Polycopié

Méthodologie des mathématiques
L1 — Université Paris-Est Marne-la-Vallée
2015 – 2016
Magdalena KOBYLANSKI
Miguel MARTINEZ

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Organisation du travail et contrôle
des connaissances
Apprentissage du cours
Comment apprendre le cours ?
1. Relire : relire rapidement le cours dans ses trois versions : les notes manuscrites prises en amphi,
la version imprimée du cours projeté, le polycopié.
2. Synthèse : être capable de dire quelles sont les notions abordées en cours en 30 secondes chrono.
3. Repérage : quels sont les définitions, les propositions et théorèmes.
4. Comprendre : quels sont les enjeux des notions, théorèmes et propositions abordés. Pouvoir en
parler en moins de 2 minutes en termes non techniques. Tout lien, toute idée de lien même farfelue
est bienvenue.
5. Apprendre : savoir par coeur les définitions, à la virgule près. Ici, pas de place pour l’à peu près.
6. Relire encore : maintenant on rentre dans la technique et on est prêt pour la relecture fouillée
des démonstrations...
7. Repérer encore : repérer la structure de la démonstration, les notions et les propositions utilisées,
les idées principales, la structure logique, et une fois encore faire des liens : pourquoi cette structure
de preuve, est-ce qu’elle fait penser à une preuve, où sont les difficultés techniques...
8. Apprendre encore : refaire les démonstrations un stylo à la main. Imaginez que c’est vous le
professeur et que vous êtes en train d’expliquer la démonstration.
Séances de TD
Comment préparer la séance de Travaux Dirigés ?
1. Apprendre le cours. Chaque chargé de TD est libre de vous interroger à tout moment, à l’oral
ou par écrit, sur le cours. Ces interrogations peuvent être notées et cette note peut rentrer dans
le contrôle continu. Les définitions indiquées doivent en particulier être connues sur le bout des
doigts.
2. Exercices Wims. Des exercices interactifs simples sont proposées et si vous n’avez pas réussi à
faire ceux qui sont demandés, le chargé de TD a le droit de ne pas vous accepter.
3. Exercices du polycopié. Certains exercices du polycopié doivent être préparés et rédigés à l’écrit.
Les exercices ⌥sont des exercices faciles, qui peuvent être fait sans aide.
Les exercices Fsont à traiter obligatoirement en TD.
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Exercices Wims
Pour chaque chapitre du cours, des exercices Wims vous sont proposés sur la plate-forme d’enseigne-
ment en ligne. Ils sont répartis en 3 niveaux de difficulté.
– Ceux de niveau basique sont des exercices d’application directe du cours. Vous devez les faire
juste après le cours en amphi, et avant le TD associé. Ils vous aideront à apprendre certains
concepts de base du cours.
– Ceux de niveau intermédiaire demandent plus de savoir-faire et de réflexion et nécessitent souvent
de prendre un papier et un crayon. Ils sont associés à des exercices de la feuille de TD marqués W.
Ces exercices sont à faire après avoir vu les exercices correspondants en TD. Cela vous permettra
de vérifier que vous les avez bien assimilés.
Contrôle des connaissances
Les connaissances sont contrôlées lors des partiels du lundi matin. Le programme des contrôles est
communiqué la semaine qui précède. Ils portent à la fois sur les cours, les TD et les exercices Wims.
— Toutes les définitions, les propositions, et tous les théorèmes sont à connaître.
— Les démonstrations des énoncés Fsont également exigibles.
Par ailleurs chaque chargé de TD est libre d’organiser des interrogations écrites.

Chapitre 1
Ensembles
“Personne ne pourra nous chasser du paradis que Cantor a créé pour nous.”
Hilbert – 1925
Le langage ensembliste est depuis Cantor celui utilisé par les mathématiciens. Aujourd’hui, toute la
théorie mathématique est construite à partir de la théorie des ensembles. Ces derniers constituent donc la
notion première des mathématiques : tous les autres objets mathématiques sont définis (ou peuvent l’être)
à partir des ensembles, de quelques axiomes, et des règles de la logique.
Nous utilisons la théorie na´ ’ive des ensembles.
1.1 Définitions
Ensemble
Un ensemble est une collection d’objets tous définis et tous distincts qui peuvent être des objets
bien réels (par exemple les étudiants de cet amphi) ou des objets abstraits (comme des nombres, des
fonctions...). En général, on note les ensembles avec une majuscule A,B,...
Les objets constituants un ensemble sont appelés les éléments, on les note en général à l’aide d’une
minuscule a,x... et on écrit : “aœA” pour dire que “aest un élément de l’ensemble A”.
Un ensemble qui ne contient qu’un élément, disons a,estlesingleton {a}. C’est un objet mathé-
matique qui est différent de l’élément a.
Description d’un ensemble – Afin de décrire un ensemble on utilise des accolades. Par exemple
{1,2}se lit “l’ensemble dont les éléments sont 1et 2”. C’est le même e n s e mble que {2,1}, ou encore que
l’ensemble {1,1,2}.
— Les ensembles peuvent être décrits en extension. Dans ce cas entre les accolades on énumère
tous les éléments. C’est possible quand les éléments de l’ensemble ne sont pas trop nombreux. Par
exemple on considère : A={0,2,4,6}.
— Ils peuvent être décrits aussi en compréhension. Après l’accolade, on se donne une variable qui
va décrire les éléments de l’ensemble, puis on indique les propriétés de cette variable.L’ensemble A
précédent peut ainsi s’écrire {n, n est un entier pair et nÆ6}.
— Enfin, les ensembles peuvent être représentés sous forme paramétrique. En notant I={0,1,2,3},
on peut ainsi écrire A={2n, n œI}. Plus généralement, si Iest un ensemble et si pour tout iœI,
aiest un élément d’un ensemble E, alors l’ensemble A={ai,i œI}est un sous-ensemble de E
paramétré par l’ensemble I.
Question 1.1. Combien d’éléments possède un ensemble A={ai,iœI}paramétré par I={1,2,3,4,5}?
Un ensemble peut-il toujours être paramétré ?
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