Page d`informations sur le document Titre : LES PROBABILITÉS

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Titre :
LES PROBABILITÉS
Type de document :
Analyse conceptuelle
Auteurs :
BEAULIEU, Véronique ; CORMIER, Louis ;
MORRISSEAU, Marc-André ; TREMBLAY, Karl-Philippe
Date de production :
24 avril 2013
Numéro d’identification :
a-076
Pour le cours :
Séminaire de synthèse (ESM6150), UQAM
1re édition électronique :
24 avril 2013
Publié sur le site du LDM - Laboratoire de didactique des mathématiques.
Département de mathématiques, UQAM
Information : Le titulaire des droits autorise l’exploitation de l’œuvre, ainsi que la création
d’œuvres dérivées, à condition de respecter toutes les conditions suivantes :
1. qu’il ne s’agisse pas d’une utilisation commerciale (les utilisations
commerciales restant soumises à son autorisation) ;
2. qu’elles soient distribuées avec les mêmes conditions que l’œuvre
originale ;
3. et que les modifications à l’œuvre originale soient explicitement être
mentionnées dans les œuvres dérivées.
BY NC SA (Paternité + pas d’utilisation commerciale + partage dans les mêmes conditions)
ANALYSE CONCEPTUELLE SUR LES PROBABILITÉS
Travail présenté à
Monsieur Michel Coupal
Dans le cadre du cours
ESM-6150 Séminaire de synthèse
Session 8 année 4
Par
BEAULIEU, Véronique
CORMIER, Louis
MORRISSEAU, Marc-André
TREMBLAY, Karl-Philippe
Baccalauréat en Enseignement Secondaire
Concentration Mathématiques
2013, avril, 24
1
TABLE DES MATIÈRES
TABLE DES MATIÈRES
1. Historique des probabilités
1.1 Réseau de concept sur l’espérance mathématique
1.2 Applications des probabilités
2. Introduction aux probabilités
2.1 Les préalables
3. Les probabilités (1er cycle)
3.1 Les raisonnements importants
3.1.1. Expérience aléatoire
3.1.2. Événement
3.1.3. Le dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire
3.1.4. Calcul de la probabilité d’un événement
3.1.5. Types d’événements
3.1.6. Types de probabilités
3.2. Expériences aléatoires à plusieurs étapes avec remise ou sans remise
3.2.1. Expérience aléatoire avec remise
3.2.2. Expérience aléatoire sans remise
3.3. Expériences aléatoires avec ordre ou sans ordre
3.4 Difficultés, erreurs et conceptions
4. Les probabilités (2e cycle)
4.1. Reconnaître le type de variables aléatoires: discrète ou continue
4.2. Probabilités géométriques
4.2.1. Probabilités géométriques en une dimension
4.2.2. Probabilités géométriques en deux dimensions
4.2.3. Probabilités géométriques en trois dimensions
4.3. La notation factorielle
4.4. Espérance mathématique
5. BIBLIOGRAPHIE
5.1. Publications gouvernementales
5.2. Sites internet
5.3. Articles
2
LES PROBABILITÉS
1. Historique des probabilités
La première apparition du mot probabilité remonte aux écrits d’Aristote. Le mot portait à
ce moment, une toute autre signification. Il s’agissait en fait d’une idée qui est communément
admise par tous (on parlera ensuite du principe d’évidence). Le mot garda cette signification
durant la majeure partie du Moyen-âge et même de la Renaissance. C’est avec les travaux de
Blaise Pascal, Pierre de Fermat et de Christian Huygens, au XVII siècle que le mot probabilité
prend sons sens actuel.
Bien qu’on attribue à Pascal et à de Fermat le titre de fondateur du traitement des
probabilités, ces derniers n’ont rien publiés de leur travaux. Il s’agit en fait d’Huygens qui publia
le premier ouvrage sur le sujet (fortement encouragé par Pascal). C’est autour des jeux de hasard
que Pascal et de Fermat ont établis les bases du traitement mathématique des probabilités, selon
les correspondances entre les deux.
Pour de plus ample information sur l’histoire des probabilités, veuillez consulter la page
Wiki suivante: http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9#Histoire.
Table des matières
3
1.1 Réseau de concept sur l’espérance mathématique
Voici un réseau de concept intéressant sur l’évolution du concept d’équité, et d’espérance
mathématique, sujet important des probabilités.
Table des matières
4
1.2 Applications des probabilités
De nos jours, les probabilités son utilisées dans plusieurs domaines. Tout d’abord, on peut
penser aux chaînes de Markvo qui sont utilisées pour l’indexation des sites internet par Google.
De plus, l estimation optimale par usage de la loi de Baye sert de fondement à une grande partie
des applications de décision automatique (imagerie médicale, astronomie, reconnaissance de
caractères, filtres anti-pourriel etc.) Enfin, les mathématiques financières font un large usage de
la théorie des probabilités pour l'étude des cours de la bourse et des produits dérivés
2. Introduction aux probabilités
2.1 Les préalables
Dès le primaire, l’élève débute la construction de ses connaissances sur les probabilités.
En effet, il a déjà fait des expériences par rapport au concept de hasard. Il est en mesure de
prédire des résultats par l’apprentissage des concepts de résultat certain, résultat possible, résultat
impossible, d’événement plus probable, d’événement également probable et d’événement moins
probable qu’il a appris au primaire. De plus, il sait également comment dénombrer des résultats
d’une expérience aléatoire à l’aide de tableaux et de diagrammes en arbre. Enfin, il a débuté son
analyse de ces tableaux et diagrammes en arbre en les comparant avec des résultats théoriques
connus1.
Avant de débuter le programme des probabilités du 1er cycle du secondaire, l’élève doit
a
savoir qu’une fraction s’écrit sous la forme b, il doit être en mesure de transformer un nombre
fractionnaire en une fraction et de transformer une fraction en un nombre fractionnaire. De plus,
il doit savoir que deux fractions sont équivalentes si elles représentent le même nombre. Il doit
également être capable d’obtenir des fractions équivalentes en multipliant ou en divisant le
numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre (différent de 0.) L’élève doit
aussi savoir qu’une fraction dont le dénominateur est 100 est un pourcentage. Enfin, il doit savoir
qu’une fraction est irréductible si leur plus grand commun diviseur est 1.
1
QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION DES LOISIRS ET DES SPORTS. Un programme de formation
pour le XXIe siècle ; Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement secondaire, deuxième cycle,
Québec, Publications du Québec, 2007, p.51.
Table des matières
5
3. Les probabilités (1er cycle)
3.1 Les raisonnements importants
Les probabilités sont peu exploitées au secondaire. Généralement, les enseignants les
abordent vers la fin de l’année et ils ne les décortiquent pas. Ils passent rapidement sur ces
concepts. Afin, d’amener davantage d’importance aux probabilités dans le cursus scolaire, il est
primordial de bien saisir l’entièreté des concepts reliés aux probabilités et la richesse qu’il est
possible d’aller y chercher. L’étude des probabilités est une occasion qui permettra à l’enseignant
de dynamiser ses leçons. En effet, il pourra ainsi user de son imagination afin de créer des
expériences, des situations de jeux, d’utiliser des diagrammes et des graphiques. Il est également
possible de simuler automatiquement des expériences aléatoires à l’aide de certains outils
technologiques tels que les calculatrices à affichage graphique, Excel, GeoGebra pour non
seulement susciter l’intérêt des élèves mais également pour amener les élèves à bien saisir les
phénomènes aléatoires.
3.1.1. Expérience aléatoire
Pour débuter l’apprentissage des probabilités, l’utilisation d’une situation ou d’une
expérience concrète, facile d’accès est intéressante puisqu’elle met directement l’élève en action
et il peut ainsi se créer une image mentale de ce concept relativement très abstrait. Nous croyons
que l’expérimentation permet de développer la pensée probabiliste de l’élève.
L’enseignant pourrait choisir par exemple, une situation très commune et facilement
réalisable en classe tel que le lancer de dé. En équipe, l’élève lance un dé à six faces, observe et
note les résultats obtenus. Ce type d’activité met l’élève au centre de ses apprentissages et permet
à l’enseignant d’introduire qu’une expérience aléatoire est une situation qui relève uniquement
du hasard (qu’on ne peut prédire avec exactitude le résultat de l’expérience.) Ensuite, il amène les
élèves à énumérer tous les résultats qu’il est possible d’obtenir en lançant un dé. Ce
questionnement permet d’introduire qu’en probabilité, l’énumération de tous les résultats
possibles d’une expérience s’appelle l’univers des résultats possibles, que cet ensemble est noté
par le symbole suivant : (oméga), que l’univers des résultats possibles est toujours écrit entre
accolades et que les résultats sont séparés par des virgules. L’univers des résultats possibles de la
situation qui revient à «Lancer un dé à six faces» est :
= {1,2,3,4,5,6}
Table des matières
6
En ajoutant des contraintes à l’activité, l’enseignant pourra alors spécifier que certaines
expériences aléatoires peuvent nécessiter une seule étape ou plusieurs étapes. En effet, si l’élève
lance un dé à six faces une fois et qu’il note le résultat, on dira qu’il s’agit d’une expérience
aléatoire à une seule étape. Mais si on lui demande par exemple de lancer une pièce de monnaie
deux fois et de noter le résultat, on dira qu’il s’agit d’une expérience aléatoire à plusieurs étapes.
3.1.2. Événement
Une fois que le concept d’expérience aléatoire est bien compris par les élèves, nous
croyons que l’enseignant se doit d’expliquer ce qu’est un événement. Il doit bien verbaliser qu’il
s’agit d’un sous-ensemble constitué de résultats de l’univers des résultats possibles. Il peut
donner quelques exemples :
●
●
«Obtenir un nombre impair en lançant un dé à six faces» est un événement. L’univers des
résultats possibles est : = {1,3,5}
«Obtenir pile en lançant une pièce de monnaie» est appelé un événement élémentaire
puisqu’il contient un seul résultat de l’univers des résultats possibles. En effet, l’univers
des résultats possibles est : = {Pile}
Comprendre ce qu’est une expérience aléatoire et un événement permet d’amener l’élève
à dénombrer tous les résultats possibles et mène ensuite au raisonnement central des probabilités
soit le calcul des probabilités d’un événement.
3.1.3. Le dénombrement des résultats d’une expérience aléatoire
Le dénombrement des résultats d’une expérience peut ne pas du tout être évident. Les
expériences qui requièrent plusieurs étapes augmentent considérablement le nombre de résultats
possibles. Afin d’aider l’élève dans ses apprentissages des probabilités, l’enseignant se doit de
montrer toutes les façons d’illustrer les résultats possibles d’une expérience aléatoire. Parfois, le
nombre total de cas possibles peut être très élevé. Il est donc très important d’organiser le
dénombrement (comptage) de tous les cas afin de ne pas en oublier.
Au premier cycle du secondaire, l’élève doit être amené à représenter les résultats d’une
expérience aléatoire par un diagramme en arbre, par un tableau à double entrée, par une
énumération systématique et par un réseau (graphe). Ces façons d’organiser le dénombrement
permettent également à l’élève de nommer les résultats et ensuite de les compter. Éventuellement,
ils lui permettront de compter les résultats sans les nommer.
Table des matières
7
Diagramme en arbre
●
On veut choisir au hasard une chemise parmi 2 et une jupe parmi 3.
Ce diagramme en arbre permet d’illustrer et par le fait même de calculer le nombre de
résultats possibles de l’expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard une chemise et une
jupe parmi un choix de deux chemises et de trois jupes : 2 x 3 = 6.
Tableau à double entrée
Ce tableau à double entrée est utilisé pour dénombrer les cas possibles d’expériences
aléatoires qui mettent en relation uniquement deux composantes. Il permet bien sûr, d’illustrer et
par le fait même, de calculer le nombre de résultats possibles de l’expérience aléatoire qui
consiste à lancer deux fois une pièce de monnaie : 2 x 2 = 4.
Table des matières
8
Énumération systématique
Il est également possible d’énumérer systématiquement tous les résultats d’une
expérience aléatoire lorsque la situation est relativement simple. Il ne suffit que d’organiser les
résultats et de les noter de la façon suivante : = {PP, PF, FP, FF}.
Réseau (graphe)
On veut déterminer le nombre de chemins possibles de prendre pour arriver au sommet du
mont St-Hilaire. Il y a quatre chemins qui relient le chalet de départ et la tour d’observation et
deux chemins qui relient la tour d’observation au sommet du mont.
Le réseau est utilisé pour exprimer des trajets ou des liens possibles entre différents
éléments. Il permet d’illustrer la situation et permettra à l’élève de calculer facilement le nombre
de résultats possibles de l’expérience aléatoire qui consiste à trouver le nombre de chemins
possibles pour arriver au sommet du mont St-Hilaire: 4 x 2 = 8.
Nous croyons que l’utilisation et l’illustration des différentes possibilités d’une
expérience aléatoire permet à l’élève de de déduire la règle de multiplication dans les cas où les
possibilités sont trop nombreuses. Cette règle permet ainsi de déterminer le nombre de résultats
possibles d’une expérience aléatoire. Cependant, cette règle étant relativement simple à saisir
pour l’élève, il risque de l’utiliser dans toutes les situations. Il sera alors important pour
l’enseignant de spécifier que cette règle ne s’applique pas dans une expérience sans ordre. Nous
croyons que l’enseignant doit insister sur ce fait.
Table des matières
9
3.1.4. Calcul de la probabilité d’un événement
La population utilise constamment les probabilités dans la vie courante. En effet, on peut
penser aux chances d’arriver en retard au travail ou à l’école ou aux chances de réussir quelque
chose. Il nous arrive donc de fonder des décisions sur une probabilité ou un jugement. Mais
comment calcule-t-on une probabilité?
a) Probabilité d’un événement
Un événement s’est réalisé à partir du moment où l’un de ses résultats s’est produit.
Lorsqu’on calcule la probabilité d’un événement, on cherche à calculer la chance qu’il a de se
produire.
●
A : «Piger un Roi dans un jeu de 52 cartes»
On sait que dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 Rois.
4
Donc, P(Roi) = 5
1
13
On peut donc dire qu’on a 1 chance sur 13 de piger un Roi dans un jeu de 52 cartes.
Avec cet exemple, l’élève pourra donc réaliser qu’une probabilité est un rapport. Si ensuite on
l’amène à regarder d’autres situations telles que les deux suivantes :
●
●
A : «Obtenir pile» lors du lancer d’une pièce de monnaie truquée (où les deux côtés
montrent «pile» ;
B : «Tirer la lettre R» d’un sac qui ne contient que des voyelles ;
L’élève remarquera que la probabilité de l’événement A est de 1 sur 1 et que la
probabilité de l’événement B est de 0. Il pourra donc déduire que la probabilité d’un résultat est
un rapport dont la valeur se situe dans l’intervalle [0,1].
Comme il a été dit plus haut, il est possible qu’une expérience ait plusieurs étapes. Par
exemple, si on a un sac de bonbons contenant six suçons, trois petites barres de chocolat et deux
jujubes. «Tirer un suçon», «Tirer une barre de chocolat» et «Tirer un jujube» sont des
événements élémentaires. Si on cherche à calculer la probabilité de l’événement «Tirer un suçon
ou une barre de chocolat» alors on obtiendra :
Table des matières
10
On sait qu’il y a 11 éléments au total dans le sac.
Donc :
P(suçon ou barre de chocolat) = P(suçon) + (Pbarre de chocolat)
P(suçon ou barre de chocolat) = 11
3
11
P(suçon ou barre de chocolat) = 11
On peut donc dire qu’on a
dans ce sac.
chances sur 11 de piger un suçon ou une barre de chocolat
En ajoutant une probabilité sur chacune des branches du diagramme en arbre fait
précédemment, cela nous permet d’obtenir l’arbre des probabilités. La probabilité d’un
événement élémentaire d’une expérience à plusieurs étapes est égale au produit des probabilités
de chacun des événements intermédiaires à chacune des étapes qui forment cet événement.
Ici, il est possible que les élèves remarquent que la somme des probabilités de tous les
événements élémentaires d’une expérience aléatoire est 1. Il faudra également spécifier que la
colonne probabilité ne représente pas la probabilité du résultat mais bien de l’événement associé
à ce résultat.
Table des matières
11
3.1.5. Types d’événements
L’enseignant devra également expliquer aux élèves qu’il existe plusieurs types
d’événements. Cela peut avoir lieu dans le cadre d’une activité de découverte ou d’exploration.
Un événement certain est un événement dont la probabilité de l’obtenir est 1.
i.
●
L’événement «Obtenir pile» lors du lancer d’une pièce de monnaie truquée (où les
deux côtés montrent «pile») est un événement certain. La probabilité est bien de 1.
Un événement probable est un événement dont la probabilité de l’obtenir se situe
entre 0 et 1.
ii.
●
●
L’événement «Choisir un nombre premier» parmi les 100 premiers nombres
naturels est un événement probable.
L’événement «Tirer la lettre B» d’un sac qui ne contient que des voyelles est un
événement impossible. La probabilité est bien de 0.
De 0 à 100 il y a 101 nombres. Si on fait la liste des nombres premiers allant de 0 à 100, on
obtient :
= {2,3,5,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}
4
P(Choisir un nombre premier) = 101
0 3
La probabilité se situe bien entre 0 et 1.
Un événement impossible est un événement dont la probabilité de l’obtenir est 0.
iii.
●
L’événement «Tirer la lettre B» d’un sac qui ne contient que des voyelles est un
événement impossible. La probabilité est bien de 0.
Un événement élémentaire est un événement qui comporte qu’un seul résultat.
iv.
●
L’événement «Obtenir 3» en lançant un dé à six faces est un événement élémentaire.
P(Obtenir 3) =
1
Dans une expérience aléatoire, il existe plusieurs types de relations entre des événements.
Le diagramme de Venn permet de bien les visualiser.
Table des matières
12
v. Deux événements sont complémentaires lorsqu’il n’y a aucun résultat commun entre ces deux
événements et que la réunion des deux événements correspond à l’univers des résultats possibles.
L’événement complémentaire à l’événement A est noté A’ (A complément).
Soit A : «Tirer une voyelle au scrabble». L’événement complémentaire à l’événement A est
l’événement A’: «Tirer une consonne au scrabble». On peut le représenter par un diagramme de
Venn afin de mieux visualiser la situation.
Mathématiquement, si A B =
et que A B = alors les événements A et B sont
complémentaires entre eux. Il est intéressant ici d’amener les élèves à remarquer que
nécessairement si les deux événements A et B sont complémentaires entre eux, alors la
somme des probabilités d’un événement et de son complément donne 1. En effet :
P(A) + P(A’) =
0
1
Table des matières
13
vi.
●
Deux événements sont compatibles s’il y a des résultats communs entre ces deux
événements.
A : «Obtenir un nombre pair»
B : «Obtenir un diviseur de 6»
A et B sont des événements compatibles.
La probabilité de l’événement «Obtenir un nombre pair ou un diviseur de » se calcule de
la façon suivante :
P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A B)
P(A ou B) =
3
4
5
Ici, il faut bien montrer à l’élève que l’on soustrait l’intersection car on l’a additionné
deux fois. Plusieurs élèves risquent d’omettre de la soustraire. Or, si on ne soustrait pas
l’intersection, on trouve une probabilité supérieure à 1. Ce qui est impossible!
Table des matières
14
vii.
Deux événements sont incompatibles si ces deux événements ne peuvent avoir des
éléments en commun. On dit aussi que ce sont des événements disjoints.
A : «Ensemble des nombres pairs plus petits que 10».
B : «Ensemble des nombres impairs plus petits que 10».
●
●
Ces deux événements sont incompatibles puisqu’il est impossible d’être un nombre pair
plus petit que 10 et un nombre impair plus petit que 10, en même temps. Une représentation
visuelle à l’aide d’un diagramme permet de mieux saisir la situation.
viii.
Événements dépendants et indépendants
Deux événements sont indépendants si la réalisation d’un de ces événements n’affecte pas
la probabilité de la réalisation de l’autre. Dans la situation inverse, on dira que ces deux
événements sont dépendants. Cette définition peut être complexe à saisir pour les élèves.
L’enseignant devra nécessairement fournir des exemples concrets à l’élève où les événements
sont dépendants et où les événements sont indépendants. En voici des exemples :
●
●
On lance un dé et on lance une pièce de monnaie. Soit A : «Obtenir un 4» et B : «Obtenir
Face». Ces deux événements sont indépendants puisque la réalisation de l’événement A
n’influence pas la probabilité de réalisation de l’événement B.
On tire deux cartes d’un jeu de 5 cartes. Soient A : «Tirer une carte de cœur au 1 er
tirage», B : «Tirer une carte de cœur au e tirage». Ces événements sont dépendants
puisque la réalisation de l’événement A influence la probabilité de réalisation de
l’événement B. Ici, l’enseignant peut verbaliser que la probabilité change chaque fois
qu’une carte est tirée.
Table des matières
15
La probabilité que deux événements indépendants se réalisent dans une même expérience
est égale au produit de leurs probabilités. En d’autre mots, lorsque A et B sont des événements
indépendants, alors :
P(A) x P(B) = P(A B)
3.1.6. Types de probabilités
Il existe plusieurs types de probabilité. L’enseignant se doit de bien faire la distinction
entre celles-ci. Au premier cycle du secondaire, l’élève sera amené à seulement faire la différence
entre une probabilité théorique et une probabilité fréquentielle.
a) Probabilité théorique
La probabilité théorique d’un événement est un nombre qui quantifie la possibilité que cet
événement se produise. On calcule la probabilité théorique de la façon suivante :
Probabilité théorique =
●
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
Lorsqu’on lance un dé à six faces : «Obtenir un nombre pair»
Les résultats favorables sont : {2,4,6}
Les résultats possibles sont: {1,2,3,4,5,6}
P(obtenir un nombre pair) =
3
1
Plusieurs élèves croient que plus le nombre d’éléments favorables à la réalisation d’un
événement est grand plus la probabilité que cet événement se produise est forte. Par exemple,
plusieurs élèves peuvent croire que la probabilité de piger une bille noire d’un sac contenant 5
billes noires et billes rouges est inférieure à la probabilité de piger une bille noire d’un sac
contenant 15 billes noires et billes rouges. L’enseignant devra donc amener les élèves à réaliser
plusieurs expériences pour bien saisir le concept de probabilité.
Table des matières
16
b) Probabilité fréquentielle
La probabilité fréquentielle est une estimation de la probabilité théorique. En effet, la
probabilité fréquentielle d’un événement est le nombre obtenu après avoir fait une expérience
aléatoire plusieurs fois de suite. Plus le nombre de répétitions d’une expérience aléatoire est
grand plus la probabilité fréquentielle se rapprochera de la probabilité théorique. L’enseignant
doit donc spécifier à l’élève que la probabilité fréquentielle est une très bonne estimation de la
probabilité théorique.
nombre de fois que le résultat s est réalisé
Probabilité fréquentielle = nombre de fois que l expérience a été réalisée
●
●
Observer que la masse d’un nouveau-né est supérieure à 3 kg.
On établit la probabilité fréquentielle qu’un joueur de hockey fasse un but d’après ses
parties précédentes.
Nous croyons qu’il serait pertinent que les élèves utilisent l’expérimentation pour vérifier
certains calculs théoriques. Les expérimentations permettent de mieux saisir l’aspect aléatoire des
probabilités et de voir le lien entre le nombre de répétitions d’une expérience aléatoire et la
probabilité théorique.
Il ne faut surtout par oublier de dire à l’élève que le calcul de probabilité peut également
se faire en analysant les diagrammes de Venn qui représentent deux événements. En effet, pour
trouver la probabilité que deux événements se réalisent en même temps, il faut trouver
l’intersection des ensembles associés à ces événements.
On tire une forme au hasard dans le sac ci-dessous :
A : «Tirer une forme géométrique rouge»
B : «Tirer un cercle»
L’univers des résultats possibles de l’événement A est : A = {
,
L’univers des résultats possibles de l’événement B est : B = {
,
Table des matières
,
,
}
}
17
Si maintenant on analyse l’événement «Tirer une forme géométrique et que celle-ci soit
un cercle» cela revient à s’intéresser à l’intersection des deux ensembles qui s’écrit
mathématiquement de la façon suivante : A B donc = {
} Ici, l’enseignant devra bien
verbaliser que l’intersection représente la probabilité que deux événements se réalisent en même
temps.
A
B
Si maintenant on souhaite trouver la probabilité qu’un événement ou un autre se réalise, il
faut s’intéresser à la réunion des deux ensembles associés à ces événements.
A : Diviseur de 24
B : Diviseur de 30
L’univers des résultats possibles de l’événement A est : A = {1, ,3,4, ,8,1 , 4}
L’univers des résultats possibles de l’événement B est : B = {1, ,3,5, ,10, 15,30 }
A
B
Table des matières
18
Si maintenant on analyse l’événement «Tirer un diviseur de 4 ou un diviseur de 30» cela revient
à s’intéresser à la réunion des deux ensembles qui s’écrit mathématiquement de la façon
suivante : A B = {1, ,3,4,5, ,8,10,1 ,15, 4,30} Ici, l’enseignant devra bien verbaliser que la
réunion représente la probabilité que l’un ou l’autre des événements se produisent.
L’enseignant doit le montrer mathématiquement par l’équation suivante :
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Il doit bien montrer à l’élève qu’il faut soustraire l’intersection puisque celle-ci est comptée deux
fois.
Table des matières
19
3.2. Expériences aléatoires à plusieurs étapes avec remise ou sans remise
3.2.1. Expérience aléatoire avec remise
Pour Pâques, Sabrina a reçu une petite boîte de chocolats contenant 4 chocolats noirs et 2
chocolats au lait. On veut calculer la probabilité de piger 2 chocolats de la même sorte.
Lorsqu’on en a pigé un, on le remet dans la boîte.
Une fois que le dénombrement est fait, il faut identifier l’événement recherché. On
cherche la probabilité de piger deux chocolats de la même sorte. On veut donc deux chocolats
noirs ou deux chocolats au lait. Cette situation revient à faire le calcul suivant :
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = P(Noir, Noir) + P(Lait, Lait)
1
4
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = 3
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = 3
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) =
3
0
5
On a donc 5 chances sur 9 de piger deux chocolats de la même sorte.
Il faut amener les élèves à réaliser qu’avec remise, les probabilités demeurent inchangées
d’étapes en étapes.
Table des matières
20
3.2.2. Expérience aléatoire sans remise
Pour Pâques, Sabrina a reçu une petite boîte de chocolats contenant 4 chocolats noirs et 2
chocolats au lait. On veut calculer la probabilité de piger 2 chocolats de la même sorte.
Lorsqu’on en a pigé un, on ne le remet pas dans la boîte.
Une fois que le dénombrement est fait, il faut identifier l’événement recherché. On
cherche la probabilité de piger deux chocolats de la même sorte. On veut donc deux chocolats
noirs ou deux chocolats au lait. Cette situation revient à faire le calcul suivant :
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = P(Noir, Noir) + P(Lait, Lait)
Comme la pige est sans remise, il ne faut pas oublier de prendre en considération que le
nombre de chocolats dans la boîte diminue après chaque tirage. Lorsqu’on a pigé un chocolat
noir, l’élève doit réfléchir à savoir combien il en reste dans la boîte. Étant donné qu’au départ il y
a quatre chocolats noirs après en avoir pigé un, il va en rester trois…
1
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = 30
30
14
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = 30
P(Noir, Noir) ou P(Lait, Lait) = 15
On a donc 7 chances sur 15 de piger deux chocolats de la même sorte.
Table des matières
21
Il faut amener l’élève à réaliser que sans remise, le résultat d’une étape influence les probabilités
de l’étape suivante.
3.3. Expériences aléatoires avec ordre ou sans ordre
Dans une expérience aléatoire, l’ordre peut être important ou non selon le contexte.
Lorsqu’on ne tient pas compte de l’ordre, l’univers des résultats possible comprend souvent
moins de résultats.
On fait l’expérience suivante : Tirer successivement deux billes sans ordre et sans remise
d’un sac qui contient trois billes (une bille rouge, une bille verte et une bille bleue).
Avec ordre, il y a façons d’écrire le résultat:
(r,v)
(v,r)
(r,b)
(b,r)
(v,b)
(b,v)
Sans ordre, il y a 3 façons d’écrire le résultat:
(r,v)
(r,b)
(v,b)
Nombre de résultats possibles d’une expérience sans ordre et sans remise =
nombre de résultats possibles en tenant compte de l ordre
nombre de façons différentes d écrire un résultat en tenant compte de l ordre
Table des matières
22
3.4 Difficultés, erreurs et conceptions
Certains élèves ne distinguent pas la différence entre «et» et «ou». Leur expliquer, par
exemple, qu’une personne qui pratique un sport «et» un autre sport pratique nécessairement les
deux sports, tandis qu’une personne qui pratique un sport «ou» un autre sport peut ne pratiquer
qu’un seul des deux sports.
Lorsque les élèves construisent l’arbre des probabilités d’une expérience aléatoire à
plusieurs étapes sans remise, certains peuvent ne pas se rendre compte que le résultat d’une étape
influe sur les probabilités de l’étape suivante. Leur rappeler qu’ils et elles doivent ajuster le
numérateur et le dénominateur des probabilités associées à chacun des événements intermédiaires.
Certains élèvent peuvent avoir de la difficulté à déterminer que la situation est ordonnée ou non.
Table des matières
23
4. Les probabilités (2e cycle)
4.1. Reconnaître le type de variables aléatoires: discret ou continu
Ce sujet est au programme de formation du MELS en première année du deuxième cycle du
secondaire. Avant d’être en mesure de les reconnaître, il est toujours bon d’avoir une définition
pour chaque variable.
● Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans
un intervalle donné (borné ou non borné). L’ensemble des nombres entiers est discret. En
règle générale, toutes les variables qui résultent d’un dénombrement ou d’une numération
sont de type discrètes2.
● Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un
intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent
d’une mesure sont de type continu3.
Une des façons de faire comprendre aux élèves la différence entre ces deux définitions
(qui sont très mathématiques et qui peuvent porter à confusion pour certains élèves), est de faire
une comparaison avec les ensembles de nombres. On peut d’abord prendre l’ensemble des
nombres réels ( ). L’une des propriétés des nombres réels est que l’on peut toujours trouver une
infinité de nombre réels entre deux nombre réels. Ainsi, par exemple sur l’intervalle [0,1], on
peut trouver une infinité de nombres réels. Du coup, les nombres réels seraient une façon de faire
comprendre ce qu’est une variable aléatoire continue.
Pour la variable aléatoire discrète, on peut prendre, par exemple, l’ensemble des naturels
( ). Les élèves peuvent voir que sur un intervalle, utilisons la même que tout à l’heure, soit [0,1],
on ne peut pas obtenir n’importe quelle valeur. On peut seulement prendre 0 ou 1. Ainsi, on
obtient des valeurs discontinues, ce qui correspond à la définition de variable discrète.
Utiliser des exemples peut toujours être bon avec des élèves, alors voici quelques
exemples de variables discrètes et continues:
- Le nombre d’animaux domestiques dans une maison (discrète)
- Le taux de glucose dans le sang (continue)
- La longueur d’une corde (continue)
- Le nombre de billes dans un sac (discrète)
- La quantité d’eau dans un réservoir (continue)
2
Variables aléatoires, http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/khaoula/enseignement2011et2012/Chapitre3proba.pdf (Page consultée le mardi 9 avril 2013).
3
Idem.,
Table des matières
24
L’une des utilités de discerner le type de variables peut être dans le tracé d’un graphique.
En effet, si on demande, par exemple, de tracer le graphique du nombre de billes dans un sac en
fonction du temps, l’élève ne pourra pas relier les points qu’il aura placé dans le graphique
puisqu’il ne peut qu’y avoir un nombre entier de billes dans le sac. Du coup, le fait de faire tracer
un graphique aux élèves peut nous amener à vérifier leur compréhension de ce sujet.
4.2. Probabilités géométriques
Les probabilités géométriques, comme le dit le nom, sont des probabilités que l’élève doit
calculer à l’intérieur de figures géométriques. Ce sujet est au programme en première année du
deuxième cycle du secondaire.
Les probabilités géométriques se séparent en trois parties: celles en une dimension, celles
en deux dimensions et celles en trois dimensions.
4.2.1. Probabilités géométriques en une dimension
Comme le dit la définition de la première dimension, ces probabilités géométriques se
font sur des segments. Pour ce faire l’élève doit utiliser les mesures afin de calculer la probabilité.
Voici le genre de questions qui pourrait être posée:
On choisit au hasard un point sur le segment AF ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce point
se situe sur le segment BC ?
On doit calculer la probabilité comme si c’était une probabilité théorique:
P(point sur BC) =
P(point sur BC) =
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
longueur du segment BC
longueur du segment AF
5 cm
P(point sur BC) = 1
cm
P(point sur BC) =
Table des matières
25
4.2.2. Probabilités géométriques en deux dimensions
Les probabilités géométriques en deux dimensions se font dans des figures planes. Ainsi,
au lieu d’utiliser des mesures de longueurs (comme en une dimension), on utilisera des mesures
de superficie (comme les m2 par exemple). Prenons l’exemple suivant:
Si je lance un dard sur la figure suivante, quelle est la probabilité d’atteindre le cercle?
P(dard dans cercle) =
P(dard dans cercle) =
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
aire du cercle
aire totale de la figure
P(dard dans cercle) =
P(dard dans cercle) =
P(dard dans cercle)
r cm
c cm
cm
8 cm
1 5 4cm
4 cm
01
Certaines difficultés peuvent survenir lorsque les élèves arrivent dans la deuxième
dimension. En effet, lorsque les élèves veulent calculer l’aire totale de la figure, certains vont
calculer l’aire du carré et vont lui additionner l’aire du cercle. Il faudra leur faire comprendre que
l’aire du cercle est comprise dans l’aire du carré.
Également, une difficulté pourrait survenir si on demandait aux élèves de calculer la
probabilité de lancer un dard dans la zone bleue. Pour calculer cette probabilité, les élèves
doivent calculer l’aire du carré et lui soustraire l’aire du cercle afin d’obtenir l’aire de la partie
bleue. Ce passage pourra causer des ennuis à certains.
Table des matières
26
4.2.3. Probabilités géométriques en trois dimensions
Les probabilités géométriques en trois dimensions se font dans des figures en trois
dimensions. Par exemple, les prismes, les cônes, les cylindres, les sphères, etc. Du coup, les
élèves devront utiliser les unités qui mesurent l’espace (comme le m3). Prenons l’exemple
suivant:
On choisit au hasard un point dans le prisme droit ci-dessous. Quelle est la probabilité que ce
point se trouve dans le prisme rouge?
P(point dans rouge) =
P(point dans rouge) =
P(point dans rouge) =
P(point dans rouge) =
P(point dans rouge)
nombre de résultats favorables
nombre de résultats possibles
volume du prisme rouge
volume total de la figure
Aire de la base x hauteur cm 3
Aire de la base x hauteur cm 3
8 x 5 x cm 3
8 x 5 x cm 3
80 cm 3
1
40 cm 3
3
0 333
Ici, les mêmes difficultés qu’en deux dimensions peuvent apparaître chez les élèves.
Évidemment, la connaissance des formules de volume est primordiale afin de calculer ces
probabilités!
Table des matières
27
4.3. La notation factorielle
La notation factorielle est un sujet qui est au programme uniquement en TS en troisième
année du deuxième cycle du secondaire. Ainsi, les autres séquences ne sont pas nécessairement
obligées d’être introduites à cette écriture mathématique (le MELS précise qu’elle est facultative
dans la séquence CST). La factorielle joue un rôle très important dans les probabilités
combinatoires. L’introduction de cette notation peut mener vers ce type de probabilités.
Le symbole utilisé en mathématique pour exprimer la factorielle est le point
d’exclamation (!). Cette écriture est en fait utilisée afin de simplifier certaines expressions
mathématiques qui seraient très lourdes sans l’utilisation du “!”. La factorielle est toujours
utilisée avec un nombre. Voici une définition possible:
En mathématiques, la factorielle d'un nombre entier naturel n, notée n!, est le produit des
nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n4. Nous pouvons donc l’écrire comme
suit:
n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n
Par exemple, si nous prenons n = 3, nous obtenons ceci:
3! = 1 x 2 x 3 = 6
Il est à noter la particularité qui suit: 0! = 1.
4
Factoriel n!. http://factorielle.free.fr/index_fr.html (Page consultée le mardi 9 avril 2012).
Table des matières
28
4.4. Espérance mathématique
L’espérance mathématique est au programme dans les séquences CST et TS en deuxième
année du deuxième cycle du secondaire. Le programme du MELS définit les 3 objectifs suivants:
1- “Définir ou interpréter le concept d’espérance mathématique (ex. : établir le lien entre
espérance mathématique et moyenne pondérée)5”
2- “Calculer l’espérance mathématique6”
3- “Interpréter l’espérance mathématique obtenue et prendre les décisions appropriées7”
Avant toute chose, il peut être bon d’avoir une définition de l’espérance
mathématique: ”L'espérance mathématique d'une variable aléatoire est l'équivalent en probabilité
de la moyenne d'une série statistique en statistiques. Elle se note E(X) et se lit espérance de X.
C'est une valeur numérique permettant d'évaluer le résultat moyen d'une expérience aléatoire.
Elle permet par exemple de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard; elle est alors égale à la
somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du gain (ou de la perte).8
Afin de calculer l’espérance mathématique d’une situation, les élèves devront utiliser la
formule suivante9: E = p1xr1 + p2xr2 + p3xr3 + … + pnxrn
Où p1, p2, p3, … ,pn correspond à la probabilité que les événements 1, ,3,…,n se réalisent
Où r1, r2, r3, … ,rn correspond à la valeur numériques des événements 1, ,3,…,n
5
QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION DES LOISIRS ET DES SPORTS. Un programme de
formation pour le XXIe siècle ; Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement secondaire,
deuxième cycle, Québec, Publications du Québec, 2007, p.22.
6
Idem., p. 23.
Idem., p.23.
8
Espérance mathématique, http://fr.wikipedia.org/wiki/Esp%C3%A9rance_math%C3%A9matique, (Page consultée
le mardi 9 avril 2013).
9
Espérance,
https://www.google.ca/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CE8QFjAD&url=http%3A%2F%2F
www.cableamos.com%2Fsylvain.lacroix%2Fmaths%2F4TS%2FProbabilites%2Fesperance.doc&ei=GpFkUbizOeP
P0wHTu4CoCQ&usg=AFQjCNFR2CTgZ4FhS0lFuu87p6rDm7gn7w&sig2=OEAUtrWeLRI11syYi1woAg&cad=rj
a, (Page consultée le mardi 9 avril 2013).
7
Table des matières
29
Prenons l’exemple suivant: Un élève estime qu’il aura une note de
% pour la
compétence disciplinaire 1, 58% pour la compétence disciplinaire 2 et 61% pour la compétence
disciplinaire 3. Il veut connaître l’espérance mathématique de son résultat final. (Prendre note
que la compétence 1 compte pour 30% du résultat, la 2e pour 45$ et la 3e pour 25%)
L’espérance mathématique se calculera donc ainsi:
E = 0,3x0,67 + 0,45x0,58 + 0,25x0,61
E = 0,6145
Il aura comme note finale 61%.
Lorsqu’il y a de l’argent en jeu (par exemple dans les jeux de hasard), on va plutôt parler
d’espérance de gain. La formule d’espérance reste essentiellement la même, mais on l’adapte
comme suit:
Espérance de gain = (probabilité de gagner) x (montant du gain) + (probabilité de perdre) x
(montant de la perte)
Il est important de faire comprendre aux élèves comment calculer la probabilité de perdre
et/ou de gagner. En fait, pour calculer la probabilité de perdre, on doit faire 1 - la probabilité de
gagner (et inversement pour calculer la probabilité de gagner où l’on fera 1 - la probabilité de
perdre). On peut donc dire que gagner et perdre sont des évènements complémentaires!
Prenons ainsi l’exemple suivant:
Un individu joue à un nouveau jeu qui consiste à gagner 50$ si on tire un AS d’un jeu de
carte. L’espérance de gain pour une mise de 10$ sera la suivante :
Probabilité de gagner = 4/52 = 1/17
Probabilité de perdre = 1 – 1/17 = 16/17
1
1
E = 1 x 50 + 1 x (-10) = -6,47$
Cet exemple démontre bien le calcul de l’espérance mathématique, mais que veut dire le
résultat de -6,47$?
En fait, il s’agit du troisième objectif du programme soit d’interpréter le résultat du calcul
d’espérance de gain. Ici, le -6,47$ veut dire que mathématiquement (théoriquement), si on jouait
très très souvent à ce jeu avec une mise de 10$ (en se ramenant à l’exemple plus haut), on
perdrait en moyenne ,4 $ par partie. Ainsi, il faudrait donc conseiller au joueur d’arrêter de
Table des matières
30
jouer à ce jeu puisque théoriquement, il ne peut pas espérer faire de l’argent avec ce jeu (en fait,
il peut plutôt en perdre!).
L’interprétation de l’espérance mathématique apporte la notion d’équité. En fait, comme
on a pu le constater dans l’exemple, lorsque l’espérance est négative, le joueur est désavantagé et,
à l’inverse, lorsque l’espérance est positive, le joueur est favorisé (il peut espérer faire de l’argent
en jouant à de nombreuses reprises à ce jeu). Toutefois, lorsque l’espérance mathématique vaut 0,
on parlera d’un jeu équitable. Ainsi, lorsqu’on joue à ce jeu à plusieurs reprises, théoriquement
on ne gagnera pas d’argent, mais on n’en perdra pas non plus.
L’espérance mathématique amène souvent des questionnements sur les probabilités
théoriques. En effet, si on joue à un jeu où l’espérance est positive à plusieurs reprises, il se peut
que l’on perde de l’argent. Il est donc intéressant de travailler les différents types de probabilités
(fréquentielle, théorique, subjective) avec les élèves lors du travail sur cette notion.
Table des matières
31
4.5. Probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles sont au programme dans la séquence TS en deuxième
année du deuxième cycle du secondaire et dans la séquence CST en troisième année du deuxième
cycle du secondaire.
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer des probabilités en tenant compte
d’une information supplémentaire. Par exemple, si je tire une carte d’un jeu de carte, j’estimerais
mes chances de tirer un pique à 1 sur 4. Cependant, si j’observe un reflet noir en prenant la carte,
je pourrai changer mon estimation à 1 chance sur d’avoir un pique. La probabilité est ainsi
conditionnée par la couleur de la carte et c’est pourquoi on parle de probabilité conditionnelle.
En mathématique, on note la probabilité d’un évènement A sachant que l’évènement B
s’est produit par P(A|B). La formule à utiliser pour calculer cette probabilité est la suivante:
P(A|B) =
P A B
P B
Il est à noter que si A et B sont indépendants, nous utilisons plutôt la formule suivante:
P(A|B) = P(A)
Ce qui est totalement logique puisque si les deux évènements sont indépendants, ça veut
donc dire que le fait que l’évènement B se soit produit n’a aucune influence sur la probabilité que
se produise l’évènement A.
Finalement, il le théorème de Bayes permet d’écrire:
P(A|B) =
P BA P A
P B
En terminant, il peut être intéressant à partager aux élèves que la formule de Bayes (celle
juste en haut) a fait le sujet principale de la réputée revue Sciences Vie ed Novembre 2012
(numéro 1142). En effet, cette revue démontre que cette formule vieille de 300 ans est en train de
livrer ses nombreux secrets. Cette formule permettrait de décrypter les secrets du vivant,
l’évolution des espèces, les mystères de l’Univers, l’origine génétique des maladies, les
catastrophes naturelles, l’avenir du climat, les propriétés de la matière et elle serait aussi la clé de
la pensée.
C’est donc une formule que nous entendrons certainement beaucoup parler dans les prochaines
années!
Table des matières
32
5. BIBLIOGRAPHIE
5.1. Publications gouvernementales
QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION DES LOISIRS ET DES SPORTS. Un programme
de formation pour le XXIe siècle ; Programme de formation de l’école québécoise, Enseignement
secondaire, deuxième cycle, Québec, Publications du Québec, 2007, 633 p.
QUÉBEC, MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION DES LOISIRS ET DES SPORTS. Progression des
apprentissages au secondaire, Québec, Publications du Québec, 2007, 45 p.
5.2. Sites internet
Espérance. En ligne.
«https://www.google.ca/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CE8QFjAD&ur
l=http%3A%2F%2Fwww.cableamos.com%2Fsylvain.lacroix%2Fmaths%2F4TS%2FProbabilite
s%2Fesperance.doc&ei=GpFkUbizOePP0wHTu4CoCQ&usg=AFQjCNFR2CTgZ4FhS0lFuu87p
6rDm7gn7w&sig2=OEAUtrWeLRI11syYi1woAg&cad=rja»
Consulté le 9 avril 2013.
Factorielle n!. En ligne. «http://factorielle.free.fr/index_fr.html »
Consulté le 9 avril 2013.
Probabilité 101. 2013. En ligne. « http://www.youtube.com/watch?v=YpvE0Co66nU»
Consulté le 3 avril 2013.
Probabilités géométriques. En ligne.
«https://www.google.ca/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CE4QFjAD&ur
l=http%3A%2F%2Fwww.montsainteanne.csdps.qc.ca%2FDocuments%2FDocuments_math_ppt
%2FMATH%25C3%2589MATIQUE%2520SECONDAIRE%25203%2F7%2520PROBABILIT
%25C3%2589S%2F004%2520PROBABILIT%25C3%2589%2520G%25C3%2589OM%25C3
%2589TRIQUE.ppt&ei=luliUYrzA4nA0QHfrICAAQ&usg=AFQjCNGCRX_qpzZAux7KWcrS
K9bug-qcXw&sig2=rSgTeULUyH_GeB357GYkhg&bvm=bv.44770516,d.dmQ&cad=rja»
Consulté le 9 avril 2013.
Variables aléatoires. En ligne.
«http://www.univ-orleans.fr/mapmo/membres/khaoula/enseignement2011et2012/Chapitre3proba.pdf»
Consulté le 9 avril 2013.
Table des matières
33
Wikipédia Probabilités. 2013. En ligne. «http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9».
Consulté le 3 avril 2013.
Wikipédia Probabilités conditionnelles. En ligne.
«http://fr.wikipedia.org/wiki/Probabilit%C3%A9_conditionnelle»
Consulté le 3 avril 2013
5.3. Articles
Fontez, Mathilde. 2012. «La formule qui décrypte le monde», Sciences et Vie, no 1142 (automne),
148 p.
Table des matières
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