air freine la pierre.
(1) Exprimer l’accélération grâce au principe fondamental de la dynamique dans le cas où la force de frottement est de type
:
−
→
−
→
• Frottement fluide à faible vitesse : F = −λ v
−
→
−
→
• Frottement fluide à haute vitesse : F = −µv v
(2) Dans les deux cas, montrer que l’on peut écrire des équations différentielles (faisant intervenir des dérivées successives
des coordonnées) portant sur les coordonnées.
(3) En déduire dans les deux cas l’expression de la vitesse en régime permanent, c’est-à-dire quand la vitesse devient
constante.
Établir l’équation du mouvement d’un pendule simple
La simplifier dans l’approximation des petits angles
Faire un bilan des forces
Choisir un système, un référentiel et une base de projection
Exercice 4 Pendule simple
On considère un pendule simple constitué d’un fil parfait de longueur l et d’une masse ponctuelle m: la masse est accrochée
en une extrémité du fil, l’autre extrémité étant fixe (point O) dans le référentiel terrestre. On néglige les frottements et on
lâche le pendule depuis un angle θ0 par rapport à la verticale.
(1) Faire un bilan des forces puis les représenter sur un schéma paramétré. Choisir une base de projection et la représenter.
Exprimer alors les forces dans cette base
(2) Établir l’équation du mouvement. Que devient-elle dans l’approximation des petits angles?
1
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Exercices de cours
Exercice 5 Solide sur un plan incliné
Faire une hypothèse sur la nature d’un mouvement
Utiliser les lois de Coulomb pour étudier un mouvement
On pose à t = 0 un solide de centre de gravité G et de
masse m sur un plan incliné d’un angle α = 10 ◦ par rapport
à l’horizontale. On prendra µ = 0,25 comme coefficient de
frottement.
On ne sait pas a priori si le solide va commencer à glisser à
t = 0 où s’il restera fixe sur le support.
−
→
On notera x i la position de G selon i et x j sa positon selon
−
→
j.
(1) Préciser le système, le référentiel et faire un bilan des
forces.
(2) On suppose que le solide glisse vers le bas.
(a) Sans calculs, quel seront la direction et le sens de
la vitesse de G?
−
→
RN
−
→
RT
G
α
−
→
i
(b) Par l’application du PFD, déterminer la vitesse de
G en fonction du temps t et des paramètres.
−
→
P
(c) Ce mouvement est-il possible?
(3) On suppose maintenant que le solide ne glisse pas.
(a) Que devient la vitesse du point G?
(b) Par l’application du PFD, déterminer les forces de
contact s’exerçant sur la masse.
(c) Ce mouvement est-il possible?
2/2
−
→
j