Recherche d`un modèle (T

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T.P4 : Force de frottement : recherche d'un
modèle à l'aide de la méthode d'EULER
Objectif
A l'aide de la méthode d'Euler, trouver l'expression de la force de frottement dans le cas d'une
chute verticale dans un liquide.
Expérience
1- Enregistrement
- A l'aide d'une Webcam, filmer la chute d'une bille d'acier dans un liquide (glycérol dilué à
25% ou eau). On peut également utiliser les fichiers AVI : Bille_glycerol_dilue ou
Bille_eau_pure.
- A l'aide d'un logiciel de pointage (Avimeca, Cinéris, Synchronie…..), repérer les positions
du centre d'inertie de la bille aux différentes dates de prise de vue.
2- Traitement
- A l'aide d'un tableur, déterminer les vitesses à ces différentes dates.
- Représenter la variation de la vitesse en fonction du temps.
On constate la présence d'une vitesse limite qui traduit l'influence d'autres forces que le poids
(force de frottement, poussée d'Archimède) dont on a déjà parlé.
Recherche de l'équation différentielle qui régit la vitesse.
On a vu que le frottement dépend de la forme, de la vitesse, de la nature du fluide. Les élèves
doivent établir l'équation différentielle qui régit la vitesse au cours du mouvement.
- système : bille d'acier
- réf. d'étude : le réf. terrestre supposé galiléen compte tenu de la durée de l'enregistrement.
- bilan des forces exercées sur la bille:
:P
son poids avec
gmP .
:
A
F
la poussée d'Archimède avec
gVFA..
,
la masse volumique du fluide.
V, le volume de fluide déplacé
f
: la force de frottement avec
r
vkf .
Appliquons la deuxième loi de Newton:
GA amfFP .
En projection sur un axe Oz orienté vers le bas
²
²
dtzd
mfFP z
Az
z
dt
dv
m
dtzd
mvkgVgm r.
²
²
..... 
r
v
m
k
mVmg dt
dv .
).( 
soit
r
vba
dt
dv .

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calcul de
t
v
à
0
t
Fini ?
calcul de
v
à
tt 
0
ttt  00
vv 
0
00 vett
non
oui
Si la vitesse limite est atteinte,
0
dt
dv
et
kVmg
vr).(
lim
soit
rkVmg
v).(
lim
Résolution de l'équation différentielle
Suivant la valeur de r que l'on choisit, la résolution analytique s'avère difficile c'est à dire qu'il
est difficile de trouver l'expression de la vitesse en fonction du temps.
On va résoudre cette équation par une méthode numérique c'est à dire que l'on va calculer les
valeurs de la vitesse aux différentes dates. La méthode utilisée est la méthode d'Euler. On peut
l'utiliser pour résoudre les équations différentielles, en général..
Elle repose sur l'hypothèse suivante : si
t
est suffisamment petit, alors
t
v
dt
dv 
et
r
vba
t
v.
peuvent être considérés comme constants pendant l'intervalle
.t
Pour comprendre cette méthode, on va procéder en deux temps. Dans un premier temps, on
va utiliser un tableau Excel qui calcule les valeurs de la vitesse aux différentes dates pour
ajuster les coefficients a, b et r afin que les valeurs obtenues soient en accord avec les valeurs
expérimentales.
Par la suite, on s'appropriera l'algorithme de calcul en effectuant les calculs de quelques
vitesses "à la main".
1- Recherche des coefficients a, b, r
- Dans un premier temps les élèves rappellent le fichier EXCEL "Bille_glycerol_eau_eleve".
A l'aide de la fonction Copier-Coller, ils copient dans la colonne VEXP, les valeurs des
vitesses qu'ils viennent de déterminer.
- Ils agissent sur les boutons pour que la courbe issue de la résolution numérique de
l'équation différentielle par la méthode d'Euler s'adapte au mieux à la distribution
expérimentale.
- Ils relèvent les valeurs des coefficients et notent l'expression de l'équation différentielle et
celle de la force de frottement fluide qui semble convenir.
A titre d'exemple, on peut obtenir le résultat figurant dans "Bille_glycerol_eau"
A ce propos, il peut être intéressant de noter que t0  0 si on
choisit v0 = 0. Ceci s'explique par le fait que la date de
début de chute de la bille n'est pas connue : elle est
comprise entre 0 et 33,3 ms.
2- L'algorithme de calcul.
Algorithme de calcul
- conditions initiales :
00,vt
- calcul de
0
tà
t
v
:
r
vba
t
v.
- calcul de
v
à
tt 
0
:
tx
t
v
vv   0
- on recommence avec les conditions initiales suivantes:
ttt  00
et
vv 
0

3
On simule à la main avec les élèves (exemple avec le glycérol dilué):
3- Résolution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler
t (s)
v/t
vEULER
(m.s-1)
0,017
0,00
On termine en comparant la valeur trouvée du coefficient a avec celle calculée à partir des
données.
De même pour la vitesse limite.
t
t0
v0
a
b
r
0,0010
0,017
0,00
8,5
-9,1
1,0
v/t = a + b.vr
bille d'acier m = 6,88 g et R = 5,9 mm
dans glycérol dilué  = 1,07 g.cm-3
2: calcul à t0 +t
v = v0 + v/t .t
1: calcul à t0 d'après
l'équa. dif.
3: calcul à t0 + t
d'après l'équa. dif.