Chapitre IV : Racine carrée.

2012
Chapitre IV : Racine carrée.
I-
Définition :
Définition :
Soit a un nombre positif ou nul. a  0.
On appelle racine de a le nombre positif noté
égal à a .
Pour tout nombre positif a :
 a
2
 a et
a dont le carré est
a2  a .
Exemples :
16  4 2  4
0,09 
0,32
 0,3
25  52  5
Remarque :
ℕ = {0; 1; 2; 3; … … }: 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙𝑠.
ℤ = {… … ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … . }: 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠.
ℚ = {𝑇𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙 ′ 𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠}:
𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙𝑠.
2  1,414
;
3  1,732 ;   3,14
Ne sont pas rationnels. On dit qu’ils sont irrationnels
Si le nombre n’est pas un carré parfait sa racine carrée est un nombre qui n’est ni
décimal ni rationnel «On ne peut pas l’écrire sous forme d’une fraction »
Un tel nombre est dit irrationnel ; Il appartient à l’ensemble ℝ mais pas à
l’ensemble ℚ.
II-
Calcul avec des racines carrées :
Propriétés :
Exemples
 : Soient a et b deux nombres positifs, on a :
a  b  ab
12  3 Soient
12 a3 et
 b36
 6nombres positifs et b  0 , on a :
deux
50
50
2  25
25 5

 a  a

32
16 4
32
b2  16b
positifs, on a :
68   49Soient
 2  a 7et2 b 2deux
 7nombres
2
a 2b  a b
III-
L’équation 𝒙𝟐 = 𝒂 d’inconnue 𝒙.
Les mathématiques au collège
Page 1
2012
Chapitre IV : Racine carrée.
Si 𝑎 = 0, l’équation 𝑥 2 = 0 admet une seule solution 𝑥 = 0.
Si 𝑎 > 0 l’équation 𝑥 2 = 𝑎 admet deux solutions :
 √𝑎 : Solution positive.
 −√𝑎 : Solution négative.
Si 𝑎 < 0, l’équation 𝑥 2 = 𝑎 n’a pas de solution.
Exemples :
x 2  64 Cette équation admet deux solutions :
64  8 et  64  8
x 2  3 Cette équation admet deux solutions : 3 et  3
x 2  5 Cette équation n’a pas de solution.
Les mathématiques au collège
Page 2