Polycopié

Méthodologie des mathématiques
L1 — Université Paris-Est Marne-la-Vallée
2015 – 2016
Magdalena KOBYLANSKI
Miguel MARTINEZ
2
Organisation du travail et contrôle
des connaissances
Apprentissage du cours
Comment apprendre le cours ?
1. Relire : relire rapidement le cours dans ses trois versions : les notes manuscrites prises en amphi,
la version imprimée du cours projeté, le polycopié.
2. Synthèse : être capable de dire quelles sont les notions abordées en cours en 30 secondes chrono.
3. Repérage : quels sont les définitions, les propositions et théorèmes.
4. Comprendre : quels sont les enjeux des notions, théorèmes et propositions abordés. Pouvoir en
parler en moins de 2 minutes en termes non techniques. Tout lien, toute idée de lien même farfelue
est bienvenue.
5. Apprendre : savoir par coeur les définitions, à la virgule près. Ici, pas de place pour l’à peu près.
6. Relire encore : maintenant on rentre dans la technique et on est prêt pour la relecture fouillée
des démonstrations...
7. Repérer encore : repérer la structure de la démonstration, les notions et les propositions utilisées,
les idées principales, la structure logique, et une fois encore faire des liens : pourquoi cette structure
de preuve, est-ce qu’elle fait penser à une preuve, où sont les difficultés techniques...
8. Apprendre encore : refaire les démonstrations un stylo à la main. Imaginez que c’est vous le
professeur et que vous êtes en train d’expliquer la démonstration.
Séances de TD
Comment préparer la séance de Travaux Dirigés ?
1. Apprendre le cours. Chaque chargé de TD est libre de vous interroger à tout moment, à l’oral
ou par écrit, sur le cours. Ces interrogations peuvent être notées et cette note peut rentrer dans
le contrôle continu. Les définitions indiquées doivent en particulier être connues sur le bout des
doigts.
2. Exercices Wims. Des exercices interactifs simples sont proposées et si vous n’avez pas réussi à
faire ceux qui sont demandés, le chargé de TD a le droit de ne pas vous accepter.
3. Exercices du polycopié. Certains exercices du polycopié doivent être préparés et rédigés à l’écrit.
Les exercices ⌥ sont des exercices faciles, qui peuvent être fait sans aide.
Les exercices F sont à traiter obligatoirement en TD.
3
4
Exercices Wims
Pour chaque chapitre du cours, des exercices Wims vous sont proposés sur la plate-forme d’enseignement en ligne. Ils sont répartis en 3 niveaux de difficulté.
– Ceux de niveau basique sont des exercices d’application directe du cours. Vous devez les faire
juste après le cours en amphi, et avant le TD associé. Ils vous aideront à apprendre certains
concepts de base du cours.
– Ceux de niveau intermédiaire demandent plus de savoir-faire et de réflexion et nécessitent souvent
de prendre un papier et un crayon. Ils sont associés à des exercices de la feuille de TD marqués W .
Ces exercices sont à faire après avoir vu les exercices correspondants en TD. Cela vous permettra
de vérifier que vous les avez bien assimilés.
Contrôle des connaissances
Les connaissances sont contrôlées lors des partiels du lundi matin. Le programme des contrôles est
communiqué la semaine qui précède. Ils portent à la fois sur les cours, les TD et les exercices Wims.
— Toutes les définitions, les propositions, et tous les théorèmes sont à connaître.
— Les démonstrations des énoncés F sont également exigibles.
Par ailleurs chaque chargé de TD est libre d’organiser des interrogations écrites.
Chapitre 1
Ensembles
“Personne ne pourra nous chasser du paradis que Cantor a créé pour nous.”
Hilbert – 1925
Le langage ensembliste est depuis Cantor celui utilisé par les mathématiciens. Aujourd’hui, toute la
théorie mathématique est construite à partir de la théorie des ensembles. Ces derniers constituent donc la
notion première des mathématiques : tous les autres objets mathématiques sont définis (ou peuvent l’être)
à partir des ensembles, de quelques axiomes, et des règles de la logique.
Nous utilisons la théorie na´’ive des ensembles.
1.1
Définitions
Ensemble
Un ensemble est une collection d’objets tous définis et tous distincts qui peuvent être des objets
bien réels (par exemple les étudiants de cet amphi) ou des objets abstraits (comme des nombres, des
fonctions...). En général, on note les ensembles avec une majuscule A, B,...
Les objets constituants un ensemble sont appelés les éléments, on les note en général à l’aide d’une
minuscule a, x... et on écrit : “a œ A” pour dire que “a est un élément de l’ensemble A”.
Un ensemble qui ne contient qu’un élément, disons a, est le singleton {a}. C’est un objet mathématique qui est différent de l’élément a.
Description d’un ensemble – Afin de décrire un ensemble on utilise des accolades. Par exemple
{1, 2} se lit “l’ensemble dont les éléments sont 1 et 2”. C’est le même ensemble que {2, 1}, ou encore que
l’ensemble {1, 1, 2}.
— Les ensembles peuvent être décrits en extension. Dans ce cas entre les accolades on énumère
tous les éléments. C’est possible quand les éléments de l’ensemble ne sont pas trop nombreux. Par
exemple on considère : A = {0, 2, 4, 6}.
— Ils peuvent être décrits aussi en compréhension. Après l’accolade, on se donne une variable qui
va décrire les éléments de l’ensemble, puis on indique les propriétés de cette variable.L’ensemble A
précédent peut ainsi s’écrire {n, n est un entier pair et n Æ 6}.
— Enfin, les ensembles peuvent être représentés sous forme paramétrique. En notant I = {0, 1, 2, 3},
on peut ainsi écrire A = {2n, n œ I}. Plus généralement, si I est un ensemble et si pour tout i œ I,
ai est un élément d’un ensemble E, alors l’ensemble A = {ai , i œ I} est un sous-ensemble de E
paramétré par l’ensemble I.
Question 1.1. Combien d’éléments possède un ensemble A = {ai , i œ I} paramétré par I = {1, 2, 3, 4, 5} ?
Un ensemble peut-il toujours être paramétré ?
5
6
CHAPITRE 1. ENSEMBLES
Variable de description – Notons que l’ensemble {n œ N, n Æ 5} est le même que l’ensemble
{m œ N, m Æ 5}. On dit que la variable qui décrit l’ensemble est liée ou muette. En informatique
cette notion correspond à la notion de variable locale. Sinon on parle de variable libre ou parlante et en
informatique de variable globale.
Pour éviter toute confusion, il conviendrait de choisir pour chaque variable, même muette, une lettre
ou un symbole différent. En pratique, on ne respecte pas toujours cette règle, car les symboles dont on
dispose ne sont pas bien nombreux.
Les ensembles de nombres sont N l’ensemble des entiers naturels, Z l’ensemble des entiers relatifs, Q
l’ensemble des rationnels, R l’ensemble des réels, C l’ensemble des complexes. L’ensemble des nombres
pairs est noté 2N, il est défini de manière paramétrique par {2k, k œ N}. Plus généralement, l’ensemble des
multiples de l’entier n s’écrit nN = {nk, k œ N} : dans cette écriture, la variable k est liée, et la variable n
est libre. L’ensemble des entiers impairs ne dispose pas de notation particulière, on montre qu’il peut être
paramétré comme {2n + 1, n œ N}.
L’ensemble vide – Si on considère l’ensemble A = {n œ 2N, n > 2, n premier}, on s’aperçoit que A
ne contient aucun élément. On dit que A est l’ensemble vide, que l’on note ÿ.
Partie d’un ensemble, inclusion – Soit A et B deux ensembles. On dit que B est une partie ou un
sous-ensemble de A si et seulement si tous les éléments de B sont des éléments de A. On note alors B µ A
et on dit aussi B est inclus dans A.
Par convention ÿ µ A, pour tout ensemble A.
Exemple 1.1. Montrer l’inclusion suivante : 6N µ 3N.
L’ensemble des parties d’un ensemble – Soit E un ensemble. L’ensemble des parties d’un ensemble
noté canoniquement P(E) est l’ensemble constitué par tous les sous-ensembles de E. Cette notation est
communément admise.
On peut considérer une partie R de P(E). C’est aussi un ensemble d’ensembles. Les éléments de R
sont donc des parties de E. On désigne souvent ce genre d’ensembles avec des majuscules cursives.
1.2
Les opérations sur les ensembles
Egalité d’ensembles – Deux ensembles A et B sont égaux, et on note A = B si et seulement si chaque
élément de A est aussi dans B et chaque élément de B est dans A. Autrement dit si et seulement si A µ B
et B µ A.
Exemple 1.2. Montrer que {2p + 4q, p œ N, q œ N} = 2N.
L’union fi – L’union A fi B, de deux ensembles A et B, est l’ensemble
A fi B = {x, x œ A ou x œ B}.
Nota Bene : le “ou” du mathématicien est le “ou” inclusif. Ainsi x œ AfiB signifie que x est soit uniquement
dans A, soit uniquement dans B, soit encore dans les deux à la fois.
L’union est associative : pour tous ensembles A, B, C, on a (A fi B) fi C = A fi (B fi C) et commutative :
pour tous ensembles A, B on a A fi B = B fi A.
t
Soit R un ensemble de parties de E. La réunion des parties de R notée
AœR A est l’ensemble des
éléments x appartenant à au moins l’un des A dans R. Autrement dit
€
A = {x, il existe A œ R vérifiant x œ A} .
AœR
Lorsque R est donné comme un ensemble indexé par un ensemble I, R = {Ai , i œ I}, l’union ci-dessus
s’écrit
€
Ai = {x, il existe un indice i œ I vérifiant x œ Ai } .
iœI
1.2. LES OPÉRATIONS SUR LES ENSEMBLES
7
Remarque 1.1. La variable i est liée par l’opérateur fi, on dit aussi qu’elle est muette : le fait de remplacer
i par j ne change rien : fiiœI Ai = fijœI Aj .
L’intersection fl – L’intersection A fl B de deux ensembles A et B est l’ensemble A fl B = {x, x œ
A et x œ B}.
L’intersection est associative : pour tous A, B, C, (A fl B) fl C = A fl (B fl C) et commutative : pour tous
A, B, A fl B = B fl A.
u
Si R un ensemble de parties de E. On note AœR A et l’ensemble des éléments qui sont dans tous les
A œ R à la fois :
‹
A = {x, pour tout A œ R, x œ A}.
AœR
Si R = {Ai , i œ I} est un ensemble de parties indicées par l’ensemble I, l’intersection précédente s’écrit
alors
‹
Ai = {x, pour tout i œ I, x œ Ai }.
iœI
Remarque 1.2. A nouveau, tout comme pour l’union, la variable i est liée par l’opérateur fl. Le fait de
remplacer i par j ne change rien : fliœI Ai = fljœI Aj .
Exemple 1.3. Montrer que {2n, n œ N} fl {2m + 1, m œ N} = ÿ.
Montrer que 6N fl 4N = 12N.
Différence d’ensembles, complémentaire – La différence A \ B de deux ensembles (qui se lit A
moins B) est l’ensemble A \ B = {x, x œ A et x œ
/ B}.
Lorsque A est une partie de X, l’ensemble X \ A s’appelle le complémentaire de A dans X. Il est
aussi noté {X A. S’il n’ y a pas d’ambigu´’ité sur l’ensemble X, le complémentaire de A est assi noté {A
ou Ac . (On évitera la notation A réservée, en général, à une autre notion mathématique).
Proposition 1.1. Soit X un ensemble et A et B des parties de X.
a. (Ac )c = A,
b. (A fi B)c = Ac fl B c ,
c. (A fl B)c = Ac fi B c .
Exemple 1.4. Montrer que l’ensemble I des nombres impairs, défini comme le complémentaire dans N
des entiers pairs c’est-à-dire I := (2N)c = N \ 2N est égal à l’ensemble {2n + 1, n œ N}.
Différence symétrique
– La différence symétrique A B de deux ensembles A et B est l’ensemble
A B = (A \ B) fi (B \ A) = (A fi B) \ (A fl B). Il correspond au “ou” exclusif.
La différence symétrique est associative : pour tous A, B, C, (A B) C = A (B C) et commutative :
pour tous A, B, A B = B A.
Recouvrement d’un ensemble
t – Soit X un ensemble. On dit qu’un ensemble R de parties de X est
un recouvrement de X si X = AœR A.
Partition d’un ensemble – Soit X un ensemble non vide. Un recouvrement R de X est une partition
s’il est constitues de parties non vides de X deux à deux disjointes (si A et B sont dans R avec A ”= B,
alors A fl B = ÿ) .
Le produit cartésien ◊ – Soient A et B deux ensembles non vides. Le produit cartésien de A et de
B est l’ensemble
A ◊ B = {(a, b), a œ A, b œ B}.
Un élément (a, b) de A ◊ B est appelé couple. L’ordre des coordonnées dans ce couple est fondamental !
On note A2 le produit cartésien A ◊ A. Par exemple on utilise souvent la notation R2 pour l’ensemble
R ◊ R.
Question : Ecrire en extension l’ensemble {1, 2} ◊ {0, 1}.
Plus généralement soient n œ N et A1 , ...,An des ensembles non vides, le produit cartésien de A1 , ...,
An est l’ensemble A1 ◊ · · · ◊ An = {(a1 , ..., an ), a1 œ A1 , ..., an œ An }. Un élément (a1 , ..., an ) est appelé
n-uplet.
8
CHAPITRE 1. ENSEMBLES
Le produit cartésien a été inventé par René Descartes (1596 – 1650), alors qu’il avait 25 ans. Il le
rapporte dans ses mémoires.
“Le 10 novembre 1619 rempli d’enthousiasme je trouvai le fondement d’une science
admirable...” – René Descartes, Olympiques, fragments
Il raconte alors comment il s’enferme dans son poêle et conçoit sa méthode. La légende raconte
que, alité, il regarde le plafond au plâtre fissuré et imagine un système de coordonnées, permettant
de décrire lignes, courbes et figures géométriques par des couples de nombres arithmétiques, dont
il ne reste qu’à analyser les propriétés.
1.3
Exercices
Exercice 1.1. ⌥ On considère les sous-ensembles de N suivants :
A = {n œ Nú , n Æ 7}, B = {n œ N, n œ
/ 2N, n Æ 7}, C = {n œ 2Nú , n Æ 7}, D = {n œ 3Nú , n Æ 7}.
1. Ecrire ces ensembles en extension.
2. Déterminer B fl D, C fl D .
3. Déterminer B fi C, C fi D. Une des ces réunions est-elle disjointe ?
4. Déterminer C D.
5. Déterminer {A B, {A C et {A D.
Exercice 1.2. Les notations ?, {?} désignent-elles le même ensemble ? Dans chaque cas, préciser si ?
est un élément ou une partie de l’ensemble considéré.
Exercice 1.3. Soit Q l’ensemble des quadrilatères du plan.
A l’ensemble des quadrilatères ayant un angle droit
L l’ensemble des losanges
R l’ensemble des rectangles
On
P
T
C
considère les sous-ensembles suivants :
l’ensemble des parallélogrammes
l’ensemble des trapèzes
l’ensemble des carrés.
1. Quelles sont les relations d’inclusion existant entre ces ensembles.
2. Déterminer A fl L, A fl P , L fl R.
Exercice 1.4. ⌥ On considère les ensembles suivants :
A = {1, 2, 5} , B = {{1, 2}, 5} , C = {{1, 2, 5}} , D = {?, 1, 2, 5} , E = {5, 1, 2} ,
F = {{1, 2}, {5}} , G = {{1, 2}, {5}, 5} , H = {5, {1}, {2}} .
1. Quelles sont les relations d’égalité ou d’inclusion existant entre ces ensembles ?
2. Donner le nombre d’éléments de chacun de ces ensembles.
3. Déterminer A fl B, G fi H, E\G.
4. Quel est le complémentaire de A dans D ?
Exercice 1.5. W Description d’ensembles avec les opérations ensemblistes.
Soient E un ensemble et A, B et C trois sous-ensembles de E. Exprimer les ensembles suivants en utilisant
les opérations ensemblistes.
1. L’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou à B et qui n’appartiennent pas à C.
2. L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent ni à A ni à B et qui appartiennent à C.
Exercice 1.6. Soit A et B deux sous-ensembles de
si Ac fi B c = .
. Montrer que A et B sont disjoints si et seulement
Exercice 1.7. F Soit A, B et C trois sous-ensembles de
1. A fl (B fi C) = (A fl B) fi (A fl C),
2. A fi (B fl C) = (A fi B) fl (A fi C),
. Montrer les formules suivantes :
1.3. EXERCICES
9
3. (A fi B) \ C = (A \ C) fi (B \ C),
4. (A fl B) \ C = (A \ C) fl (B \ C) = (A \ C) fl B = (B \ C) fl A,
Exercice 1.8. Soit A, B, C deux sous-ensembles de
proposer des étapes de démonstration :
. Justifier les formules suivantes à l’aide de dessins,
1. A B = B A, Ac B c = A B,
2. (A B) C = A (B C),
3. (A B)c = Ac B = A B c ,
4. Déterminer A Ac , et A
.
Exercice 1.9. Soit A et B deux sous-ensembles de
.
1. Exprimer les ensembles A fl B, A fi B, A\B, en utilisant uniquement l’intersection et le complémentaire.
2. Même problème en utilisant uniquement la réunion et le complémentaire.
3. Même problème en utilisant uniquement la différence et le complémentaire.
Exercice 1.10. Donner les éléments de P({0, 1, 2}), de P(P({1})).
Exercice 1.11. Soit A et B deux sous-ensembles de , tels que A ”µ B, B ”µ A, A fi B ”= , A fl B ”= ?.
Ecrire une partition de
formée de quatre éléments construits à partir de A et B et des opérations
élémentaires sur les ensembles.
Exercice 1.12. ⌥ Trouver toutes les partitions de {1, 2, 3}.
Exercice 1.13. ⌥ Représenter graphiquement et écrire en extension les ensembles
{0, 2} ◊ {1, 2, 3},
{0, 2} ◊ {1, 2, 3} \ {1, 2, 3} ◊ {0, 2} et ({0, 2} ◊ {1, 2, 3}) ({1, 2, 3} ◊ {0, 2}).
Exercice 1.14. W Représentation graphique d’ensembles de couples d’entiers.
Représenter graphiquement les ensembles suivants.
1. E = {(i, j) œ N2 , 1 Æ i Æ 12, 1 Æ j Æ 10, ≠4 < i + j < 12}.
2. F = {(i, j) œ N2 , 1 Æ i Æ 9, 1 Æ j Æ 7, ≠4 < i ≠ j < 11}.
Exercice 1.15. F
1. Représenter graphiquement les ensembles suivants.
(a) A1 = {(p, q) œ {0, ..., n}2 , p + q = n},
B1 = {(p, q) œ {1, ..., 10}2 , p ≠ q = 5},
C1 = {(p, q) œ {≠5, ..., 5}2 , p + q = 2}.
(b) A2 = {(p, q) œ {0, ..., n}2 , p + q Æ n},
B2 = {(p, q) œ {1, ..., 10}2 , p ≠ q Ø 5},
C2 = {(p, q) œ {≠5, ..., 5}2 , p + q Ø 2, p ≠ q Æ 1}.
(c) A3 = {(x, y) œ [0, 1]2 , x + y Æ 1},
B3 = {(x, y) œ [1, 5] ◊ [≠5, 5], |x ≠ y| Ø 5},
C3 = {(x, y) œ R2 , x + y Ø 2, x ≠ 2y Æ 1}.
2. Écrire les trois premiers ensembles sous forme paramétrique avec un seul paramètre.
10
CHAPITRE 1. ENSEMBLES
Chapitre 2
Applications
2.1
Définition
Soient E et F deux ensembles. Une application f de E dans F notée f : E æ F associe à chaque
élément de E un et un seul élément de F . E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée. Si
x œ E on note f (x) l’unique élément de F en relation avec x par f . On dit que f (x) est l’image de x, et
que x est un antécédent de y = f (x).
Remarque – La notion de fonction, telle qu’elle est définie plus haut, est une notion première. Or
nous avons dit que la seule notion première dans la construction mathématique est la notion d’ensemble.
Sauriez-vous définir la notion de fonction à l’aide des ensembles ?
On peut remarquer que la donnée de f : E æ F revient à la même chose que la donnée de son
graphe {(x, f (x)), x œ E} qui est une partie bien particulière du produit cartésien E ◊ F . Il suffit alors de
caractériser les parties de E ◊ F qui sont des graphes d’applications.
Notations – On écrit : f : E æ F ; x ‘æ y. Dans ce cas la variable y dépend de la variable libre x par
l’application f . On écrit aussi f : E æ F x æ
‘ f (x).
Exemple 2.1. Il arrive que f soit donnée par une formule (par exemple f1 : N æ N
deux formules f2 : Z æ Z définie par f2 (x) = x2 si x Ø 0, et f2 (x) = ≠x2 sinon.
x ‘æ x2 ), ou par
Bien entendu, lorsque les ensembles de départ et d’arrivée changent, l’application n’est plus la même.
Ainsi f3 : Z æ Z x ‘æ x2 est une application différente de l’application f1 .
Exemples – Les exemples qui suivent définissent des applications bien connues et les notations qui les
désignent sont largement admises par la communauté mathématique.
1. L’application identité d’un ensemble E, notée canoniquement IdE est l’application
IdE : E æ E,
x ‘æ x.
2. Si E est un ensemble et A une partie de E l’application indicatrice de A, est définie par
1A : E æ {0, 1}
11
x ‘æ
;
1
0
si x œ A
.
sinon
12
CHAPITRE 2. APPLICATIONS
3. Si E est un ensemble et a, b sont deux éléments de E, la transposition de a et b est l’application
tab : E æ E définie par
Y
_
]b si x = a,
tab (x) = a si x = b,
_
[
x si x œ
/ {a, b}.
Question 2.1. Un élément x de E peut-il posséder plusieurs images par f ? Un élément y de F possède-t-il
nécessairement un antécédent par f ? Peut-il en posséder plusieurs ?
L’ensemble des applications de E dans F – On note F E l’ensemble des applications de E dans F .
On a donc F E = {f, f : E æ F }.
2.2
Opération sur les applications
Egalité d’application – On dit que deux application f : E æ F et f Õ : E Õ æ F Õ sont égales si elles
ont même ensemble de départ et d’arrivée (E = E Õ et F = F Õ ) et si, pour tout x œ E, f (x) = f Õ (x).
Exemple 2.2. Soit E un ensemble et a, b des éléments de E. Montrer que tab = tba et que IdE = taa .
Restriction – Soit f : E æ F une application et A une partie non vide de E. La restriction de f à A,
notée f|A est l’application de A dans F qui à x œ A associe f (x) : f|A : A æ E x ‘æ f (x).
Exemple 2.3. On considère les applications f1 , f2 , f3 définies dans l’exemple 2.1. A-t-on f3 |N = f1 ?
A-t-on f2 |N = f1 |N ?
Corestriction – Soit f : E æ F une application et B une partie non vide de F . La corestriction de f
à B, notée f |B ne peut être définie que si f (E) µ B. C’est alors l’application de E dans B qui à x œ E
associe f (x) : f |B : E æ B x ‘æ f (x).
Exemple 2.4. On considère les applications de l’exemple 2.1. Montrer que f2 |N = f1 .
|N
Prolongement – Soit f : E æ F une application, E Õ un ensemble contenant E et F Õ un ensemble
|F
contenant F . Une application g : E Õ æ F Õ est un prolongement de f à E Õ , si l’on a g|E = f . Notons que
si A µ E µ E Õ , il y a une seule restriction de f à A mais de nombreux prolongements de f à E Õ .
Exemple 2.5. On considère les applications de l’exemple 2.1. Construire un prolongement de f1 de Z
dans Z qui soit différent de f2 et de f3 .
Composition d’applications – Soient E, F, G trois ensembles, et f : E æ F , g : F æ G. La composée
de f et de g est l’application g ¶ f : E æ G qui à tout x de E associe g ¶ f (x) = g(f (x)).
Proposition 2.1. (La composition d’application est associative). Soient E, F, G, H des ensembles et
f : E æ F , g : F æ G, h : G æ H des applications. Alors (h ¶ g) ¶ f = h ¶ (g ¶ f ).
Question 2.2. Soit E un ensemble possédant au moins 3 éléments distincts a, b, c. Déterminer tab ¶ tbc (c)
et tbc ¶ tab (c). La loi de composition de E E est-elle commutative ?
Montrer que pour toute application f : E æ E on a f ¶ IdE = IdE ¶ f = f .
2.3
Image directe, image réciproque
Soient E et F deux ensembles et f : E æ F . Soient A une partie de E et B une partie de F .
L’image directe de A par f notée f (A) est l’ensemble des images par f des éléments de A c’est-à-dire :
f (A) = {f (a), a œ A} = {y, il existe a œ A tel que y = f (a)}.
2.4. INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS
13
L’image réciproque de B par f notée f {≠1} (B) est l’ensemble des antécédents par f des éléments de
B:
f {≠1} (B) = {x œ E, f (x) œ B}.
Question 2.3. Si A possède un seul élément, f (A) peut-elle être vide ? Posséder deux éléments ou plus ?
Si A possède deux éléments, combien f (A) peut-elle posséder d’éléments ? Si B possède un seul élément,
f {≠1} (B) peut-elle être vide ? Posséder deux éléments ou plus ? f {≠1} peut-elle être vue comme une
application ? Si oui préciser son ensemble de départ et d’arrivée.
Proposition 2.2. F Soit f : E æ F une application
1. pour toutes parties A, B de E,
a. Si A µ B, alors f (A) µ f (B),
b. f (A fi B) = f (A) fi f (B),
2. pour toutes parties A, B de F ,
a. f {≠1} (A fi B) = f {≠1} (A) fi f {≠1} (B),
c. f {≠1} (Ac ) = (f {≠1} (A))c .
2.4
c. f (A fl B) µ f (A) fl f (B),
b. f {≠1} (A fl B) = f {≠1} (A) fl f {≠1} (B),
Injections, surjections, bijections
Soient E et F des ensembles et f : E æ F une application.
L’application f est une injection de E dans F (ou plus simplement une injection) si chaque image n’a
qu’un seul antécédent (autrement dit les éléments de l’ensemble d’arrivée F ont tous 0 ou 1 antécédent).
La définition que l’on retiendra, la plus pratique dans les démonstrations, est la suivant :
f : E æ F est injective si et seulement si, pour tout x, xÕ œ E, si f (x) = f (xÕ ) alors x = xÕ .
L’application f est une surjection de E sur F (ou plus simplement une surjection) si f (E) = F ,
autrement dit si chaque élément de l’ensemble d’arrivée F a au moins un antécédent. On retiendra comme
définition
f : E æ F est surjective si et seulement si, pour tout y œ F, il existe x œ E tel que f (x) = y.
L’application f est une bijection de E sur F (ou plus simplement une bijection) si elle est à la fois
injective et surjective. Autrement dit chaque élément y de F possède un et un seul antécédent.
Question 2.4. Soit f : E æ F une application. Que peut-on dire de la corestriction de f à f (E) ?
Qu’entend-on par “toute injection est bijective sur son image” ? Est-ce vrai ?
Proposition 2.3. F La composée de deux injections est injective. La composée de deux surjections est
surjective.
Proposition 2.4. F Soient E, F, G des ensembles, i : E æ F et s : F æ G des applications.
1. Si s ¶ i est surjective alors s est surjective.
2. Si s ¶ i est injective alors i est injective.
Théorème 2.5. F Une application f : E æ F est bijective si et seulement si il existe une application
g : F æ E telle que g ¶ f = IdE et f ¶ g = IdF .
De plus l’application g est unique ; c’est la bijection réciproque de f notée f ≠1 .
Nota Bene – Il faut bien distinguer f {≠1} (B) l’image réciproque d’une partie B de F , définie pour
toute application qu’elle soit ou non injective, surjective... et la bijection réciproque f ≠1 d’une applicationbijective f . Remarquons d’ailleurs que f ≠1 est une application de F dans E, alors que f {≠1} , qui
s’applique à des ensembles, peut être vue comme une application de P(F ) dans P(E). Dans ce cours, nous
utilisons deux notations distinctes car les deux objets sont bien totalement différents, mais en général la
notation f ≠1 (B) est aussi utilisée pour désigner l’ensemble f {≠1} (B).
14
CHAPITRE 2. APPLICATIONS
2.5
Exercices
Exercice 2.1. F On considère l’application f : Z ◊ Zú æ Z définie par f (p, q) = pq.
1. Déterminer f ({2, 4} ◊ {1, 2}). L’application f est-elle injective ?
2. Déterminer f {≠1} ({0}), f {≠1} ({2}). L’application f est-elle surjective ?
3. Démontrer que f ({2} ◊ Zú ) = 2Zú .
4. Démontrer que f (2Z ◊ 3Zú ) = 6Z.
Exercice 2.2. W Images directe et réciproque (d’une fonction de R dans R)
Soit f : R æ R , x ‘æ x2 . Tracer le graphe de f . Déterminer graphiquement les ensembles
1. f ([≠4, ≠1]) , f ([≠4, 2]) , f (] ≠ 2, 3[).
2. f {≠1} ({≠1}), f {≠1} ({0}), f ≠1 ({1}).
3. f {≠1} (] ≠ Œ, 3]) , f {≠1} ([≠2, +Œ[) , f {≠1} (] ≠ 2, 0] fi [1, 5[).
Exercice 2.3. W Fonction non-injective
Soit la fonction f : R2 æ R2 , (x, y) ‘æ (2x ≠ y, y 2 ). Montrer que cette fonction n’est pas injective.
Exercice 2.4. W Fonction non-surjective
Soit la fonction f : R2 æ R2 , (x, y) ‘æ (3 sin(x) + 1, x + y). Montrer que cette fonction n’est pas surjective.
Exercice 2.5. F
On considère les applications f et g définies par :
;
;
N2
≠æ
N
N
f:
et g :
(n, m) ‘≠æ m + n
n
1. L’application f est-elle injective ? surjective ?
≠æ
‘≠æ
N2
(n, n + 1)
2. L’application g est-elle injective ? surjective ?
3. On note P ={2n ; n œ N} l’ensemble des entiers naturels pairs et I ={2n + 1 ; n œ N} l’ensemble
des entiers naturels impairs. Démontrer que f (P ◊ P) = P.
4. Déterminer f (I ◊ I).
Exercice 2.6. F
On considère les applications f et g définies par :
;
;
2
[0, 1] ≠æ
[0, 1] ≠æ [0, 1]
f:
et g :
x
‘≠æ
(x, y) ‘≠æ xy
[0, 1]2
1
(x, x+1
)
1. L’application f est-elle injective ? surjective ?
2. L’application g est-elle injective ? surjective ?
Exercice 2.7. F On considère l’application f : E æ F définie par f (x) = x2 où E et F sont deux parties
de R.
Dans chacun des cas suivants f est-elle injective, surjective, bijective ?
Justifier votre réponse.
(a) E = F = N, (b) E = Z, F = N, (c) E = Q, F = R+ , (d) E = [≠1, 1] , F = [0, 1] et (e) E = F = R+ .
Exercice 2.8. Soit f : x ‘æ cos x. Choisir des ensembles A et B pour que f : A æ B soit
1. une application injective non surjective ?
2. une application surjective, non injective ?
3. une bijection ?
Exercice 2.9. W Fonctions indicatrices
E un ensemble.
I Pour toute partie A de E, on considère la fonction indicatrice de A définie par 1A : E æ
1 si x œ A
{0, 1}; x ‘æ
.
0 si x œ
/A
2.5. EXERCICES
15
1. Montrer que si E possède plus de deux éléments, 1A n’est pas injective. A quelle condition sur A
est-elle surjective ?
2. Montrer que, si pour tout x œ E, 1A (x) Æ 1B (x), alors A µ B. En déduire que 1A = 1B si et
seulement si A = B.
3. On munit {0, 1} des opérations arithmétiques + et ◊ définies dans l’exercice ??. Soient A et B
deux parties de E. Montrer que
(a) Pour tout x œ E 1AflB (x) = 1A (x)1B (x).
(b) Montrer que 1AfiB = 1A + 1B ≠ 1A 1B .
(c) Montrer que 1Ac = 1 ≠ 1A .
(d) Déterminer 1A\B à l’aide de 1A et 1B et refaire l’exercice 1.7.
4. (a) Déterminer 1A—B à l’aide de 1A et 1B .
(b) Refaire l’exercice 1.8.
5. On considère l’application
(a) L’application
: P(E) æ {0, 1}E , A ‘æ 1A .
est-elle bijective ? (On pourra utiliser le 2.)
(b) Traduire les propriétés des questions 3. et 4. à l’aide de
(Par exemple 3a. s’écrit (A fl B) = (A) (B).)
.
Exercice 2.10. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer s’il s’agit d’une bijection, si non indiquez
un contre-exemple à l’injectivité ou la surjectivité et si oui déterminer la bijection réciproque
1. Soit E un ensemble non vide, IdE : E æ E, x ‘æ x.
2. f1 : N æ N, n ‘æ n + 1,
2
2
f2 : Z æ Z, n ‘æ n + 1.
3. g1 : R æ R , (x, y) ‘æ (x + y, x ≠ y),
g2 : R2 æ R3 , (x, y) ‘æ (x + y, x ≠ y, x + 2y),
g3 : R2 æ R2 , (x, y) ‘æ (2x + 4y, x + 2y).
4. h : R2 æ R ◊ [0, +Œ), (x, y) ‘æ (x + y 2 , y 2 ).
5. „ :]0, +Œ) ◊ [0, 2fi[æ Cú , (r, ◊) ‘æ rei◊ .
Exercice 2.11. Soit E, F deux ensembles et f une application de E dans F . Montrer que
1. pour toutes parties A, B de E, et pour tout ensemble {Ai , i œ I}, de parties de E,
(a) f (A fi B) = f (A) fi f (B),
(b) f (A fl B) µ f (A) fl f (B),
(c) f (fliœI Ai ) µ fliœI f (Ai )
2. pour toutes parties A, B de F , et pour tout ensemble {Bi , i œ I}, de parties de F ,
(a) f {≠1} (A fi B) = f {≠1} (A) fi f {≠1} (B),
(b) f {≠1} (A fl B) = f {≠1} (A) fl f {≠1} (B),
(c) f {≠1} (fliœI Bi ) = fliœI f {≠1} (Bi ).
3. soit A une partie de E et B une partie de F .
(a) Comparer A et f {≠1} (f (A)). Comparer à nouveau lorsque f est injective.
En déduire une caractérisation de l’injectivité.
(b) Comparer B et f (f {≠1} (B)). Comparer à nouveau lorsque f est surjective.
En déduire une caractérisation de la surjectivité.
#
$c
c
(c) Comparer f (Ac ) et [f (A)] , f {≠1} (B c ) et f {≠1} (B) . Y-a-t-il des hypothèses sur f qui permettent d’avoir des cas d’inclusion ou d’égalité ?
Exercice 2.12. F Soit i : E æ F et s : F æ G deux applications. Démontrer que :
1. Si s ¶ i est injective alors i est injective.
2. Si s ¶ i est surjective alors s est surjective.
3. Si s ¶ i est injective et i surjective alors s est injective.
4. Si s ¶ i est surjective et s est injective alors i est surjective.
16
CHAPITRE 2. APPLICATIONS
5. Soit f : E æ E une application. Que peut on dire de f si elle vérifie f ¶ f = IdE ?
Exercice 2.13. F
1. On considère l’application Ï : N æ Z définie par Ï(n) =
Montrer que Ï est bijective.
n
2
si n est pair et Ï(n) = ≠ n+1
sinon.
2
2. On considère l’application f : N ◊ Zú æ Zú définie par f (p, n) = 2p (2n + 1) pour (p, n) dans N ◊ Zú .
Montrer que f est bijective.
Exercice 2.14. Soient f et g les deux applications ainsi définies :
f : N ◊ Zú
(p, q)
≠æ
‘≠æ
Q
r=
p
q
et g : Q
r
≠æ
‘≠æ
N ◊ Zú
(p, q) avec r =
p
q
fraction irréductible.
f et g sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?
Exercice 2.15. A l’aide des deux exercices précédents construire une surjection de N sur Q.
Exercice 2.16. Soit n œ Nú . On reprend les notations de l’exercice ?? du chapitre 1. On note „n
l’application Z æ Zn définie pour tout a œ Z par „n (a) = r̄ où r est le reste de la division euclidienne de
a par n.
1. Montrer que „n est surjective.
2. Montrer que pour pour tout a, b œ Z on a „n (a + b) = „n (a) + „n (b).
3. Montrer que „n
{≠1}
({0}) = nZ. (Rappel : nZ = {nk, k œ Z}.)
4. Montrer que n est pair ssi „2 (n) = 0.
A propos des mathématiques
Nature ?
Le livre de la Nature est écrit en langage
mathématique – Galileo Galilei
Langage ?
Le livre de la Nature n’est pas écrit en langage mathématique, c’est plutôt le langage
mathématique qui est le seul qui nous permette de décrire la nature logiquement. –
Ingrid Daubechies
Imagination
L’imagination est plus importante que la
connaissance. – Albert Einstein
Abstraction...
Les mathématiques sont un outil parfaitement adapté pour traiter de tout concept
abstrait, et elles ne connaissent aucune limite dans ce domaine. – Paul Dirac
Compréhension ?
En mathématiques, on ne comprend pas les
choses, on s’y habitue – John Von Neumann
Pour l’honneur de l’esprit humain ...
. . . Monsieur Fourier avait l’opinion que
le but principal des mathématiques était
l’utilité publique et l’explication des phénomènes naturels. Un philosophe tel que
lui aurait dû savoir que le but unique de
la Science, c’est l’honneur de l’esprit humain et que, sous ce titre, une question de
nombres vaut bien une question de système
du monde. – Gustav Jacobi
Ordonner
Le savant doit ordonner ; on fait la Science
avec des faits comme une maison avec des
pierres ; mais une accumulation de faits
n’est pas plus une science qu’un tas de
pierres n’est une maison. – Henri Poincaré
Utilité ?
... une bonne partie des mathématiques devenues utiles se sont développées sans aucun désir d’être utiles, dans une situation
où personne ne pouvait savoir dans quels
domaines elles deviendraient utiles. Il n’y
avait aucune indication générale qu’elles le
seraient. C’est vrai de toute la science. –
John Von Neumann
Cuisine
La science a eu de merveilleuses applications, mais la science qui n’aurait en vue
que les applications ne serait plus de la
science, elle ne serait plus que de la cuisine. – Henri Poincaré
Machines ?
Le danger réel n’est pas que les ordinateurs
commencent à penser comme les humains,
mais que les humains commencent à penser comme des ordinateurs. – Sydney Harris
Machine
Soit les mathématiques sont trop grandes
pour l’esprit humain, soit l’esprit humain
est plus qu’une machine. – Kurt G´’odel
Art
Les meilleurs travaux des mathématiciens
sont de l’art, un art très perfectionné, défiant les rêves les plus secrets de l’imagination, clairs et limpides. Le génie mathématique et le génie artistique se touchent
l’un l’autre. – G´’osta Mittag-Leffler
Définition
En mathématiques, les noms sont arbitraires. Libre à chacun d’appeler un opérateur auto-adjoint un “éléphant” et une
décomposition spectrale une “trompe”. On
peut alors démontrer un théorème suivant
lequel “tout éléphant a une trompe”. On n’a
pas le droit de laisser croire que ce résultat
a quelque chose à voir avec de gros animaux gris. – Gerald Sussman
Problèmes
Si la logique est l’hygiène du mathématicien, ce n’est pas elle qui lui fournit sa
nourriture ; le pain quotidien dont il vit, ce
sont les grands problèmes. – André Weil
Bonheur
Si je suis malheureux, je fais des mathématiques pour devenir heureux.
Si je suis heureux, je fais des mathématiques pour le rester. – Alfred Rényi
17
18
CHAPITRE 2. APPLICATIONS
Bref historique de la naissance des mathématiques
La démonstration mathématique est sans doute au contact de la géométrie (qui
signifie étymologiquement “mesurer la terre”). Elle est apparue pour la première fois en
Grèce antique et constitute un des apports majeurs de cette civilisation. Thalès (624–546
avant JC) démontre quelques théorèmes géométriques. Eudoxe (408–55 avant JC) et Théétète
d’Athènes (417–369 avant JC) énoncent des théorèmes sans les démontrer. Aristote (384–322
avant JC) précise la notion de définition : les objets doivent être définis à partir de notions
elles-mêmes bien définies en remontant ainsi jusqu’à quelques notions premières.
La notion de démonstration mathématique est vraiment née avec les Éléments d’Euclide (300 avant JC). C’est lui qui a introduit la méthode axiomatique, toujours utilisée
aujourd’hui. Les notions premières qu’il utilise sont : les points, les droites, et la relation un
point p appartient à la droite . Puis il définit les axiomes (en Grec “axios” signifie “quelque
chose de valable”), au nombre de cinq. Toutes les propositions et théorèmes en découlent par
implication logique. Les Élèments d’Euclide se devait d’être lus par toute personne éduquée
jusqu’à la moitié du XXè siècle. En plus des théorèmes classiques de la géométrie, comme le
théorème
de Pythagore, on trouve, dans les Éléments une preuve de la nature irrationnelle
Ô
de 2 et la preuve qu’il y a une infinité de nombres premiers.
Une autre source des mathématiques provient de l’école indienne qui nous a donné
notamment le système de chiffre décimal (en particulier le zéro comme chiffre et comme
nombre) et qui fut la première à appréhender l’infini.
C’est à l’Islam médiéval que l’on doit ensuite les nouvelles avancées en mathématiques. Les démonstrations précédentes données par les Grecs sont largement géométriques.
L’arithmétique et l’algèbre que les mathématiciens de l’Islam médiéval ont développées, permettent des démonstrations plus générales et s’affranchissent du cadre géométrique parfois
contraignant. On peut citer entre autre Abu Ja’far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi (780
– 850) reconnu comme le père de l’algèbre mais aussi de l’algorithmique.
La production mathématique est considérable et en croissance constante. Sur le site “arXiv.org” on
recense environ 20 000 dépôts d’article rien qu’en 2012 ! Bien sûr, tous ces articles ne seront pas forcément
publiés dans des revues avec commité de lecture, mais le chiffre est impressionnant.
Que trouve-t-on dans un article de mathématiques ? Au niveau du fond, nous ne nous hasarderons
pas à définir plus précisément le contenu. La forme de l’article, elle, est plus facile à décrire. Un article
commence par une introduction qui situe la problématique abordée, puis un rappel des définitions et des
résultats déjà connus, des exemples, puis des propositions, des lemmes, un ou plusieurs théorèmes, parfois
quelques corollaires, puis bien sûr les démonstrations. L’article se conclut par une bibliographie.
2.5. EXERCICES
19
Petit Lexique
Théorème :
Un théorème est un énoncé mathématique important qui a été démontré à
partir des axiomes, d’autres propositions mathématiques déjà démontrées, en utilisant les règles
de déduction logique. La démonstration du théorème établie sa vérité. Comme la plupart des
théorèmes s’énoncent comme une implication :“Si les hypothèses sont vérifiées, alors les conclusions
sont vraies”, la démonstration permet de déduire les conclusions à partir des hypothèses. Dès lors
le théorème constitue une assertion logique : il est toujours vrai.
Bien qu’un théorème puisse toujours s’écrire en langage formel, par exemple dans le langage
du calcul des propositions ou du calcul des prédicats, les théorèmes se formulent souvent en français
courant.
Les théorèmes se situent au coeur de la construction mathématique et leur esthétique
est très importante. Ils sont décrits comme “trivials”, “difficiles”, “profonds” ou “beaux”. Ces
jugements subjectifs ne varient pas seulement suivant la personne, mais aussi au cours du temps.
Ainsi, une démonstration peut être simplifiée, mieux comprise et un théorème jugé difficile devient
facile. D’autre part, un théorème profond peut s’exprimer simplement, mais sa démonstration peut
nécessiciter des interactions subtiles entre différents domaines des mathématiques.
Démonstration :
On appelle démonstration mathématique une suite déductive qui permet
de démontrer une proposition qui s’écrit généralemnt sous la forme “Si A, alors B” La partie A de
l’énoncé s’appelle les hypothèses de la proposition et B les conclusions.
Au cours de la démonstration on peut utiliser des résultats déjà démontrés comme des théorèmes. En principe, on peut remonter les arguments jusqu’aux arguments de base appelés axiomes.
Les démonstrations mathématiques sont déductives, et en ce sens se distinguent des preuves empiriques (c’est-à-dire par généralisation à partir d’exemples). La démonstration d’une affirmation
doit montrer qu’elle est toujours vraie. Un seul contre-exemple permet de l’invalider.
Toutefois, en pratique, ces arguments ne sont pas totalement formalisés, et restent en parti
informels, et s’adaptent à l’auditoire qu’ils visent à convaincre. Ils peuvent bien sûr être facilement
transformés en arguments complètement formalisés, ce qui les rendraient bien plus difficilement
compréhensibles et bien moins facile à vérifier (sauf pour un cyborgue). De plus, de nombreux
mathématiciens préfèrent souvent les démonstrations qui, en plus de démontrer le théorème, expliquent d’une manière ou d’une autre pourquoi il est vrai.
Assertion :
Du latin adsertio, de adserere, affirmer. Statut d’une phrase dans laquelle le
sujet parlant énonce une vérité, déclare un fait (par opposition à l’interrogation, à l’exclamation, à
l’injonction). En logique, une assertion est une phrase considérée comme vraie, mais pas forcément
démontrée.
Axiome :
Il s’agit d’une assertion première, accéptée sans démonstration et considérée comme
fondamentale. Historiquement ces assertions étaient considérées comme évidente, mais aujourd’hui
elles sont plutôt considérées comme des assertions qui caractérisent le sujet d’étude.
Définition :
Une définition est également accéptée sans démonstration, puisqu’elle donne
simplement la signification d’un terme à l’aide de concepts connus. La nouvelle notion doit toutefois
être définie sans ambig´’uité. De définitions en définitions on remonte ainsi jusqu’à des notions
premières. Dans la reconstruction des mathématiques qui a été faite au cours du XXè siècle, la
notion première est celle d’ensembles.
Proposition (mathématique) :
C’est le terme utilisé pour qualifier une assertion mathématique démontrée, mais qui n’a pas l’importance d’un théorème.
Proposition (logique) :
c’est une phrase qui ne peut être que vraie ou fausse.
Lemme :
C’est une proposition technique, parfois difficile, mais qui n’a pas d’autre d’application que de permettre la démonstration d’un théorème.
Il arrive qu’avec le temps, ce qui semblait un résultat intermédiaire apparaisse comme une proposition fondamentale et devienne un théorème. Cependant, pour des raisons historiques, le nom de
lemme lui reste accolé. On peut citer ainsi le lemme de Gauss.
20
CHAPITRE 2. APPLICATIONS
Corollaire :
C’est une proposition qui découle clairement (donc sans démonstration ou
presque) d’un théorème établi.
Conjecture :
Il s’agit d’une assertion non démontrée, et que les mathématiciens cherchent
à démontrer. Poser une conjecture est un processus fondamental dans les mathématiques telles
qu’elles se font.
Les conjectures les plus célèbres qui ont étés démontrées récemment sont, sans doute, le grand
théorème de Fermat et la conjecture de Poincaré.
- Pierre de Fermat (né vers 1600, mort en 1665) indique en marge d’une traduction de l’arithmétique de Diophante que l’équation xn + y n = z n n’a pas de solutions entières pour n Ø 3,
mais que la marge est trop petite pour en contenir la démonstration. Après 350 ans de
fiévreuses recherches n’aboutissant au mieux qu’à des résultats partiels, la démonstration
a été donnée par Wiles en 1994. Publiée en 1995, elle fait près de 110 pages et utilise des
théories complexes tel l’algèbre modulaire, inventés dans la deuxième moitié du XXè.
- ou encore le théorème de Perelman-Poincaré (conjecturé par Poincaré en 1904 , démontré
par Perelman en 2003). La conjecture de Poincaré est plus difficile à appréhender. Elle
caractérise toutes les surfaces pouvant être transformées par des déformations continues (qui
ne déchirent ni ne recollent la surface) en l’hypersphère de dimension 3 : “Soit une variété
compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à
une hypersphère de dimension 3.”
En 2000, le Clay Mathematical Institute à repris sept défis mathématiques réputés
insurmontables et a proposé un prix d’un million de dollars pour chacun d’eux. Ce sont
les 7 prix du millénaire. La conjecture de Poincaré était l’un d’eux. Perelman (né à Saint
Petresbourg en 1966) poste sur arXiv en 2002 une série de trois articles qui en donne la
preuve. Il n’a jamais fait publié ses articles dans des revues et a refusé tous les prix qui lui
ont été décernés.
Chapitre 3
Logique classique et démonstrations
mathématiques
Logique (gr. ⁄o“oÎ, logos, intelligence, parole, pensée). Selon la définition classique c’est la science
de la formulation claire et juste de la pensée, des règles correctes de déduction et de la production de
preuves. Vue sous cet angle, la logique et la rhétorique constituent un segment de la philosophie. La logique
contemporaine, grâce à sa méthode formelle, a très largement étendu son champ, notamment à travers
son interaction avec les mathématiques, son application à la théorie des preuves et à l’informatique.
La logique classique, aussi appelée logique élémentaire ou calcul de logique classique, est le système
formel constitué du calcul des propositions et du calcul des prédicats (ou des quantificateurs). Ce calcul
porte sur des phrases logiques, c’est à dire des phrases qui ne peuvent être que vraies ou fausses. La
logique classique est en ce sens sans nuances, elle n’a que deux valeurs de vérité possible, on dit qu’elle est
bimodale et obéit au principe du tiers exclu (à la différence de certaines logiques multimodales développées
à partir du XXè siècle).
Dans le calcul des propositions, les phrases, ou propositions, sont représentées par des inconnues (souvent notée à l’aide des lettres : p, q, r...). A l’aide des connecteurs logiques “et”, “ou”, “non”, “implique”, on
construit des propositions complexes, encore appelées formules logiques. L’un des buts essentiel du calcul
de la logique est d’obtenir des méthodes permettant de déterminer la valeur de vérité de l’énoncé complexe
en fonction de celles des propositions qui la composent. Le but ultime est d’obtenir et de démontrer des
assertions, c’est à dire des propositions toujours vraies.
Dans le calcul des prédicats, les constituants élémentaires des phrases sont les prédicats, c’est-à-dire
des propositions p(x), q(x, y)... dépendantes de variables x, y, ..., ces variables étant quantifiées à l’aide des
quantificateurs existentiels ÷ et universels ’. On écrit ainsi des formules logiques complexes en utilisant
les quantificateurs, les prédicats et les connecteurs logiques. Le premier objectif est d’abord de savoir sous
quelles conditions la formule complexe est une proposition, puis de décrire toutes les propositions qui sont
toujours vraies, c’est-à-dire qui constituent des assertions. La première étape est résolue en regardant la
formule logique et en vérifiant qu’elle est bien écrite. C’est la question de la syntaxe, ou l’aspect syntaxique
de la logique qui est alors en question. On aborde ensuite la question du sens, qui en logique se résume à
la question “la proposition est-elle vraie ou fausse ?”.
Ces deux questions trouvent leur analogue en informatique. En effet lorsqu’on écrit un programme
deux questions se posent. D’abord, le programme va-il tourner ? (un bon compilateur qui vérifie la syntaxe permet d’aider dans la résolution de ce genre de problème). Ensuite, le programme, lorsqu’il tourne,
répond-il bien aux attentes ? Cette question correspond à l’aspect sémantique de la logique. C’est d’ailleurs
les preuves de programme qui apportent une réponse complètement satisfaisante à cette question fondamentale pour la sécurité.
La logique classique permet aussi de clarifier la structure des démonstrations. En effet, chaque assertion
logique correspond à un raisonnement déductif parfaitement infaillible, ainsi l’un des buts de la logique
21
22
CHAPITRE 3. LOGIQUE CLASSIQUE ET DÉMONSTRATIONS MATHÉMATIQUES
classique est également de décrire tous les raisonnements déductifs incontestables.
La logique classique contient donc toutes les lois élémentaires de raisonnement découvertes depuis
l’antiquité ainsi que des lois plus récentes concernant les quantificateurs. Ce calcul est suffisant pour
décrire tous les raisonnements utilisés en mathématiques et tous les raisonnements déductifs. En tant que
tel, il forme un domaine fermé de la logique.
Mais comment en logique démontre-t-on une proposition complexe ? Il existe deux méthodes. La première est dite sémantique. Une proposition peut être vue comme une fonction à valeurs dans l’ensemble
booléen {faux, vrai} ou {0, 1}. Ainsi la valeur d’une proposition complexe peut être calculée en fonction
des valeurs des propositions élémentaires qui la composent. Ce calcul peut se faire à l’aide de table de
vérité. Toutefois, la méthode sémantique atteint rapidement ses limites en pratique. Il faut en effet pouvoir
énumérer toutes les interprétations, or elles sont en nombre exponentiel des propositions élémentaires.
La deuxième méthode consiste à se donner un certain nombre de règles de déduction, et à valider
les formules qui peuvent être déduites à partir d’elles. C’est la méthode déductive. Elle correspond aux
démonstrations mathématiques. Fort heureusement les formules qui sont possibles à démontrer par l’une
des méthode le sont aussi par l’autre, et vice-versa. Ces résultats sont démontrés mais ils dépassent le
cadre du cours. Nous nous contenterons d’utiliser la méthode sémantique pour préciser la signification des
connecteurs logiques “non”, “ou”, “et”, “ =∆ ”. Puis nous passerons rapidement à la méthode déductive.
3.1
Connecteurs logiques et calcul des propositions
La négation – La négation de l’assertion A est l’assertion non A qui est fausse quand A est vraie et
vraie sinon. Ceci se résume par la table de vérité suivante
0
1
A
non A
1
0
Proposition 3.1. L’assertion non(non(A)) a la même vérité que A.
La conjonction – A et B est vraie dans le cas ou A et B sont toutes les deux vraies. Elle est fausse
dans le cas contraire.
A
B
A et B
0
0
0
0 1
1 0
0 0
1
1
1
Proposition 3.2. - L’assertion “A et B” a la même vérité que “B et A” (commutativité) ;
- L’assertion “A et (B et C)” a la même vérité que “(A et B) et C” (associativité).
La disjonction – A ou B est fausse dans le cas
des deux, ou les deux sont vraies.
A
B
A ou B
ou A et B sont tous deux fausses. Elle est vraie si l’un
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Proposition 3.3. - L’assertion “non(A et B)” a la même vérité que “non(A) ou non(B)” ;
- L’assertion “non(A ou B)” a la même vérité que “non(A) et non(B)”.
Corollaire 3.4. - L’assertion “A ou B” a la même vérité que “B ou A” (commutativité) ;
- L’assertion “A ou (B ou C)” a la même vérité que “(A ou B) ou C” (associativité).
Proposition 3.5. (distributivité)
- L’assertion “A ou (B et C)” a la même vérité que “(A ou B) et (A ou C)” ;
- L’assertion “A et (B ou C)” a la même vérité que “(A et B) ou (A et C)”.
3.1. CONNECTEURS LOGIQUES ET CALCUL DES PROPOSITIONS
23
L’implication – “A =∆ B”, se lit “si A, alors B” ou bien “A implique B” ou encore “pour B, il suffit
A”, “pour A, il faut B”, autrement dit “A est vraie est une condition suffisante pour que B soit vraie” ou
“B est vraie est une condition nécessaire pour que A soit vraie”.
L’implication “A =∆ B” n’est fausse que dans le cas où “A et nonB” est vraie. Sa table de vérité
est donc la suivante
A
B
A =∆ B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Proposition 3.6. “A =∆ B” a la même vérité que “nonA ou B”.
Remarque 3.1.
— L’implication logique n’est pas commutative, ni associative. En particulier la
formule “(A =∆ B =∆ C)” n’a a priori pas de sens ; elle pourrait signifier (A =∆ B) =∆ C
ou A =∆ (B =∆ C).
— Attention, l’implication logique est assez loin de ce qu’on entend par “implication” dans le quotidien.
En particulier ce n’est pas la relation de causalité.
La négation de l’implication “A =∆ B” est “A et nonB”.
La réciproque de l’implication “A =∆ B” est “B =∆ A”, leurs vérités sont indépendantes.
La contraposée de l’implication “A =∆ B” est “nonB =∆ nonA”, ces deux propositions ont même
vérité.
Proposition 3.7. - “A =∆ (B et C)” a même vérité que “(A =∆ B) et (A =∆ C)” ,
- “(A ou B) =∆ C” a même vérité que “(A =∆ C) et (B =∆ C)” ,
- “A =∆ (B ou C)” a même vérité que “(A et non(B)) =∆ C”.
L’équivalence – “A ≈∆ B”, se lit “A est équivalent à B” ou bien “A si et seulement si B” ou encore
“A est une condition nécessaire et suffisante pour B”, elle à même vérité que “(A =∆ B) et (B =∆ A)”.
Question 3.1.
— Quelle est la table de vérité de l’équivalence ?
— L’équivalence est-elle associative ?
— Est-ce-que “(A ≈∆ B) ≈∆ C” a la même vérité que “(A ≈∆ B) et (B ≈∆ C)” ?
— Qu’entend-on en pratique lorsqu’on écrit une suite d’équivalence (pour résoudre un système par
exemple) ?
3.1.1
Quelques règles de déduction
Dans ce paragraphe, nous énonçons quelques assertions, qui sont les règles de déductions le plus souvent
utilisées dans les démonstrations mathématiques déductives. Ces assertions peuvent soit être démontrées
à partir des tables de vérité (calcul sémantique et ce sont alors des théorèmes), soit être admises comme
axiomes.
Tiers-exclu :
A ou (non A).
Modus ponens :
Contraposée :
Si A et si (A =∆ B), alors B.
Si (non B =∆ nonA), alors (A =∆ B).
Déduction de l’absurde :
3.1.2
Et plus généralement,
Si ((A et nonB) =∆ (R et nonR)), alors (A =∆ B).
Comment réinvestir tout ceci dans les démonstrations mathématiques ?
On veut utiliser A =∆ B pour montrer B. Au cours de la rédaction, on vérifie les hypothèses A,
on dit que A =∆ B est un théorème, et on en déduit B.
24
CHAPITRE 3. LOGIQUE CLASSIQUE ET DÉMONSTRATIONS MATHÉMATIQUES
On veut montrer l’implication “A =∆ B”. Les méthodes utilisées le plus couramment sont
— la méthode directe : On suppose A, [on raisonne ... et on déduit] donc B. Conclusion : on a
A =∆ B.
— par contraposition : On suppose non B, [on raisonne ... et on déduit] donc non A . On conclut
que, par contraposée, on a A =∆ B.
— par l’absurde : On suppose, par l’absurde, A et nonB, on en déduit deux propositions R et nonR :
contradiction. On en conclue que l’on a A =∆ B.
Démonstration d’implications logique plus complexes. On peut adapater ce qui précède pour
avoir une idée de la manière dont on démontre par exemple la proposition ((A et B) =∆ C). Ecrire ce
qu’on peut appeler un “algorithme de démonstration” permet d’avancer dans l’analyse du point de maths
qu’il faut vraiment démontrer. Ainsi, en déroulant par écrit la méthode choisie pour la démonstration, on
se rapproche aussi de notre objectif.
Par exemple, on veut montrer la proposition (F) : ((A et B) =∆ C). On écrit :
Démonstration. On suppose A et B, montrons C ....[on fait des raisonnements divers mais justes... et on
conclut] donc C. Ainsi, la proposition (F) est démontrée. ⇤
Démonstration d’une alternative. La démonstration d’une alternative (A =∆ (B ou C)) déroge
un peu à cette règle générale. Car une fois que l’on a supposé A, que diable voulons nous démontrer, B ou
C ? Pour ne pas se retouver dans l’incapacité d’avancer devant ce choix, il peut être pratique de supposer
(A et non B) et, en raisonnant d’en déduire C. On en conclut (d’après la Proposition 3.7) que A =∆ (B
ou C).
CQFD - et la démonstration est achevée.
CQFD, également écrit C.Q.F.D. ou c.q.f.d., est l’abréviation de “ce qu’il fallait démontrer”. Elle se
place à la fin d’une démonstration mathématique pour indiquer que le résultat attendu a été démontré.
L’expression équivalente en latin est QED, “quod erat demonstrandum”.
Toutefois, les abréviations CQFD et QED sont largement délaissées dans la littérature mathématique.
Les auteurs préfèrent l’utilisation de symboles pour marquer la fin des démonstrations, nous utiliserons
les carrés ⇤ à cette fin.
3.2
Quantificateurs et calcul des prédicats
Prédicats – A la différence des propositions logiques qui sont soient vraies, soit fausses, les prédicats
sont des phrases logiques dépendantes d’une ou plusieurs variables x, y.... Cette ou ces variables fixées, on
obtient une proposition logique.
Par exemple “x est blond”, “y porte un chapeau”, “x Ø 0”, “x Ø y”, “x a le numéro de téléphone de
y”. On les note P (x), Q(x, y)...
Syntaxe :
1. Si “P (x)” est un prédicat portant sur la variable x, “(nonP (x))” est un prédicat portant sur x.
2. Si “P (x)” et “Q(y)” sont des prédicats portant sur des variables x, y, et si ⇤ est la conjonction, la
disjonction ou l’implication logique, alors “P (x) ⇤ Q(y)” est une formule logique valide, c’est un
prédicat portant sur les variables x et y.
Quantificateurs – En grammaire le quantificateur est un mot qui exprime une quantité : un peu,
beaucoup, de nombreux, presque tous, aucun... Il existe donc de nombreuses nuances et parfois des zones
de flou.
En logique classique, il n’existe que deux quantificateurs. Le quantificateur existentiel ÷ qui se lit “il
existe au moins un” et le quantificateur universel ’ qui se lit “pour tout”. Ce ne sont pas des abréviations.
Leur utilisation est soumise à des règles très strictes. Leur usage est réservé avant tout aux définitions,
celles-ci ne pouvant tolérer aucune d’ambigu´’ıté. On en trouve aussi parfois, bien que rarement, dans
3.2. QUANTIFICATEURS ET CALCUL DES PRÉDICATS
25
des énoncés de propositions et théorèmes. Les quantificateurs n’ont leur place que dans des formules
symboliques, et pas au milieu des phrases écrites en français ; notons qu’une démonstration écrite pour
être lue par des humains ne doit pas se réduire à une suite de formules. . .
Ces quantificateurs portent sur des variables x, y, ... et sont suivies par des prédicats portant sur les
mêmes variables...
Syntaxe :
1. Si p(x) est un prédicat portant sur la variable x, (’x, p(x)) est une formule valide et (÷x, p(x))
aussi. Ce ne sont plus des prédicats portant sur x, mais de simples propositions logiques. On dit
que ces formules sont fermées. Ainsi, les quantifiateurs lient la variable sur laquelle ils portent :
dans la formule logique “(’x, p(x))” la variable x est liée. On dit aussi dans ce cas que la variable
x est muette, ce qui se comprend par le fait que “(’x, p(x))” a exactement la même signification
que “(’y, p(y))”
2. Souvent, si E est un ensemble, on écrit “’x œ E, p(x)”, qui est une manière concise d’écrire
“’x, (x œ E =∆ p(x))”. Lorsque cette proposition est vraie et si x œ E, on est alors assuré d’avoir
p(x).
Variables libres (parlantes), variables liées (muettes) – Considérons le prédicat suivant :
P1 : ’x œ A, x Ø 3.
Ce prédicat fait intervenir deux variables (x et A). La variable x, liée par le quantificateur ’x, peut être
remplacée par n’importe quelle autre variable sans changer le sens de l’expression : on pourrait tout aussi
bien écrire
P2 : ’y œ A, y Ø 3,
et, suivant la valeur de A, P1 et P2 seront soit vraies toutes les deux soit fausses toutes les deux.
En revanche la variable A est libre : suivant la façon dont A est choisi P1 peut être vraie ou fausse.
De même, dans l’expression {n, n œ N, n Æ 5}, la variable n désigne un élément quelconque, et la
notation {m, m œ N, m Æ 5} désigne exactement le même ensemble : l’ensemble des entiers naturels plus
petits (au sens large) que 5. Dans cette expression en français, n n’intervient pas, c’est pour cela que l’on
dit que la variable est muette.
On l’a vu, les symboles ’x, ÷x, {x, ...}, fii ont pour effet de lier la variable sur laquelle ils portent, ou de
s1
qn
la rendre muette. C’est aussi le cas des opérateurs de sommation k=1 ak , 0 f (x)dx, ou de limxæa f (x).
Négation – La négation de “’x P (x)” est “÷x non P (x)”. Par conséquent, la négation de “÷x P (x)” est
“’x non P (x)”.
La négation de “’x œ E, P (x)” est “÷x œ E, nonP (x)”. La négation de “÷x œ E, P (x)” est “’x œ E, non
P (x)”.
On pourrait donc n’utiliser qu’un seul quantificateur, par exemple ’, puisque “÷x P (x)” a la même
signification que “non(’x non P (x))”. Cependant, cela ne simplifierait pas la compréhension du texte !
Conjonction – La proposition logique “(’x P (x)) et (’x Q(x))” est équivalente à “’x (P (x) et Q(x))”.
Attention toutefois car “((÷x P (x)) et (÷x Q(x)))” est équivalent à “÷x ÷xÕ (P (x) et Q(xÕ ))” et non à
“÷x (P (x) et Q(x))”
Pour s’en convaincre, considérer les proposition “P (x) : x joue bien au foot” et “Q(x) : x est bon en
méthodologie des mathématiques”
Disjonction – “(’x P (x)) ou (’x Q(x))” n’est pas équivalent à “’x (P (x) ou Q(x))”, mais à “(’x,
f orallxÕ P (x) ou P (xÕ ))”.
“(÷x P (x)) ou (÷x Q(x))” est équivalent à “÷x (P (x) ou Q(x))”.
Commutativité des quantificateurs lorsque ceux sont les mêmes – La proposition “’x ’y p(x, y)”
a la même signification que “’y ’x p(x, y)”. On écrit parfois, par économie, “’x, y, p(x, y)”.
26
CHAPITRE 3. LOGIQUE CLASSIQUE ET DÉMONSTRATIONS MATHÉMATIQUES
Non-commutativité des quantificateurs différents – Attention, lorsqu’on écrit plusieurs quantificateurs à la suite les uns des autres, ceux qui viennent en n-ième position dépendent de ceux qui les
précèdent. Changer leur position change complètement le sens de la formule.
Pour s’en convaincre, considérer, par exemple, le prédicat P (x, y) :“x a le numéro de téléphone de y”,
puis interprétrer les propositions suivantes :
(p1 ) ’x ’y P (x, y)
(p2 ) ’x ÷y P (x, y)
(p3 ) ÷y ’x P (x, y)
(p4 ) ÷y ’x P (y, x)
Un exemple – La notion de continuité d’une fonction f : R æ R en a œ R est fondamentale en analyse.
Cette définition s’énonce formellement de la manière suivante :
’Á œ]0, Œ[ ÷– œ R ’x œ R (|x ≠ a| Æ – =∆ |f (x) ≠ f (a)| Æ Á) .
Comment écrit-on formellement que f n’est pas continue en a ?
3.2.1
Comment réinvestir tout ceci dans les démonstrations mathématiques ?
Tout comme le calcul des propositions, dont il est une extension, le calcul des prédicats donne au mathématicien un algorithme de preuve. Toutefois, il est rare que la question d’un exercice soit textuellement
la phrase :
Montrer que ’a œ R, ’Á œ]0, Œ[, ÷– œ R, ’x œ R, (|x ≠ a| Æ – =∆ |f (x) ≠ f (a)| Æ Á) .
On vous demandera plutôt de montrer que f est continue sur R, la formule logique ci-dessus étant précisément la définition de la continuité de f sur R.
Il est donc absolument fondamental de connaître parfaitement les définitions formelles.
Question 3.2. Réecrire en les formalisant à l’aide des quantificateurs et des connecteurs logiques, les
notions d’inclusion et d’égalité d’ensembles, d’union et d’intersection de familles d’ensembles, d’injection,
de surjection.
Ainsi on peut vous demander de montrer une propriété p dont la définition s’écrie formellement
“’x, P (x)”. Pour démontrer p on écrit :
ù Soit x [c’est à dire que l’on fait parler x] ..... [on raisonne, et le but est d’arriver à montrer].... donc
P (x).ù
[On conclut en disant :] On a donc montré (’x, P (x)), donc p.
Si la propriété q à démontrer a pour définition formelle “÷x, Q(x)”, la démonstration demande souvent
plus d’initiatives. En effet, ce qu’il faut faire, c’est “construire” le x en question à l’aide de toutes les
variables libres (ou parlantes) et de toutes les autres données dont on dispose. Au cours de cette démonstration il convient d’écrire : “on pose x = ...” puis on vérifie que Q(x) est satisfait. On conclut par “on a
bien montré (÷x, Q(x)), donc q.”
Soulignons toutefois que la manière dont on réussit à définir le x en question afin de pouvoir écrire
“posons x = . . .” n’est pas forcément constructive au sens propre. Ce n’est le cas que si toutes les
opérations faites pour y arriver le sont.
3.3
Exercices
Logique propositionnelle
Exercice 3.1. ⌥ Ecrire les négations des propositions suivantes
(a) (A ou B).
(b) (A et non(B)).
(c) (non(A ou B)).
Exercice 3.2. ⌥ Ecrire les négations, contraposées et réciproques des implications suivantes :
3.3. EXERCICES
27
non(A) ∆ non(B),
non(B) ∆ (non(A) ou C),
(A et B) ∆ (C ou D).
Exercice 3.3. ⌥ (Propositions fausses et valeur de vérité d’une implication)
1. Chacune des propositions suivantes est-elle vraie ou fausse ?
1 = 2,
1 = 3,
(1 = 2) ∆ (1 = 3),
2 + 2 = 4.
2. Montrer, en utilisant la méthode déductive, que (1 = 2) ∆ (1 = 3).
3. Montrer de même que (1 = 2) ∆ (2 + 2 = 4).
Exercice 3.4. F Correct ou non ? Utiliser la méthode déductive.
1. Je sais que ((P 1 et P 2) =∆ P 3), j’en conclus P 1 =∆ P 3.
2. Je sais que ((P 1 ou P 2) =∆ P 3), j’en conclus P 1 =∆ P 3
3. Je sais que (P 1 =∆ P 3), j’en conclus (P 1 ou P 2) =∆ P 3.
4. Je sais que (P 1 =∆ P 3), j’en conclus (P 1 et P 2) =∆ P 3.
Exercice 3.5. ⌥ Compléter avec il faut, il suffit ou il faut et il suffit, puis écrire la proposition en utilisant
une implication.
1. Soit n œ Z. Pour qu’il existe m appartenant à Z tel que m2 = n, · · · que n soit positif ou nul.
2. Soit x œ R. Pour qu’il existe t appartenant à R tel que t2 = x, · · · que x soit positif ou nul.
3. Pour qu’un quadrilatère soit un carré, · · · que ses diagonales soient perpendiculaires.
4. Soit f : R æ R une fonction dérivable. Pour que f soit strictement croissante,· · · que f Õ (x) > 0
pour tout x appartenant à R.
Exercice 3.6. W Conditions nécessaire et suffisante.
Soient a et b deux entiers. Compléter les phrases suivantes par ni nécessaire ni suffisante, nécessaire,
suffisante ou nécessaire et suffisante.
1. Le fait que ab soit impair est une condition .......................................... pour que a + b soit pair.
2. Le fait que a + b soit impair est une condition .......................................... pour que ab soit pair.
Logique des prédicats, quantificateurs
Exercice 3.7. ⌥(négation du OU et du ET) Soit x un réel. Nier les propositions suivantes :
1. x = 1 ou x = ≠1.
2. 0 Æ x Æ 1 (ce qui veut dire par définition : 0 Æ x et x Æ 1).
3. x = 0 ou (x2 = 1 et x Ø 0).
Exercice 3.8. (Contraposées) Écrire la contraposée des implications suivantes.
1. P1 (n) : n est premier ∆ n = 2 ou n est impair.
2. P2 (x, y) : xy ”= 0 ∆ (x ”= 0 et y ”= 0.)
3. P3 (x, y) : x ”= y ∆ [(x + 1)(y ≠ 1) ”= (x ≠ 1)(y + 1)].
Montrer que P1 (n) est vraie pour tout n œ N, et que P2 (x, y) et P3 (x, y) sont vraies pour tout (x, y) œ R2 .
Exercice 3.9. Montrer que pour tout (x, y) œ R2 , les propriétés suivantes sont vraies :
1. si x2 + y 2 Æ 1 alors x Æ 1 et y Æ 1.
2. si x œ [≠1, 1] et y œ [≠1, 1] alors x3 + y 3 Æ 3.
3. si x2 + 2x Ø 0 alors x Ø 0 ou x Æ ≠2.
4. si x Ø 1 ou x Æ ≠1 alors x2 Ø 1/4.
5. si xy Ø 1 alors x Ø 1 et y Ø 1.
6. Si x Ø ≠2 alors x2 + 2x Ø 0.
Exercice 3.10. ⌥ (compréhension et négation d’implications)
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses, et les nier.
28
CHAPITRE 3. LOGIQUE CLASSIQUE ET DÉMONSTRATIONS MATHÉMATIQUES
1. Pour tous réels x, si x Ø 3, alors x2 Ø 5.
2. Pour tout entier naturel n, si n > 1, alors n Ø 2.
3. Pour tous réels x, si x > 1, alors x Ø 2.
4. Pour tous réels x, x2 Ø 1, est équivalent à x Ø 1.
Mêmes questions en remplaçant “Pour tous réels“ par “Il existe un réel”, et “Pour tout entier naturel”
par “Il existe un entier naturel”.
Exercice 3.11.
1. Écrire en utilisant le langage formel les phrases suivantes :
(a) Le carré de tout nombre réel est positif.
(b) Un nombre entier divisible par 10 est divisible par 5.
(c) Il existe un nombre impair divisible par 2.
(d) Le produit de deux nombres réels est positif si et seulement s’ils sont de même signe.
(e) Les deux seules solutions de l’équation x2 ≠ 5x + 6 = 0 sont 2 et 3.
2. Les propositions précédentes sont-elles vraies ?
Exercice 3.12. W Quantificateurs.
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. ’x œ R, ÷y œ Z, |x ≠ y| < 1.
2. ÷x œ Z, ÷y œ R, |x ≠ y| < 1/2.
3. ÷x œ R, ’y œ Z, |x ≠ y| > 1.
Exercice 3.13. ⌥ (ordre des quantificateurs, importance de l’ensemble auquel appartiennent les éléments)
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. Pour tout entier naturel n, il existe un réel x tel que x > 2n.
2. Il existe un réel x tel que, pour tout entier naturel n, x > 2n.
3. Pour tout réel x, pour tout réel y, si x2 = y 2 alors x = y.
4. Pour tout réel positif x, pour tout réel positif y, si x2 = y 2 alors x = y.
Exercice 3.14. ⌥ (compréhension d’énoncés avec quantificateurs, importance de l’ordre). A l’université X.
il y a trois étudiants : Alice, Bernard et Cécile et quatre matières : méthodologie, calculus, programmation
et anglais. Les résultats des étudiants sont les suivants :
Alice
Bernard
Cécile
méthodologie
12
18
9
calculus
9
15
17
programmation
18
6
13
anglais
13
13
13
moyenne
13
13
13
Soit E = {Alice, Bernard, Cécile} l’ensemble des étudiants. Soit F = {méthodologie, calculus, programmation, anglais} l’ensemble des matières. Pour tout x dans E et tout y dans F , on désigne par P (x, y)
l’expression : “l’étudiant x a la moyenne (10 ou plus) dans la matière y”. Oralement, exprimer en français
courant les propositions suivantes. Justifier si elles sont vraies ou fausses.
1. ’x œ E, ’y œ F , P (x, y)
2. ÷x œ E, ÷y œ F , P (x, y)
3. ÷x œ E, ’y œ F , P (x, y)
4. ’y œ F , ÷x œ E, P (x, y)
5. ÷y œ F , ’x œ E, P (x, y)
6. ’x œ E, ÷y œ F , P (x, y).
Par exemple, la première proposition se lit “Pour tout élément x de E, pour tout élément y de F , x
a la moyenne dans la matière y”. En français courant, on dirait “Tous les étudiants ont la moyenne dans
toutes les matières”. C’est faux, puisque Bernard n’a pas la moyenne en programmation.
3.3. EXERCICES
29
Exercice 3.15. F Soient A, B, I, E, F, Ai , des ensembles et f : E æ F une application. Relier la notion
à sa définition formelle.
1. A µ B
2. A
€= B
3.
Ai
iœI
‹
4.
Ai
5.
6.
7.
8.
a.
b.
c.
’x x œ A ≈∆ x œ B.
’x x œ A =∆ x œ B.
{x, ’i œ I x œ Ai }.
d.
{x, ÷i œ I x œ Ai }.
e.
f.
g.
h.
i.
’x, xÕ œ E f (x) = f (xÕ ) =∆ x = xÕ .
’y œ F, ÷x œ E, y = f (x).
{y œ F, ÷x œ A, f (x) = y}.
{x œ E, f (x) œ B}.
{f (x), x œ A}.
iœI
f est injective
f est surjective
pour A µ E, f (A)
pour B µ F, f {≠1} (B)
Exercice 3.16. W Négation.
Soient deux fonctions f : R ◊ R æ R et g : R ◊ R æ R. Ecrire la négation des propositions suivantes.
1. ’x Æ 0, ’y œ R, f (x, y) = 0 ou g(x, y) = 0.
2. ÷x œ R, ’y > 0, f (x, y) Æ 0 ∆ g(x, y) > 0.
Exercice 3.17.
1. Traduire en langage ordinaire les phrases logiques suivantes.
(a) (’n œ N)(÷m œ N) m > n.
(b) (÷m œ N)(’n œ N) m > n.
(c) (’x œ Q)(’z œ Q)(÷y œ Q) x < y < z. (d) (’n œ N) [n > 3 ∆ n > 6].
(e) (’n œ N)(÷m œ N) m Æ n.
(f) (’n œ N)(÷p œ N) n = 2p + 1.
(g) (’x œ R) x < 2 ∆ x2 < 4.
2. Écrire en utilisant le langage de la logique la négation de chacune des propositions précédente.
3. Parmi les propositions et leurs négations, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses ? (Justifier)
Exercice 3.18. Soit f1 , f2 et f3 trois fonctions de R dans R. Pour chacune des propositions suivantes,
écrire sa négation. Illustrer chaque propriété et sa négation par un graphique.
1. (’i œ {1, 2, 3})(÷a œ R) fi (a) = 1.
2. (÷i œ {1, 2, 3})(’a œ R) fi (a) = 1.
3. (÷a œ R)(’i œ {1, 2, 3}) fi (a) = 1.
4. (’a œ R)(÷i œ {1, 2, 3}) fi (a) = 1.
Exercice 3.19. F Soit (un )nœN une suite de nombres réels.Quelles sont les négations des assertions
suivantes ?
1. La suite (un )nœN est croissante.
2. La suite (un )nœN est décroissante.
3. La suite (un )nœN est monotone
4. La suite (un )nœN est bornée.
5. La suite (un )nœN tend vers +Œ.
Exercice 3.20. F Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Ecrire en langage formel les
propositions suivantes :
1. f est strictement croissante sur I.
2. f est strictement monotone sur I.
3. f n’est pas strictement croissante sur I.
Exercice 3.21. (raisonnement par l’absurde)
1. En raisonnant par l’absurde, montrer que si un entier q > 1 divise l’entier n > 0, alors q ne divise
pas n + 1.
2. On note P l’ensemble des nombres premiers. On suppose que P est fini, il existe donc p1 , ..., pn tels
que P = {p1 , ..., pn }. Montrer que pour tout i, pi ne divise pas p1 · · · pn + 1.
30
CHAPITRE 3. LOGIQUE CLASSIQUE ET DÉMONSTRATIONS MATHÉMATIQUES
3. Conclure.
Exercice 3.22. Montrer que si p est un nombre premier alors
Ô
p n’est pas rationnel.
Chapitre 4
Relations
Soient E et F deux ensembles non vides. Une relation binaire R de E dans F est une partie de E ◊ F .
On note xRy si (x, y) œ R.
Par exemple E est l’ensemble de personnes vivant en France et F est l’ensemble des nombres à 10
chiffres. Pour x œ E et y œ F on dit que xRy lorsque x a pour numéro de téléphone y. On voit tout
de suite que la relation R n’est pas forcément surjective à gauche : il peut y avoir une personne sans
numéro de téléphone. Elle n’est pas non plus surjective à droite, ni injective à droite ou à gauche, car tout
numéro à 10 chiffres n’est pas forcément affecté, il peut y avoir des personnes ayant plusieurs numéros de
téléphones ou des numéros correspondants à plusieurs personnes.
Nous allons nous intéresser plus spécifiquement à des relations binaires sur un ensemble, c’est à dire
d’un ensemble E dans lui-même. Un exemple de relation R sur l’ensemble E des personnes peut être défini
par xRy si x possède le numéro de téléphone de y. On voit bien que les propriétés de
— réflexivité : pour tous x , xRx,
— symétrie : pour tous x, y, si xRy alors yRx,
— transitivité : pour tous x, y, z, si xRy et si yRz alors xRz,
sont des propriétés intéressantes. Si elles sont satisfaites toutes les trois, la relation est une relation
d’équivalence.
4.1
Relations d’équivalence
Une relation binaire R sur l’ensemble non vide E (c’est à dire de E dans E) est une relation d’équivalence si elle est
(i) réflexive : ’x œ E, xRx,
(ii) symétrique : ’x, y œ E, xRy =∆ yRx,
(iii) transitive : ’x, y, z œ E, (xRy et yRz) =∆ xRz.
L’exemple fondamental est le suivant. Soit E un ensemble non vide et A (que l’on peut toujours
écrire {Ai , i œ I}) une partition de E. La relation R définie par
xRy
ssi ÷A œ A, x, y œ A,
(autrement dit (÷i œ I, x, y œ Ai ))
(4.1)
est une relation d’équivalence (on pourra penser que E est l’ensemble des étudiants de l’amphi, partitionné
en classes de TD ; deux étudiants sont en relation s’ils sont dans la même classe de TD).
La congruence modulo n :
mod (n) par
Soit n œ Nú . On définit sur Z la relation de congruence modulo n notée ©
a©b
mod (n)
ssi
31
n
divise (a ≠ b)
(4.2)
32
CHAPITRE 4. RELATIONS
La relation d’équipotence : On définit la relation d’équipotence © définie sur n’importe quelle famille
d’ensembles E entre deux ensembles quelconques A et B par
A©B
ssi
il existe une bijection f : A æ B
(4.3)
C’est une relation d’équivalence sur les ensembles. Si A est équipotent à B on dit aussi que A et B ont
même cardinal.
La relation “ont la même image par f ” : Soit f : E æ F une application. La relation définie sur
E par
’x, y œ E,
xRf y ssi f (x) = f (y)
(4.4)
est une relation d’équivalence sur E.
Classe d’équivalence
Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence R. Soit a œ E. La classe de a, notée a est la
partie de E définie par a = {x œ E, xRa}.
Lemme 4.1. F Pour tout a, b œ E on a : a = b ssi aRb.
La proposition ci-dessous indique que les classes d’équivalence sont soit identiques soit disjointes.
Proposition 4.2. F ’a, b œ E si a fl b ”= ÿ, alors a = b.
Question 4.1. Soit f : E æ F une application, et Rf la relation d’équivalence sur E définie par (4.4).
Pour x œ E, déterminer x̄ la classe d’équivalence de x à l’aide de f {≠1} .
Ensemble quotient
Soit E un ensemble non vide muni d’une relation d’équivalence R. L’ensemble quotient de E par R,
noté E/R, est l’ensemble dont les éléments sont les classes d’équivalence pour R.
E/R = {x̄, x œ E}.
Quel nom donner à une classe ? Vu la manière dont l’ensemble quotient est défini, on n’a pas donné
un nom unique aux éléments de E/R. Prenons l’exemple de la relation “est dans le même TD” qui est une
relation d’équivalence sur l’amphi. Si Alice, Bernard et Chloé sont dans le même TD, ce TD s’appelle aussi
bien le TD d’Alice que le TD de Bernard ou celui de Chloé, et bien qu’il porte des noms différents, c’est
toujours bien le même TD ! Comment faire pour qu’un TD donné porte un seul nom, bien déterminé ?
Une possibilité est d’élire un délégué par TD, par exemple Chloé dans notre cas, et de décider que le
TD s’appelle le TD de Chloé. On peut aussi carrement décider de nommer ce TD “Chloé”. Bien sûr il
faudra ensuite comprendre, lorsqu’on parle de Chloé, s’il sagit de l’étudiante ou de son TD. Le contexte
est normalement là pour lever toute ambig´’uité.
Question 4.2. Décrire Z/nZ, l’ensemble quotient pour la relation de congruence modulo n ?
Dans l’exemple fondamental, E/R = A. En particulier l’ensemble quotient de l’amphi par la relation
“est dans le même TD” est l’ensemble des classes de TD. Ainsi E/R est une partition de E. Le théorème
suivant montre que c’est toujours le cas.
Théorème 4.3. F Soit E un ensemble non vide et R une relation d’équivalence sur E. Alors E/R =
{x, x œ E} forme une partition de E.
De plus la relation définie par cette partition est bien la relation R. C’est en cela que l’exemple
fondamental porte bien son nom !
Applications passant au quotient
Etant donné une relation R sur un ensemble E. On cherche à savoir sous quelle condition une application f : E æ F peut passer au quotient, c’est à dire définir une application f¯ : E/R æ F et qui porte
la même information.
4.2. RELATIONS D’ORDRE
33
Un exemple instructif Disons, sans perdre beaucoup de généralité, que E est l’ensemble les étudiants
de l’amphi et que la relation R est la relation “sont dans le même TD”. On cherche à savoir à quelle
condition une application définie sur E ne permet pas de définir une application sur l’ensemble E/R des
TDs qui dise la même chose. Regardons quelques exemples.
- Si on associe à chaque étudiant sa note au dernier contrôle de méthodo, on définit bien une application
f : E æ [0, ..., 20]. Mais on ne voit pas comment fabriquer une application f¯ de l’ensemble des classes de
TDs dans [0, ..., 20] et qui dise la même chose. Pour le TD d’Adèle, Bernard et Chloé, quelle note choisir ?
Celle d’Adèle, celle de Bernard ou de Chloé ? On dit que f ne passe pas au quotient.
- Maintenant, si à chaque étudiant on associe par exemple le nom de son professeur de TD en méthodo,
on obtient alors une application g de E dans l’ensemble P des professeurs, et on peut définir aussi
l’application qui à une classe de TD associe un professeur de TD en méthodo. Cette nouvelle application
dit la même chose que l’application g. On dit que cette nouvelle application est l’application quotient de
g et on la note ḡ : E/R æ P .
On voit clairement qu’une application sur E passe au quotient si elle est constante sur chacun des
TDs. Plus généralement :
Proposition 4.4. Soit E un ensemble non vide muni d’une relation d’équivalence R. Une application g
de E dans un ensemble F passe au quotient si et seulement si
’x, y œ E,
xRy =∆ g(x) = g(y)
et l’application quotient de g par R est l’application notée ḡ : E/R æ F définie par ḡ(x̄) = g(x) pour tout
x œ E.
Question 4.3. Soit E un ensemble non vide muni d’une relation d’équivalence R.
— Trouver une condition sur une loi de composition interne (c’est-à-dire une application F : E ◊ E æ
E) pour qu’elle passe au quotient ?
— Même question pour une relation L sur E.
Autour de la relation “ont la même image par f ”
Proposition 4.5. Soit f : E æ F et on munit E de la relation Rf “a la même image par f ”. Montrer
que f passe au quotient, et vérifier que f¯ : E/Rf æ F est injective et qu’elle est bijective sur f (E).
On a déjà vu que toute relation d’équivalence peut être vue comme définie par une partition, la
partition de ses classes d’équivalence. On va voir maintenant que toute relation déquivalence R sur E
peut être vue également comme une relation du type “ont la même image par f ”.
Proposition 4.6. Toute relation d’équivalence R sur E peut s’écrire comme une relation “a la même
image par f ” pour une certaine application f .
Il faut donc définir un ensemble d’arrivée et une application f de E sur cet ensemble de telle manière
que la relation R soit identique à la relation Rf “ont la même image par f ”.
Question 4.4. Peut-on choisir F = E/R ? Comment définir f ? Vérifier ensuite que R est bien la même
relation que Rf . Y a-t-il d’autres choix possibles pour F ?
4.2
Relations d’ordre
Une relation binaire R sur E (c’est-à-dire de E dans E) est une relation d’ordre si elle est
(i) réflexive : ’x œ E, xRx,
(ii) antisymétrique : ’x, y œ E, (xRy et yRx) =∆ x = y,
(iii) transitive : ’x, y, z œ E, (xRy et yRz) =∆ xRz.
Une relation d’ordre est souvent notée Æ. Si Æ est une relation d’ordre sur E on dit que (E, Æ) est un
ensemble ordonné.
34
CHAPITRE 4. RELATIONS
Ordre total ou partiel
Un ordre Æ sur E est total, si deux éléments quelconques peuvent toujours se comparer :
’x, y œ E,
(x Æ y) ou (y Æ x).
Si un ordre n’est pas total, on dit qu’il est partiel.
Question 4.5. La relation Ø est-elle une relation d’ordre sur R ? Et qu’en est-il de < ?
Exemple 4.1.
1. La relation divise, notée “|”, définie sur Nú par (a | b ssi il existe un entier n tel que
b = na), est une relation d’ordre sur Nú .
2. Soit E un ensemble. La relation d’inclusion est une relation d’ordre sur l’ensemble P(E) des parties
de E.
Majorant, plus grand élément, élément maximal
Soit (E, Æ) un ensemble ordonné et soit A une partie de E.
Un élément m de E est un majorant de A s’il est plus grand que tous les éléments de A :
m est un majorant de A si (’a œ A, a Æ m).
Si A possède un majorant, on dit que A est majoré :
A est majoré si (÷m œ E, ’a œ A, a Æ m).
Si m appartient à A et si m est un majorant de A, on dit que m est le plus grand élément de A :
m est le plus grand élément de A si ((m œ A) et (’a œ A, a Æ m)).
Un élément m de E est un élément maximal de A s’il appartient à A et si personne n’est plus grand que
lui :
m est un élément maximal de A si ((m œ A) et (’a œ A, ( a Ø m =∆ a = m))).
On définit de même les notions de minorant, plus petit élément, élément minimal.
Bon ordre
Un ensemble (E, Æ) est bien ordonné, si toute partie non vide de E admet un plus petit élément.
Proposition 4.7. Tout ensemble bien ordonné est totalement ordonné.
Diagramme de Hasse pour les ensembles finis
Le diagramme de Hasse est une représentation visuelle très pratique d’un ordre sur un ensemble fini.
si x Æ y on va dessiner x en dessous de y en le liant par une arrête. On obtient ainsi un graphe orienté
suivant la verticale (la flèche est en générale sous-entendue).
Pour ne pas charger le shémas on ne représente
pas toute la relation d’ordre mais uniquement sa réduction réflexive transitive : si x Æ y Æ z on ne
représente que les arrêtes entre x et y et entre y et z
mais pas celle entre x et z. On ne représente pas non
plus l’arrête de réflexivité qui est sous-entendue.
Dans le diagramme ci-dessous on a trois éléments
maximaux et un un élément minimal qui est aussi
un minorant.
4.3. EXERCICES
4.3
35
Exercices
Exercice 4.1. ⌥ Soit X = {1, 2, 3, 4}. Sur X on considère la relation R dont le graphe est l’ensemble G
suivant :
G = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)}.
Cette relation est-elle réflexive ? symétrique ? antisymétrique ? transitive ?
Exercice 4.2. ⌥ Soit X = {0, 1, 2}. Les graphes suivants définissent-ils une relation d’équivalence sur
X ? Pourquoi ?
1 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} ;
2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 2)} ;
3 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 2)} ;
4 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} ;
1
5 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}.
Exercice 4.3. ⌥ Dans chacun des cas suivants, la relation définie sur C est-elle ou non une relation
d’équivalence ? Indiquez pourquoi. 2
1. ’z, z Õ œ C, zR1 z Õ ≈∆ |z| = |z Õ | ;
2. ’z, z Õ œ C, zR2 z Õ ≈∆ |z|/z Õ = 1 ;
Õ
3. ’z, z Õ œ C, zR3 z Õ ≈∆ ez = ez ;
4. ’z, z Õ œ C, zR4 z Õ ≈∆ |z ≠ z Õ | = 1 ;
Exercice 4.4. F Soient E et F deux ensembles et f : E æ F une application. On définit la relation Rf
sur E en posant, pour tous éléments x, y de E :
xRf y ≈∆ f (x) = f (y).
Montrer que R est une relation d’équivalence.
Exercice 4.5. ⌥ Dans chacun des cas suivants la relation R, définie sur N, est-elle ou non une relation
d’équivalence ? Indiquez pourquoi. 3
1. ’n, m œ N, nRm ≈∆ n|m ;
2. ’n, m œ N, nRm ≈∆ n2 = m2 ;
3. ’n, m œ N, nRm ≈∆ n2 ≠ m2 = 2nm + 2n ;
4. ’n, m œ N, nRm ≈∆ n2 + m2 = 2nm.
Exercice 4.6. ⌥ Soit E un ensemble non vide et x un élément fixé de E. On considère la relation R
définie sur P(E) successivement par
1. ’A, B œ P(E), ARB ≈∆ A = B ;
2. ’A, B œ P(E), ARB ≈∆ A µ B ;
3. ’A, B œ P(E), ARB ≈∆ A fl B = ÿ ;
4. ’A, B œ P(E), ARB ≈∆ x œ A fi B ;
Pour chacune des relations préciser si elle est réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive, totale.
Lesquelles sont des relations d’équivalences ? des relations d’ordre ?
Exercice 4.7. Soit P l’ensemble des nombres premiers strictement supérieurs à 2. On considère sur cet
ensemble P la relation R définie par :
pRq ≈∆
p+q
œ P.
2
Cette relation est-elle réflexive ? symétrique ?
Déterminer 3̄ = {n œ P, n Æ 20, 3Rn} et 7̄ = {n œ P, n Æ 20, 7Rn}. La relation est-elle une relation
d’équivalence ?
1. oui pour 1 , 2 et 5 .
2. seules 1,3 sont des relations d’équivalence.
3. seules 2 et 4 sont relations d’équivalence.
36
CHAPITRE 4. RELATIONS
Exercice 4.8. F Soit R une relation d’équivalence sur un ensemble X. Si a un élément de X on note a
la classe d’équivalence de a. Montrer que
’a, b œ X,
aRb
≈∆
a = b.
Exercice 4.9. On définit une relation R sur R en posant, pour tous réels x et y :
xRy ≈∆ x2 ≠ y 2 = x ≠ y.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
2. Déterminer et représenter dans R2 les classes d’équivalence des réels 0, 1, 1/2.
Exercice 4.10. On dit qu’une relation R sur un ensemble X est circulaire lorsque pour tous a, b et c de
X :
(aRb et bRc) =∆ cRa.
1. Montrer qu’une relation est une relation d’équivalence si et seulement si elle est réflexive et circulaire.
2. Donner un exemple de relation circulaire qui ne soit pas une relation d’équivalence.
Exercice 4.11. FF Soit n œ Nú . On définit une relation de congruence modulo n, notée “© mod (n)”
sur Z en posant, pour tous entiers a, b
a©b
1. Montrer que ©
mod (n) ≈∆ n divise a ≠ b.
mod (n) est une relation d’équivalence.
2. Montrer que a © b mod (n) ssi a et b ont le même reste dans leur division euclidienne par n.
3. Déterminer les classes d’équivalence 0̄ et 1̄ de 0 et de 1.
4. On fixe n = 6. Décrire les classes d’équivalences de Z/6Z.
5. Montrer que pour tout a, b, aÕ , bÕ œ Z, si a © aÕ mod (6) et b © bÕ mod (6) alors (a + b) © (aÕ + bÕ )
mod (6) et (ab) © (aÕ bÕ ) mod (6).
6. En déduire que l’on peut définir des opérations internes ü et ¢ sur Z/6Z par ā ü b̄ = a + b et
ā ¢ b̄ = a ◊ b. Ecrire les tables de ces lois ?
7. Mêmes questions pour n = 5.
Exercice 4.12. Sur R2 , on définit E par :
(x, y)E(xÕ , y Õ ) lorsque x2 + y 2 = xÕ2 + y Õ2 .
Montrer que E est une relation d’équivalence sur R2 . Décrire la partition de R2 par les classes d’équivalence
pour E.
Exercice 4.13. FF Dans N, on définit une relation π en posant, pour tous m, n de N :
m π n lorsqu’il existe k œ Nú tel que n = km.
1. Montrer que π est une relation d’ordre partiel sur N.
2. Soit A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Pour π, A possède-t-il un plus grand élément ? un plus petit élément ?
des éléments maximaux ? des éléments minimaux ? Lorsque la réponse est oui, précisez les. (On
pourra tracer le diagramme de Hasse).
3. L’ensemble Nú possède-t-il un plus grand élément ? Un plus petit élément ?
4. Qu’en est-il pour N ?
5. Pour π, quels sont les éléments minimaux de N ?
Exercice 4.14. On définit dans Nú une relation π en posant, pour tous x, y de Nú :
x π y ≈∆ ÷n œ Nú , y = xn .
Montrer que π est une relation d’ordre sur Nú .
4.3. EXERCICES
37
Exercice 4.15. Soient E et F deux ensembles et f : E æ F une application. Soit S une relation sur F .
On définit une relation R sur E en posant, pour tous éléments x, y de E :
xRy ≈∆ f (x)Sf (y).
1. Montrer que si S est une relation d’équivalence, alors R est une relation d’équivalence.
2. Montrer que si S est une relation d’ordre et f est injective, alors R est une relation d’ordre.
Exercice 4.16. Soit E un ensemble et R une relation réflexive et transitive sur E.
1. Montrer que la relation E définie sur E par :
aEb ≈∆ (aRb et bRa)
est une relation d’équivalence.
2. On définit sur E/E une relation π par :
A π B lorsqu’il existe a œ A et b œ B tels que aRb.
Montrer que π est une relation d’ordre sur E/E.
Exercice 4.17. (ordre lexicographique)
Soit (E, Æ) et (F, Æ) des ensembles totalement ordonnés.
1. FF On considère sur E◊F la relation définie de la manière suivante. Pour a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 )
dans E ◊ F
aR2 b
≈∆
(a1 < b1 ) où (a1 = b1 et a2 Æ b2 ).
Montrer que R2 définit un ordre total sur E ◊ F .
2. Soit n > 2. On définit par récurrence la relation Rn sur E n de la manière suivante. Pour a =
(a1 , a2 , ..., an ), b = (b1 , b2 , ..., bn ) dans E n
aRn b
(a1 < b1 ) où (a1 = b1 et (a2 , ..., an )Rn≠1 (b2 , ..., bn ).
≈∆
Vérifier qu’il s’agit bien d’un d’ordre total.
3. On considère l’ensemble X des mots finis sur E c’est à dire :
X = {x, ÷n œ Nú , x = (x1 , · · · , xn ) œ E n } =
€
En
nœNú
et on définit la relation S sur X de la manière suivante. Soit a = (a1 , · · · , ap ), b = (b1 , · · · , bq ) dans
X, on note m le plus petit des deux entiers p et q,
aSb
≈∆
((a1 , ..., am )Rm (b1 , ..., bm ) et (a1 , ..., am ) ”= (b1 , ..., bm ))
ou ((a1 , ..., am ) = (b1 , ..., bm ) et m < q (c’est-à-dire p < q)).
Montrer que S définit un ordre total sur X.
Exercice 4.18. Soit E un ensemble et A une partie de E. On définit une relation R sur l’ensemble P(E)
des parties de E en posant, pour tous ensembles X, Y éléments de P(E) :
XRY ≈∆ A fl X = A fl Y.
1. Montrer que R est une relation d’équivalence sur P(E).
2. Expliciter les classes ?, E et A.
3. Soit X un élément de P(E). Montrer que si B = A fl X, B est l’unique élément de X qui soit
contenu dans A.
4. Pour tout X̄ dans P(E)/R on pose f (X̄) = A fl X. Montrer que f elle bien une application et
qu’elle est bijective sur P(A).
38
CHAPITRE 4. RELATIONS
Chapitre 5
L’ensemble N, ensembles finis et
cardinaux
L’ensemble des entiers naturels N est sans doute le premier ensemble de nombres qui vient à l’esprit.
C’est lui qui permet de compter des objets. Il est muni de deux opérations + et ◊ et de la relation d’ordre
Æ. Il est aussi muni de la division euclidienne. Beaucoup de choses peuvent être dites sur N, et beaucoup
de choses restent à dire.
Mais quelles propriétés caractérisent cet ensemble ? Pour répondre à cette question, interressons nous
à la propriété de récurrence. Qu’est-ce que cette propriété ? Quand on veut démontrer un grand nombre de
propositions, disons p0 , p1 ,.....p1000 plutôt que de faire 1001 démonstrations, on peut parfois n’en faire que
deux : d’abord on montre une propriété initiale p0 , puis on montre une propriété d’hérédité : pour tout n,
si pn , alors pn+1 . On a donc démontré pn quel que soit l’élément n dans l’ensemble I = {0, .., 1000}. Mais
pourquoi s’arrêter à 1000 ? On voit bien qu’on a alors démontré la propriété pour tous les entiers.
Quels sont les ensembles I qui permettent des démonstrations par récurrence ? Il faut pouvoir initialiser,
passer au suivant, et enfin être sur que si la démonstration d’une propriété a été initialisée, et l’hérédité
a été montrée, alors toutes les propriétés pi sont vraie pour i dans I.
On peut montrer qu’un tel ensemble, s’il est infini, est nécessairement en bijection avec N.
Pour construire N à partir de la théorie des ensembles, G. Peano (1858 –1932) a proposé de postuler
axiomatiquement l’existence d’un ensemble N, d’un élément 0, et d’une application S : N æ N tels que :
1. 0 œ N.
2. S est bijective sur Nú = N \ {0}.
3. ’P µ N, si (0 œ P ) et si (’n œ N, n œ P ∆ S(n) œ P ) alors P = N.
L’application S est appelée l’application “successeur” : pour tout n œ N, S(n) est appelé successeur de n.
A partir de ces trois axiomes uniquement, on peut construire les opérations + et ◊ et l’ordre sur N
et vérifier toutes les propriétés habituelles concernant ces opérations. Cette construction est proposée en
Problème en annexe.
5.1
Propriétés fondamentales de N
Théorème 5.1. F (Théorème fondamental de N)
1. Toute partie non vide de N possède un plus petit élément.
2. Toute partie non vide majorée de N possède un plus grand élément.
39
40
CHAPITRE 5. L’ENSEMBLE N, ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
Démonstration. Soit A une partie non vide de N. Si 0 œ A, c’est fini. Supposons que 0 œ
/ A et supposons par
l’absurde que A ne possède pas de plus petit élément. Considérons l’ensemble B = {n œ N, ’a œ A, n < a}
des minorants de A qui ne sont pas dans A. On a 0 œ B et si n est dans B alors, n + 1 ne peut être dans
A sinon ce serait le minimum de A. Ainsi n + 1 œ B. Par récurrence B = N et A est vide, ce qui est
contradictoire.
Théorème 5.2. (Division euclidienne) Soit b œ Nú . Pour tout a œ N, il existe des uniques entiers q, r
dans N tels que a = bq + r et tels que 0 Æ r Æ b ≠ 1.
Le nombre q est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b et r le reste.
La question de la représentation des nombres est un point important du début de l’histoire des mathématiques. Quels symboles (ou chiffres) utilise-t-on pour coder les nombres ? Autrement dit, comment
les chiffre-t-on ? C’est également une question importante en informatique.
Théorème 5.3. Soit b un entier supérieur ou égal à 2, appelé la base. Pour tout entier n œ Nú , il existe
un unique entier p œ N et des uniques entiers a0 , ..., ap dans {0, ...., b ≠ 1} tels que ap ”= 0 et tels que
n = bp ap + bp≠1 ap≠1 + ... + b0 a0 .
On note [n]b = ap ap≠1 ...a0 b , et on dit que l’on a écrit n en base b.
5.2
Cardinaux d’ensembles finis
On dit que deux ensembles E et F sont équipotents et on note E © F s’il existe une bijection de
E sur F . Il est facile de voir que © possède les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité.
Cependant dire qu’il s’agit d’une relation d’équivalence entre ensembles est un peu délicat. En effet, on
voudrait la définir sur l’ensemble de tous les ensembles, qui malheureusement n’existe pas. Puisqu’un tel
ensemble n’existe pas, on ne peut donc pas le partitionner en classe d’équivalence pour cette relation. En
revanche, on peut considérer cette relation sur n’importe quel ensemble d’ensembles.
Etude de la relation d’équipotence sur les ensembles {1, ..., n} La première chose à vérifier est
que pour tous nombres entiers n et m, s’il existe une bijection de {1, ..., n} dans {1, ..., m}, alors n = m.
On va commencer par comparer n et m dans le cas de l’existence d’une injection, d’une surjection et d’une
bijection entre les deux ensembles.
Proposition 5.4.
1. ’n, m œ N. S’il existe une injection de {1, ..., n} dans {1, ..., m} alors n Æ m.
2. ’n, m œ N. S’il existe une surjection de {1, ..., n} sur {1, ..., m} alors n Ø m.
3. ’n, m œ N. S’il existe une bijection de {1, ..., n} sur {1, ..., m} alors n = m.
Le troisième point permet vérifier que
Corollaire 5.5. Si E est un ensemble et s’il existe un entier n tel que E est en bijection avec {1, ..., n},
l’entier n est unique.
Comment fait-on pour compter les éléments d’un ensemble ? On égrène la suite des entiers à partir de
1 en associant à nombre à chaque élément de l’ensemble qu’on compte, (c’est à dire qu’on est en train de
construire une application), en prennent soin de ne pas compter deux fois le même élément (l’application
doit être injective) et de compter tous les éléments (l’application doit être surjective). Le nombre d’éléments
de l’ensemble correspond au nombre n pour lequel on s’est arrêté. Le corollaire précédent assure que si
l’on compte à nouveau, on retrouvera bien n. On peut donc définir les notions suivantes.
Ensembles finis et cardinal Un ensemble E est fini s’il existe un entier n tel que E est en bijection
avec {1, ..., n}. On dit alors que n est le cardinal de E. Par convention l’ensemble vide est dit fini de
cardinal 0. Si un ensemble E n’est pas fini, il est dit infini.
Lemme 5.6. Soit E et F des ensembles. Si E et fini et si E © F alors F est fini et Card(E) = Card(F ).
On arrive ensuite à montrer que toute partie de {1, .., n} est finie et a moins de n éléments, et qu’elle
n’en a n que si elle lui est égale.
5.2. CARDINAUX D’ENSEMBLES FINIS
41
Lemme 5.7. Soit A une partie de {1, ..., n}. Alors
1. L’ensemble A est fini et Card(A) Æ n ;
2. Si Card(A) = Card(E), alors A = E.
On arrive enfin à montrer que toute partie d’un ensemble fini donné est finie et, sauf si elle lui est
égale, elle a strictement moins d’éléments que l’ensemble considéré. Ce qui s’énonce de la façon suivante :
Proposition 5.8. Soit E un ensemble fini et A une partie de E. Alors
1. L’ensemble A est fini ;
2. Card(A) Æ Card(E) ;
3. Si Card(A) = Card(E), alors A = E.
Remarque 5.1. (Un principe général) Ce résultat peut se généraliser en disant qu’un ensemble qui
s’injecte dans un autre est plus petit, et aussi qu’un ensemble qui se surjecte sur un autre est plus grand.
Dans ce cours on ne démontre ce résultat que dans des cas particuliers. Ainsi :
Proposition 5.9. F Soit f : E æ F une application.
1. On suppose F fini et f injective, alors
a. E est fini ;
b. Card(E) Æ Card(F ) ;
2. Si E est fini et si f est surjective, alors
a. F est fini ;
b. Card(E) Ø Card(F ) ;
c. si Card(E) = Card(F ), alors f est bijective.
c. si Card(E) = Card(F ), alors f est bijective .
En particulier, lorsque E = F , nous obtenons le résultat suivant :
Corollaire 5.10. Soit E un ensemble fini, et f : E æ E. Il y a équivalence entre
1. f est injective
2. f est surjective,
3. f est bijective.
Question 5.1. En utilisant l’application n ‘æ n + 1, montrer que N est infini.
Des notations très pratique Dans le cas ou l’on ajoute deux nombre, l’ordre dans la somme ne change
pas le résultat. Et ceci reste vrai tout que l’on fait des sommes finies. Toutefois, cette commutativité
généralisée s’exprime comme une invariance par permutation de l’ordre des termes dans la somme.
Proposition 5.11. Soit (ai )iœI une famille de nombres indexée par un ensemble fini de cardinal n. Pour
n
ÿ
toute bijection „ : {1, ..., n} æ I, on définit la somme S(„) =
a„(k) . Cette somme est indépendante de
„, on la note
ÿ
k=1
ai , c’est la somme des ai sur l’ensemble fini I.
iœI
Cette proposition permet d’obtenir la formule suivante
Si E est fini et A µ E alors,
Card(A) =
q
xœE
1A (x).
Effectivement, pour compter les éléments de A, on fait défiler tous les éléments de E un à un et on
rajoute un si x est dans A, 0 sinon. Cette notation permet de démontrer très simplement de nombreuses
formules
Proposition 5.12.
1. Si A est fini et B µ A, alors Card(A) = Card(B) + Card(A\B).
2. Si r est fini et si (Ai )i=1,..,r est une famille finie d’ensembles finis deux à deux disjoints, alors
r
!
" ÿ
Card fiiœ{1,..,r} Ai =
Card(Ai ).
i=1
3. Si E est fini et si A = {Ai }iœI est une partition de E alors, I est fini, chaque Ai est fini et
ÿ
Card(E) =
Card(Ai ).
iœI
42
CHAPITRE 5. L’ENSEMBLE N, ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
On sait aussi calculer des cardinaux d’union non disjointes, mais alors il faut connaitre en plus les
cardinaux des diverses intersections
Proposition 5.13.
1. Si A et B sont finis, Card(A fi B) = Card(A) + Card(B) ≠ Card(A fl B).
2. Si A, B, C sont finis,
Card(A fi B fi C) = Card(A) + Card(B) + Card(C) ≠ Card(A fl B) ≠ Card(A fl C) ≠ Card(B fl C)
+ Card(A fl B fl C).
3. Si r est fini et si (Ai )i=1,..,r est une ensemble fini d’ensembles finis
r
!
" ÿ
Card fiiœ{1,..,r} Ai =
Card(Ai ) ≠
i=1
ÿ
(i,j),i<j
Card(Ai fl Aj ) + .... + (≠1)r≠1 Card(A1 fl ... fl Ar ).
Nous allons dresser quelques corollaires du cardinal d’une partition. Rappelons que lorsqu’on a une
relation d’équivalence sur un ensemble E, les classes d’équivalences forment une partition de cet ensemble.
Ainsi on obtient :
Corollaire 5.14. Soient E un ensemble fini et R une relation d’équivalence sur E. Alors l’ensemble
quotient E/R est fini et
ÿ
Card(E) =
Card(ā)
āœE/R
Etant donné une application f : E æÓF , la relation Rf “ontÔla même image par f ”. On sait que f (E)
est en bijection avec E/R et que E/R = f {≠1} ({y}), y œ f (E) . Par suite, on obtient le résultat suivant.
Corollaire 5.15. Soit E un ensemble fini et f : E æ F une application, alors f (E) est fini et
Card(E) =
ÿ
Card(f {≠1} ({y})).
yœf (E)
La proposition suivante donne le cardinal de nombreux ensembles finis.
Proposition 5.16. Soient A et B des parties finies de cardinal repectif a et b,
1. Card(A ◊ B) = ab, où A ◊ B est le produit cartésien de A par B,
2. Card(B A ) = ba , où B A est l’ensemble des applications de A dans B,
3. Card({f : A æ B injectives}) =
b!
(a≠b)! ,
aussi appelé nombre d’arrangements de A dans B.
4. Card({f : A æ A bijectives}) = a!, les bijections de A sont aussi appelées des permutations.
5. Card(P(A)) = 2Card(A) , où P(A) est l’ensemble des parties de A.
! "
a!
6. Card(Pk (A)) = ka = k!(a≠k)!
, où Pk (A) est l’ensemble des parties à k éléments de A.
Exercice 5.1.
1. Quel est le cardinal de l’ensemble {1, ..., 47} ◊ {≠7, ..., 11} ?
2. Quel est le cardinal de l’ensemble {≠7, ≠5, 2, 68}4 ◊ {3, ..., 8}6 ?
3. Quel est le cardinal de l’ensemble {(x1 , ..., x8 ) œ {≠1, ..., 8}8 , ’i ”= j, xi ”= xj } ?
4. Quel est le cardinal de l’ensemble {f : {5, ..., 10} æ {≠17, ≠15, ≠7, ≠5, ≠4, 5, 6, 12, 13}} ?
5.3
Dénombrements
Dans cette partie du cours, nous allons introduire les notions d’arrangements avec ou sans répétitions et
la notion de combinaisons. Ces notions permettent d’interpréter les cardinaux de la proposition précédente.
Fixons E un ensemble de n éléments. Nous allons choisir dans cette ensemble k éléments de différentes
manières.
5.3. DÉNOMBREMENTS
43
Arrangements avec répétition
de cardinal n.
Tirage dans l’ordre avec remise de k éléments dans E = {e1 , ..., en }
Représentation mathématique : L’ensemble des arrangements avec répétition de k éléments parmi
les n éléments de E = {e1 , ..., en } peut se représenter par
1. E {1,...,k} = {f : {1, ..., k} æ E}
l’ensemble des applications de {1, ...., k} dans {e1 , ..., en }
2. {(x1 , ..., xk ) œ E k }
l’ensemble des k-uplet d’éléments (non distincts)
Le nombre d’arrangements avec répétition de k parmi n que l’on peut faire vaut nk .
Cette formule peut se comprendre à l’aide d’un arbre des choix successifs, puisque le premier élément est
choisi parmi n éléments , le second parmi n ... et le dernier et k-ième encore parmi n éléments.
Arrangements Tirage dans l’ordre sans remise de k éléments dans E de cardinal n.
Exemple : tirage du tiercé dans l’ordre
Représentation mathématique : L’ensemble des arrangements (sans répétition) de k éléments parmi
les n éléments de E = {e1 , ..., en } peut se représenter par
1. {f : {1, ..., k} æ E, i ”= j =∆ f (i) ”= f (j)}
l’ensemble des injections de {1, ...., k} dans {e1 , ..., en },
2. {(x1 , ..., xk ) œ E k , i ”= j =∆ xi ”= xj }
l’ensemble des k-uplet d’éléments distincts de E.
Le nombre d’arrangements de k parmi n que l’on peut faire est noté Akn et vaut :
Akn = n(n ≠ 1)....(n ≠ k + 1) =
n!
.
(n ≠ k)!
Cette formule peut se comprendre à l’aide d’un arbre des choix successifs, puisque le premier élément
est choisi parmi n éléments, le second parmi (n ≠ 1) ... et le dernier parmi (n ≠ k + 1) éléments.
Combinaison Tirage de k objets parmi un ensemble E = {e1 , ..., en } de cardinal n, sans classement.
Exemple : le tirage du loto, la main d’un jeu de cartes.
Représentation mathématique : L’ensemble des combinaisons de k éléments parmi les n éléments de
E = {e1 , ..., en } peut se représenter par
1. Pk (E) = {Ê µ E, Card(Ê) = k},
l’ensemble des parties à k éléments de E,
2. Si E est ordonné, {(x1 , ...., xk ) œ E k , x1 < ... < xk },
c’est-à-dire comme l’ensemble des k-uplets ordonnés de E,
qn
3. {(x1 , ..., xn ) œ {0, 1}n , i=1 xi = k},
puisque k des xi valent 1, les autres 0.
Le nombre de combinaisons de k parmi n est
3 4
n
Ak
n!
Card(Pk (E)) =
= n =
.
k
k!
k!(n ≠ k)!
Ces nombres sont aussi appelés coefficients du binôme, ils se lisent k parmi n.
! "
Sur un arbre binaire P, F à n branches le nombre nk correspond au nombre de chemins de la racines
à l’extrémité comportant exactement k branches de type P .
44
CHAPITRE 5. L’ENSEMBLE N, ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
Formules faisant intervenir les coefficients binomiaux
On suppose que k, n sont des entiers ; x, y des complexes. On rappelle que :
3 4 3
4 3
4
n
n
n+1
+
=
(formule de Pascal)
k
k+1
k+1
! " ! n "
Cette formule permet de construire le triangle de Pascal. Remarquons que nk = n≠k
.
Exercice 5.2. Les combinaisons interviennent dans
les calculs des cardinaux des ensembles suivants :
1. {Ê œ P({5, ..., 10}), Card(Ê) = 3},
q18
2. {(x1 , ..., x18 ) œ {0, 1}6 , i=1 xi = 5},
3. {(x0 , ..., x7 ) œ {0, ..., 14}, x0 < ... < x7 },
4. {(x1 , ..., x4 ) œ N4 , x1 + ... + x4 = 6}
5. {(x1 , ..., x7 ) œ {0, 1}7 ,
xi = 2,
i=1
7
ÿ
xi =
i=4
2},
;
<
Card{i, xi = a} = 1,
4
6. (x1 , .., x4 ) œ {a, b, c} ,
Card{i, xi = b} = 2
7. {(x0 , ...x7 ) œ {0, ..., 14}, x0 Æ ... Æ x7 },
Triangle de Pascal
5.4
3
ÿ
Sommes finies
Definition
5.17. Pour des entiers a et b tels que a Æ b, la somme finie ua + ... + ub s’écrit aussi
qb
q
u
=
k
k=a
{k, aÆkÆb} uk . Par convention une somme de nombres indexés par l’ensemble vide est nulle.
La variable de sommation, ici k, est muette ou liée, elle varie entre la borne inférieure de sommation,
a, et la borne supérieure b. Il faut bien distinguer, d’une part, la variable de sommation et les variables
qui en dépendent et, d’autre part, les constantes et les paramètres.
5.4.1
Sommes usuelles
Somme d’une constante F
par linéarité,
Si a Æ b sont des entiers, alors
si µ est une constante,
Somme géométrique F
qb
k=a
qb
k=a
1 = b ≠ a + 1. Plus généralement
µ = µ(b ≠ a + 1).
Par convention, x0 = 1 pour tout nombre x, même nul.
Pour x ”= 1,
Pour x = 1,
1 ≠ xn+1
xn+1 ≠ 1
=
.
1≠x
x≠1
k=0
on obtient n + 1, comme somme d’une constante.
n
ÿ
xk =
qb
b≠a+1
Plus généralement si a Æ b et si x ”= 1 on a k=a xk = xa 1≠x1≠x . Le premier terme de la somme xa
est en facteur, on divise par 1 ≠ x et on multiplie par 1 ≠ xp où p est le nombre de termes de la somme.
qn
Exemple 5.1. Calculer k=0 2k 32k+1 .
Somme de n premiers entiers, des n premiers carrés, des n premiers cubes F
n
ÿ
k=1
n(n + 1)
k=
,
2
n
ÿ
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
k =
,
6
2
n
ÿ
k=1
3
k =
3
n(n + 1)
2
42
On a
.
5.5. A PROPOS DES ENSEMBLES INFINIS
45
Formule du binôme de Newton FF
(x + y) =
n
n 3 4
ÿ
n
k
k=0
xk y n≠k .
Cette formule permet de trouver de nombreuses
! "
qnidentités.
⇤ En prenant x = y = 1 on obtient 2n = k=0 nk
! "
qn
— En prenant x = 1 et y = ≠1, on obtient k=0 (≠1)k nk = 0.
! "
qn
˙ En prenant y = 1 et en dérivant par rapport à x, puis en fixant x = 1 on obtient k=0 k nk =
n2n≠1 .
3 4
n
ÿ
1
n
1
=
˚ En prenant y = 1,en intégrant / x, puis en fixant x = 1 on obtient
(2n+1 ≠1).
k+1 k
n+1
k=0
¸ En développant (1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n , et en identifiant les coefficients du même degré,
4 3
4
k 3 43
ÿ
m
n
m+n
(identité de Vandermonde).
on obtient :
=
j
k≠j
k
j=0
3 4
n 3 42
ÿ
n
2n
˝ En choisissant m = k = n dans la formule précédente, on obtient
=
.
j
n
j=0
5.4.2
Opérations
Chasles (découpage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant ! Si a,
qc
qb
qc
b et c sont des entiers vérifiant a Æ b Æ b + 1 Æ c, alors k=a uk = k=a uk + k=b+1 uk .
Exemple 5.2. Calculer
q2n
k=0
|n ≠ k|.
Linéarité Somme de sommes et factorisation par les constantes :
qb
µ k=a vk )
qn
Exemple 5.3. Calculer k=0 32k (5k ≠ 3k ).
qb
k=a (⁄uk
+ µvk ) = (⁄
qb
k=a
uk +
Change les deux bornes et l’indice de sommation.
qn
Exemple 5.4. Calculer k=0 (k + 2)3 .
Réindexation
Télescopage Si uk = vk ≠ vk+1 , alors la somme
à va ≠ vb+1 .
qb
Exemple 5.5. En décomposant en éléments simples
5.4.3
k=a
uk est une somme dite télescopique et est égale
1
k(k+1)
Sommes doubles
calculer
qn
1
k=1 k(k+1) .
qk ql
q
On s’interresse ici par exemple à la double somme i=1 j=0 ai,j , que l’on peut aussi écrire (i,j)œI ai,j ,
où I = {(i, j), 0 Æ i Æ k, 0 Æ j Æ l}. Il s’agit bien d’une somme finie. Sur certains exemples, une des astuces
pour calculer ces sommes, consiste à inverser les sommes en reparamétrant l’ensemble de sommation.
5.5
A propos des ensembles infinis
[La présente section est à la limite du programme]
Rappelons que par définition un ensemble non-vide est dit infini s’il n’est pas fini. On a vu que N n’est
pas fini. Ce n’est pas le seul ensemble dans ce cas. Un moyen de démontrer qu’un ensemble est infini est
d’utiliser le principe énoncé dans la Remarque 5.1 qui peut se traduire par la proposition suivante.
46
CHAPITRE 5. L’ENSEMBLE N, ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
Proposition 5.18.
1. Si un ensemble infini s’injecte dans un ensemble F , l’ensemble d’arrivé F est infini.
2. De même si un ensemble E se surjecte sur un ensemble infini, l’ensemble de départ E est infini.
Ainsi, Z, Q, R, C sont infinis.
Ensembles dénombrables Cependant, on peut voir que l’infini de N est le plus petit infini qui soit.
C’est un infini sympathique, qu’on appelle l’infini dénombrable.
Definition 5.19. Les ensembles qui sont en bijection avec N sont dit dénombrables. On note ›0 leur
cardinal.
L’exercice 2.13 montre que Z et N2 sont dénombrables. On s’attend donc à ce que Q le soit aussi.
Pour s’assurer qu’un ensemble infini est dénombrable, on utilise une nouvelle version adéquate de la
Remarque 5.1
Proposition 5.20.
1. Si un ensemble E s’injecte dans un ensemble dénombrable, l’ensemble de départ est fini ou dénombrable.
2. Si un ensemble dénombrable se surjecte sur un ensemble, l’ensemble d’arrivée est fini ou dénombrable.
Ainsi, d’après l’exercice 2.14, Q est dénombrable.
Proposition 5.21. Une union au plus dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Un produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable.
Ensembles non dénombrables NN , R, P(N) ne sont pas dénombrables, comme le montre un procédé
diagonal de Cantor. Toutefois ils sont équipotents, et on note 2›0 leur cardinal. La proposition suivante
montre qu’il existe une infinité d’infinis !
Théorème 5.22. (de Cantor) Pour tout ensemble M , il n’existe pas d’injection de P(M ) dans M .
Ainsi Card(M ) < Card(P(M )).
Démonstration. Supposons qu’il existe une injection f : P(M ) æ M . On construit alors une surjection g
de M dans P(M ) de la manière suivante : si x œ
/ f (P(M )), on définit g(x) = {x} et si x œ f (P(M )), on
définit g(x) = f {≠1} ({x}).
On pose N = {x œ M, x œ
/ g(x)}. Clairement N est une partie de M , donc N œ P(M ). Comme g est
surjective, il existe x0 œ M tel que g(x0 ) = N . Alors, de deux choses l’une, soit x0 œ N , soit x0 œ
/ N . Mais
chaque cas abouti clairement à une contradiction.
On a donc montré par l’absurde qu’il n’existe pas d’injection de P(M ) dans M .
q
A propos de la notation
a On a vu que cette notation a du sens dans le cas où I est fini : si on
iœI i
ajoute un nombre fini déléments, la somme reste finie, et l’ordre de la sommation n’a pas d’importance.
Passer à une somme infini déléments n’est pas un problème aisé.
Dans le cas où l’on cherche à calculer la somme d’un nombre dénombrable de nombres, disons
(ai , i œ N), on est amené à définir la notion de série convergente qui correspond à la somme dans l’ordre
qŒ
des ai lorsqu’elle est finie. On utilise la notation
a pour indiquer la somme d’une série convergente.
i=1 i
Lorsque l’ordre de la sommation ne change pas le résultat obtenu, on parle de famille sommable et on
q
utilise la notation iœNú ai .
Dans le cas où l’on cherche à sommer sur un ensemble non
s dénombrable, comme un intervalle de
R ou bien R tout entier, le signe utilisé devient le signe intégral . Il existe plusieurs notions d’intégrales,
l’intégrale de Riemann et celle de Lebesgue par exemple.
5.6. EXERCICES
5.6
47
Exercices
Exercice 5.1. ⌥ « Il n’y a que 10 sortes de personnes : ceux qui savent compter en binaire et les autres ».
2
2
Écrire 1, 2, 5 et 10 en base 2. Écrire en base 10 les entiers 1001 et 111 .
Exercice 5.2. ⌥ Montrer par récurrence qu’il existe un entier n0 (à préciser) tel que
’n Ø n0 , 2n Ø (n + 2)2 .
Exercice 5.3. Pour tout n Ø 2, on considère la propriété P (n) : « n points distincts du plan sont toujours
alignés ». Où est l’erreur dans la démonstration par récurrence ci-dessous ?
1. Initialisation. P (2) est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
2. Hérédité. Supposons que P (n) est vraie. Montrons alors que P (n + 1) est vraie.
Soit A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence, A1 , A2 , . . . , An
sont alignés sur une droite d, et A2 , . . . , An , An+1 sont alignés sur une droite dÕ . Les deux droites
d et dÕ ayant n ≠ 1 points communs A2 , . . . , An sont confondues. Donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont
alignés, ce qui montre que P (n + 1) est vraie.
3. Conclusion. La propriété P (n) est vraie pour tout n Ø 2.
Exercice 5.4. W Sur les 1026 élèves d’un lycée, 763 suivent des cours d’anglais, 318 ceux d’allemand, 668
ceux d’espagnol. Parmi eux, 470 apprennent au moins l’anglais et l’espagnol, 186 apprennent au moins
l’anglais et l’allemand et 86 apprennent au moins l’allemand et l’espagnol. Enfin, 6 d’entre eux apprennent
les trois langues. Combien n’apprennent aucune de ces trois langues ? Combien d’élèves font uniquement
de l’anglais et de l’espagnol ?
Exercice 5.5. Soit E un ensemble à n éléments, et A une partie de E à p éléments. Quel est le nombre
de parties de E qui contiennent un et un seul élément de A ?
Exercice 5.6. On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 32 cartes.
1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
2. Combien y a-t-il de mains comprenant un as ?
3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
Exercice 5.7. ⌥ Ecrire les quantités suivantes en utilisant les symboles
ou
.
1. 1 ◊ 2 + 2 ◊ 3 + . . . + (n ≠ 1) ◊ n
2. (1 ≠ 21 ) ◊ (1 ≠ 13 ) ◊ . . . ◊ (1 ≠ n1 )
3. 2 ◊ 4 ◊ 6 ◊ . . . ◊ 2n
4. 1 ◊ 3 ◊ 5 ◊ . . . ◊ (2n + 1)
5. 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
... +
1
2n
Exercice 5.8. ⌥ Démontrer les identités suivantes.
! " !
"
!
" !n≠2"
1. nk = n≠2
+ 2 n≠2
k
k≠1 + k≠2 , où k et n sont deux entiers naturels tels que 2 Æ k Æ n.
! "
!
"
2. nk = nk n≠1
k≠1 , où k et n sont deux entiers naturels tels que 1 Æ k Æ n.
! "!
" !p"!n"
3. nk n≠k
p≠k = k p , où k, p et n sont trois entiers naturels tels que 0 Æ k Æ p Æ n.
! "
n!
Exercice 5.9. Démontrer la formule de Pascal en utilisant la formule nk = k!(n≠k)!
.
Exercice 5.10. Soit n et m deux entiers naturels tels que m Æ n. Montrer par récurrence que
k ! "!
"
q
k n≠k
j m≠j pour tout entier naturel k Æ n.
j=0
Exercice 5.11. F Soit n un entier naturel.
1. Développer (1 + x)n . En déduire une expression simple de
n ! "
q
n
k=0
k
.
!n"
m
=
48
CHAPITRE 5. L’ENSEMBLE N, ENSEMBLES FINIS ET CARDINAUX
2. Calculer la dérivée de x ‘æ (1 + x)n de deux façons différentes : avec l’expression développée et
n
! "
q
l’expression non-développée de (1 + x)n . En déduire une expression simple de
k nk .
3. Calculer
k=0
s1
(1 + x) dx de deux façons différentes : avec l’expression développée et l’expression
n
! n"
q
1
non-développée de (1 + x)n . En déduire une expression simple de
k+1 k .
n
0
k=0
Exercice 5.12. ⌥ Montrer par récurrence que
n
q
k=1
k 2 = 16 n(n + 1)(2n + 1) pour tout entier naturel n.
Exercice 5.13. Soit n un entier naturel. On pose S2 =
n
q
k 2 et S =
k=0
n
q
k=0
(k + 1)3 ≠ k 3 .
1. Développer (k + 1)3 ≠ k 3 . En déduire une expression de S en fonction de S2 et n
2. Simplifier S par télescopage de ses termes. En déduire une expression de S en fonction de n.
3. Déduire des deux questions précédentes une formule exprimant S2 en fonction de n.
n
n
q
q
Exercice 5.14. F Soit n un entier naturel. On pose S2 =
k 2 et S3 =
k3 .
k=0
k=0
1. En faisant le changement d’indice i = n ≠ k dans S3 , exprimer S3 en fonction de n et S2 .
2. En utilisant la formule exprimant S2 en fonction de n (donnée dans le cours), exprimer S3 en
fonction de n.
n
r
Exercice 5.15. Soit un entier n Ø 2. Simplifier le produit
(1 ≠ k1 ).
k=2
Exercice 5.16.
1.
n
ÿ
k=1
W
Calculer les sommes suivantes.
2k ≠ 3k 2
Exercice 5.17.
W
2.
n+1
ÿ
k2
3.
k=5
n
ÿ
(k + 3)3
k=1
4.
n
ÿ
k=1
(n + 1 ≠ k)2
Calculer les sommes suivantes.
1.
n ÿ
n
ÿ
i=1 j=1
ij
2.
n ÿ
i
ÿ
i=1 j=1
(i ≠ 1)j
3.
n ÿ
n
ÿ
i=1 j=i
i(j + 1)
5.
n
ÿ
k=≠n
|k + 3|
Chapitre 6
Groupes
“Les mathématiques ne sont qu’une histoire de groupes” – Henri Poincaré
6.1
Groupes
Définition
Soit G un ensemble muni d’une loi de composition interne ú, c’est-à-dire une application de G ◊ G
dans G. On dit que (G, ú) est un groupe lorsque les trois conditions suivantes sont réalisées :
(g1) La loi de composition ú est associative : ’x, y, z œ G, (x ú y) ú z = x ú (y ú z) ;
(g2) La loi de composition ú possède un élément neutre : ÷e œ G, ’x œ G, x ú e = e ú x = x ;
(g3) Tout élément de G possède un symétrique pour ú : ’x œ G, ÷y œ G, x ú y = y ú x = e ;
Un groupe est abélien (on dit aussi commutatif ) lorsque sa loi de composition est commutative :
’x, y œ G, x ú y = y ú x ; dans ce cas on privilégie souvent la notation additive +, on note alors 0 l’élément
neutre et ≠x le symétrique de x.
Proposition 6.1. F Soit (G, ú) un groupe, alors l’élément neutre est unique et chaque élément possède
un unique symétrique.
Avant de donner des exemples, quelques remarques d’ordre purement calculatoire sur les groupes. Sauf
avis contraire, on utilise désormais la notation multiplicative, donc ab désigne le composé des éléments a
et b d’un groupe.
Proposition 6.2. F Soit (G, .) un groupe. Alors pour tous éléments a, b et x de G :
1. Si ax = bx, alors a = b (simplification à droite).
2. Si xa = xb, alors a = b (simplification à gauche).
3. Le symétrique de ab est b≠1 a≠1 .
Donnons quelques exemples de groupes concernant les ensembles de nombres usuels.
L’addition usuelle (sur N, Z, Q, R ou C) est associative et a un élément neutre noté 0. Le symétrique
pour l’addition est couramment appelé « opposé » ; dans N il fait défaut : 1 n’a pas d’opposé (dans N),
donc (N, +) n’est pas un groupe. Dans Z (puis dans les ensembles usuels bien connus Q, R, C), l’opposé
existe. Ainsi (Z, +) est un groupe abélien pour l’addition.
Pour la multiplication usuelle, 0 n’a jamais d’inverse. En revanche, dans le sous-ensemble formé des
éléments non nuls, la multiplication est bien définie, est associative et elle possède un élément neutre 1. Le
point à problème est l’existence de l’inverse (le symétrique en notation multiplicative). Dans Zú , 2 n’a pas
d’inverse ; (Zú , ◊) n’est donc pas un groupe. En revanche, dans (Qú , ◊), (Rú , ◊) ou (Cú , ◊), l’existence de
l’inverse ne pose pas de problème. Tous ces ensembles sont donc des groupes multiplicatifs.
49
50
CHAPITRE 6. GROUPES
Ordre d’un groupe
L’ordre d’un groupe est simplement son cardinal !
Groupes produits
Soit (G, ı) et (H, ) deux groupes d’éléments neutres respectifs eG et eH . Alors le produit cartésien
G◊H munit de la loi de composition interne · définie pour tout (a, b), (aÕ , bÕ ) œ G◊H par (a, b)·(aÕ , bÕ ) =
(a ı aÕ , b bÕ ) est un groupe d’élément neutre (eG , eH ). On dit que c’est le groupe produit de G et de H.
6.2
Sous-groupes
Soit (G, .) un groupe. On dit qu’un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G lorsque les trois
conditions suivantes sont vérifiées :
(sg1) L’ensemble H n’est pas vide.
(sg2) Pour tous x, y œ H, le produit x.y est aussi dans H.
(sg3) Pour tout x de H , l’inverse x≠1 de x est aussi dans H.
Avant de commenter ce que cela signifie, donnons tout de suite une proposition très simple, et utile en
pratique pour vérifier qu’un sous-ensemble d’un groupe est un sous-groupe.
Proposition 6.3. F Soit (G, .) un groupe. Un sous-ensemble H de G est un sous-groupe de G si et
seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :
(sg1’) L’ensemble H contient l’élément neutre.
(sg4) Pour tous x, y de H, le produit x.y ≠1 est aussi dans H.
Théorème 6.4. F Soit (G, .) un groupe et H un sous-groupe de G. La restriction à H de la loi de
composition sur G fait de (H, .) un groupe.
Proposition 6.5.
‹ F Soit (G, .) un groupe, et H un ensemble non vide de sous-groupes de G.
L’intersection
H est un sous-groupe de G
HœH
Sous-groupe engendré
Soit (G, .) un groupe et S une partie non-vide. Remarquons que G est un sous-groupe de G qui contient
S. Ainsi l’ensemble HS des sous-groupes de G contenant S est non vide. Le sous-groupe engendré par
S noté ÈSÍ est par définition l’intersection des sous-groupes de G contenant S.
ÈSÍ =
‹
HœHS
H
où HS
est l’ensemble des sous-groupes de G contenant S.
D’après la proposition ci-dessus il s’agit bien d’un sous-groupe. Cette définition fait de ce sous-groupe
le plus petit sous-groupe contenant S (au sens de l’inclusion).
Lorsqu’il existe un élément a qui engendre un groupe fini G, c’est à dire G = È{a}Í = ÈaÍ, on dit que
G est cyclique et que a est un générateur de G.
Ordre d’un élément
Soit (G, .) un groupe d’élément neutre e, et a un élément de G. Si l’ensemble {m œ Nú , am = e} est
vide on dit que a est d’ordre infini, sinon on dit que a est d’ordre fini égal à n = min{m œ Nú , am = e}.
La proposition suivante montre que l’ordre de a est l’ordre du sous-groupe È{a}Í engendré par a.
Proposition 6.6. F Soit (G, .) un groupe d’élément neutre e, et a un élément de G d’ordre fini n, alors
È{a}Í = {e, a, ...., an≠1 }.
Théorème 6.7. (de Lagrange)F Soit (G, .) un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors l’ordre (le
nombre d’éléments) de H divise l’ordre (le nombre d’éléments) de G.
6.3. EXEMPLES FONDAMENTAUX DE GROUPES
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Démonstration. La démonstration repose sur l’introduction de la relation ƒ définie pour tous éléments
x, y de G par :
x ƒ y si et seulement si xy ≠1 œ H.
Le plan est le suivant : 1) On vérifie que ƒ est une relation d’équivalence.
2) On vérifie que toutes
les classes d’équivalence pour la relation ƒ sont en bijection avec H.
3) On conclut en quelques mots.
Corollaire 6.8. Soit (G, .) un groupe d’ordre fini m et d’élément neutre e. Pour tout a œ G on a : am = e.
6.3
6.3.1
Exemples fondamentaux de groupes
Le groupe (Z, +)
D’abord, Z possède une autre opération, la multiplication, qui est une loi de composition interne
associative, commutative, possédant un élément neutre 1, mais seulement deux éléments inversibles 1 et
≠1. Ainsi (Z, ◊) n’est pas un groupe. De plus la multiplication est distributive sur l’addition. On dit
que (Z, +, ◊) est un anneau, c’est un ensemble dans lequel on peut se poser la question de la résolution
d’équations du type ax ≠ by = c. ou du type ax2 + bx + c = 0 ou encore du type x5 + y 5 = z 5 .
Théorème 6.9. (Division euclidienne) Soit a œ Z et b œ Nú . Il existe un couple unique (q, r) œ Z2
vérifiant a = bq + r avec 0 Æ r < b. On dit que q est le quotient et r le reste de la division euclidienne de
a par b.
Le résultat reste vrai avec b œ Zú et 0 Æ r < |b|.
Les sous-groupes de Z
La première conséquence de la division euclidienne dans Z concerne la forme des sous-groupes de Z.
Théorème 6.10. F Soit H une partie de Z, H est un sous-groupe de Z ssi il existe n œ N tel que
H = nZ. De plus n est unique.
6.3.2
Les groupes (Z/nZ, +) et ((Z/nZ)ú , ◊)
On a déjà remarqué que (Z, +) est un groupe d’élément neutre 0. Z est aussi muni d’une autre loi de
composition interne, ◊ associative, d’élément neutre 1.
Fixons n œ Nú , et considérons la relation de congruence modulo n définie sur Z par
’a, b œ Z,
a©b
mod (n)
si et seulement si
n divise (b ≠ a).
Lemme 6.11. 1. La relation © mod(n) est une relation d’équivalence sur Z.
2. ’a, b, aÕ , bÕ œ Z si a © aÕ mod (n) et b © bÕ mod (n) alors (a + b) © (aÕ + bÕ ) mod (n) et ab © aÕ bÕ
mod (n).
On définit Z/nZ comme l’ensemble quotient de Z par la relation déquivalence ©
le lemme, les opérations + et ◊ se transportent sur Z/nZ en posant :
’a, b œ Z/nZ,
Proposition 6.12.
a + b = a + b,
mod (n). D’après
a ◊ b = a ◊ b.
1. Z/nZ = {0, 1, ..., n ≠ 1} ;
2. (Z/nZ, +) est un groupe abélien d’élément neutre 0 ;
3. la loi de composition interne ◊ sur Z/nZ est associative, commutative, d’élément neutre 1.
Un élément a de Z/nZ est inversible pour la loi ◊ s’il existe b dans Z/nZ tel que a ◊ b = 1.
L’ensemble (Z/nZ)ú est défini comme l’ensemble des éléments inversible pour la loi ◊ dans Z/nZ
Proposition 6.13. ((Z/nZ)ú , ◊) est un groupe commutatif.
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CHAPITRE 6. GROUPES
Attention aux réflexes ! ! !
— L’inverse de a n’est certainement pas 1/a qui n’a pas de sens en général ! Ainsi l’inverse de 2 dans
Z/5Z est 3.
— La règle de simplification
pour tout a ”= 0,
a.b = a.c =∆ b = c,
n’est pas valide en général ! Ainsi dans Z/6Z on a 3.0 = 3.2 et pourtant 0 ”= 2. Pour avoir la règle
de simplification, il faut se restreindre à a dans (Z/nZ)ú !
6.3.3
Les groupes de permutation
Outre les groupes Z/nZ, les groupes les plus directement utilisables sont sans doute ceux qui interviennent en géométrie. Ceux sont des groupes de transformations respectant telle ou telle propriété ;
ainsi les isométries, qui conservent les distances, ou les similitudes, qui conservent les angles. Ces groupes
constituent notre deuxième classe d’exemples.
Tous ces groupes ont le point commun d’avoir pour loi de composition la composition des applications
et d’être formés de bijections.
L’exemple suivant est donc fondamental.
Proposition 6.14. Soit E un ensemble. L’ensemble noté S(E) des bijections de E dans lui-même forme
un groupe pour la composition ¶. Son élément neutre est l’application identité IdE .
Cette proposition est une conséquence des résultats établis dans le chapitre 2.
Dans le cas où E est l’ensemble fini {1, ..., n}, on note Sn = S(E).
L’ensemble Sn des bijections de {1, ..., n}, s’appelle le groupe des permutations sur n éléments. Il
possède n! éléments. Rappelons que Id{1,...,n} et les transpositions tab sont des permutations particulières.
Pour n Ø 3, Sn est un exemple de groupe non commutatif. En effet si on choisit trois éléments distincts
a, b, c on a tab ¶ tbc ”= tbc ¶ tab , puisque tab ¶ tbc (c) = a alors que tbc ¶ tab (c) = b.
6.4
Morphismes de groupes
Soient (G, .) et (GÕ , ú) deux groupes. Une application g : G æ GÕ est un morphisme de groupe si
pour tout x, y œ G, g(x.y) = g(x) ú g(y).
Proposition 6.15. F Soit g un morphisme d’un groupe (G, .), d’élément neutre e, vers un groupe (GÕ , ú),
d’élément neutre eÕ . Alors g(e) = eÕ et, pour tout élément x de G, g(x≠1 ) = (g(x))≠1 .
On appelle noyau du morphisme g d’un groupe (G, .), d’élément neutre e, vers un groupe (GÕ , ú),
d’élément neutre eÕ et on note Ker(g) l’ensemble
1
2
Ker(g) = {x œ G, g(x) = eÕ } = g {≠1} ({eÕ }) .
Proposition 6.16. F Soient (G, .) et (GÕ , ú) deux groupes. Notons e l’élément neutre de G.
Un morphisme g : G æ GÕ est injectif si et seulement si Ker(g) = {e}
Proposition 6.17. F Soit g : (G, .) æ (GÕ , ú) un morphisme de groupe d’éléments neutre respectifs e et
eÕ . Alors,
1. l’image de g, Im(g) = g(G) est un sous-groupe de GÕ et
2. le noyau de g, Ker(g) = g {≠1} ({eÕ }) = {x œ G, g(x) = eÕ } est un sous-groupe de G.
Morphisme canonique associé à un élément d’un groupe.
Soit (G, ·) un groupe et a un élément de G. L’application „a : Z æ G définie par récurrence par
„a (0) = e et pour n Ø 1, „a (n)
=an
(= a · .... · a (n fois))
„a (≠n) =a≠n (= a≠1 · .... · a≠1 (n fois))
est un morphisme du groupe (Z, +) dans le groupe (G, ·).
6.5. EXERCICES
53
Proposition 6.18. Soit G un groupe, a œ G et „a : Z æ G le morphisme canonique associé à a.
1. Le sous-groupe engendré par a est l’image de „a , ÈaÍ = Im(„a ).
2. Si G est d’ordre fini n, alors Im(„a ) = {e, a, ...., an≠1 } (qui est isomorphe à Z/nZ) et ker(„a ) = nZ.
6.5
Exercices
Exercice 6.1. ⌥ Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?
1. La soustraction est une loi de composition interne dans Z.
2. 0 est élément neutre de la soustraction dans Z.
3. La soustraction dans Z est associative.
4. 0 est élément neutre pour l’addition dans N.
5. L’addition est associative dans N.
Exercice 6.2. ⌥ Les ensembles suivants, munis de l’addition des réels sont-ils des groupes (oui ou non
et pourquoi) ? 1
1. {a/10n , a œ Z, n œ N}
2. {a/10n , a œ Z, n œ Z}
Ô
3. {a 2, a œ Z},
Ô
4. {a 2, a œ N},
Ô
Ô
5. {a 2 + b 3, a, b œ Z},
Ô
Ô
6. {a 2 + b 3, a œ Z, b œ N}.
Exercice 6.3. ⌥ Les ensembles suivants, munis de la multiplication des réels sont-ils des groupes (oui ou
non et pourquoi) ? 2
1. {1, ≠1}, 2. {1, ≠1, 1/2, 2}, 3. {2n , n œ Z}, 4. {a2n , a = ±1, n œ Z},
Exercice 6.4. ⌥ Les ensembles complexes munis de la multiplication sont-ils des groupes ? Pourquoi ? 3
1. (C, ◊),
2. ({1, ≠1}, ◊),
3. ({i, ≠i}, ◊),
4. ({0, 1, ≠1}, ◊),
5. ({1, i, ≠1, ≠i}, ◊).
Exercice 6.5. ⌥ Soit E l’ensemble des parties d’un ensemble à deux éléments, par exemple E = P({0, 1})
donc
E = {ÿ, {0}, {1}, {0, 1}}.
1. On considère la loi de composition ú sur l’ensemble E définie successivement par
(a) la réunion : A ú B = A fi B,
(b) l’intersection : A ú B = A fl B,
(c) la différence symétrique : A ú B = A B,
Ecrire dans chaque cas la table de composition de la loi. Indiquer s’il existe un élément neutre, si
la loi est associative, commutative et si l’ensemble muni de la loi est un groupe.
2. Même question en remplaçant E par l’ensemble des parties d’un ensemble quelconque.
Exercice 6.6. ⌥ Soit (G, ú) un groupe. Montrer qu’il existe un unique élément neutre et que pour chaque
x œ G il existe un unique symétrique pour la loi ú.
1. oui pour 1,2,5
2. oui pour 1,3,4
3. oui pour 2,5 ; dans 1,4 0 n’a pas d’inverse ; dans 3, il n’y a pas d’élément neutre.
54
CHAPITRE 6. GROUPES
Exercice 6.7. ⌥ Montrer que l’intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe, puis qu’une intersection quelconque de sous-groupes est un sous-groupe.
Exercice 6.8. ⌥ On considère le groupe additif (Z/5Z, +). Pour chaque a œ Z/5Z préciser l’ordre de a
et déterminer le groupe engendré par a noté ÈaÍ. Le groupe (Z/5Z, +) est-il cyclique ? Indiquez tous ses
générateurs.
Mêmes questions pour (Z/6Z, +) et (Z/8Z, +).
Exercice 6.9. F Quels sont les éléments de S3 , le groupe des permutations de {1, 2, 3} ? Ecrire la table
de loi de S3 . Déterminer les inverses des éléments de S3 ainsi que leur ordre. Le groupe S3 est-il cyclique ?
Montrer que S3 est engendré par l’ensemble {(1, 2); (1, 2, 3)}. Mêmes questions sur S4 , le groupe des
permutations de {1, 2, 3, 4}.
Exercice 6.10. Donner l’inverse de (2, 3) dans le groupe (R, +) ◊ (Rú , ·).
Donner la table du groupe (Z/2Z ◊ Z/2Z, +). Est-ce un groupe cyclique ?
Exercice 6.11. F
Soit (G, ·) un groupe et H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H fi K est
un sous-groupe de G si et seulement si H µ K ou K µ H.
Exercice 6.12. Soit (G, +) un groupe abélien et H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H + K :=
{h + k; h œ H, k œ K} est un sous-groupe de G.
Exercice 6.13. Soit (G, ·) un groupe. Soient a, b œ G, exprimer (ab)≠1 en fonction de a≠1 et b≠1 .
On note e l’élément neutre de G et on suppose ’a œ G, a · a = e. Que peut-on dire sur a≠1 ? En déduire
que (G, ·) est commutatif.
Exercice 6.14. Soit G un groupe d’ordre p premier. Montrer que G est cyclique.
Exercice 6.15. F On note (Z/nZ)ú l’ensemble des éléments inversibles de Z/nZ pour la loi ◊. Montrer
que ((Z/nZ)ú , ◊) est un groupe. Déterminer (Z/6Z)ú , (Z/7Z)ú et (Z/8Z)ú . Ces groupes sont-ils cycliques ?
Exercice 6.16. On considère le groupe G donné par
1. Déterminer b ı b ı c ı d.
2. Quel est l’ordre de G ?
3. Quel est l’élément neutre ?
4. Déterminer le symétrique de a.
5. Déterminer le sous groupe engendré par b, noté < b >.
6. Quel est l’ordre de b ?
7. Si H est un sous groupe de G, combien peut-il avoir d’éléments ?
8. Déterminer < a, b >, le sous groupe engendré par a et b.
6.5. EXERCICES
55
Exercice 6.17. On considère le groupe G donné par
1. Quel est l’ordre de G ?
2. Quel est l’élément neutre ?
3. Déterminer a ı b ı c ı d.
4. Déterminer le symétrique de a.
5. Déterminer le sous groupe engendré par d, noté < d >.
6. Quel est l’ordre de d ?
7. Si H est un sous groupe de G, combien peut-il avoir d’éléments ?
8. Déterminer < a, b >, le sous groupe engendré par a et b.
Exercice 6.18. ⌥ On considère le groupe (Cú , ◊) des nombres complexes non nuls muni de la multiplication. Les applications suivantes sont elles des automorphismes de (Cú , ◊) ? Si oui préciser le noyau et
l’image.
1. L’application qui à z œ Cú associe z 2 ;
2. L’application qui à z œ Cú associe 2z ;
3. L’application qui à z œ Cú associe z/z ;
4. L’application qui à z œ Cú associe 1/z.
Exercice 6.19. ⌥ Les applications suivantes sont-elles des morphismes de groupes ? Si oui préciser l’image
et le noyau.
1. L’application qui à x œ R associe e(1+i)x de (R, +) dans (Cú , ◊) ;
2. L’application qui à x œ R associe (1 + i)x de (R, +) dans (C, +) ;
3. L’application qui à x œ R associe (1 + i)x de (R, +) dans (Cú , ◊) ;
4. L’application qui à x œ R associe xeix de (R, +) dans (C, +) ;
5. L’application qui à x œ R associe (x + i)eix de (R, +) dans (Cú , ◊) ;
56
CHAPITRE 6. GROUPES
Exercice 6.20. ⌥ Soit (G, .) et (GÕ , ú) deux groupes d’éléments neutres respectifs e et eÕ et soit g : G æ GÕ
une application.
1. On suppose que g est un morphisme. Montrer que
(a) g(e) = eÕ ,
(b) pour tout x dans G, g(x≠1 ) = g(x)
≠1
,
(c) l’image de g est un sous-groupe de G et son noyau est un sous-groupe de G.
Õ
2. Montrer que g est un isomorphisme de groupe si et seulement si ker g = {e}.
3. On suppose que g : G æ GÕ est un isomorphisme de groupe. Montrer pour tout a œ G, les ordres
de a et de g(a) sont égaux.
Exercice 6.21. F Montrer que ({≠1, 1}, .) est un groupe isomorphe à (Z/2Z, +) et ({≠1, 1, i, ≠i}, .) est
un groupe isomorphe à (Z/4Z, +).
Exercice 6.22. Soit G un groupe d’ordre 4. Montrer que si pour tout a œ G, a · a = e alors G est
isomorphe à (Z/2Z ◊ Z/2Z, +). Sinon montrer que G est cyclique et isomorphe à (Z/4Z, +).
Exercice 6.23. Soit (G, ·) un groupe fini de cardinal n. Soit a œ G. Montrer que l’application f : Z æ G
définie par f (k) = ak , pour tout k œ Z est un homomorphisme de groupe qui n’est pas injectif.
En déduire qu’il existe k0 œ Nú tel que Ker(f ) = k0 Z.
Montrer que si ak = e alors k0 divise k, et que k0 = min{k œ Nú ; ak = e} (on dit que a est d’ordre k0 ).
Montrer que le sous groupe Im(f ) de G possède k0 éléments, e, a, . . . , ak0 ≠1 . En déduire que an = e.