Dérivée et calcul différentiel Dérivée en un point Limite et dérivée

Dérivée et calcul différentiel
Dérivée en un point
Limite et dérivée
On dit que la fonction f est dérivable au point a si la limite suivante est définie :
lim
f(a+h) − f(a)
h→0
h
= f’(a).
Sens de variation de la fonction
Optimum
On appelle optimum, soit un minimum, soit un maximum.
Optimiser un système : se ramener à trouver un optimum d’une fonction mathématique.
Méthode :
« Etudier les optima de la fonction f »
 Dériver
 Trouver les racines de la dérivée
 Vérifier pour chaque racine s’il s’agit
 D’un minimum (local ou global)
Dérivée négative puis positive.
 D’un maximum (local ou global)
Dérivée positive puis négative.
 D’un point d’inflexion
Dérivée ne change pas de signe.
Dérivée à droite et à gauche
On appelle dérive à droite (si elle existe) de la fonction f au point a, la limite suivante :
lim+
h→0
f(a+h)−f(a)
h
= fd’(a).
Respectivement à gauche
lim−
h→0
f(a+h)−f(a)
h
Dérivée seconde
convexe
Dérivée première croissante.
Dérivée seconde positive.
= fg’(a).
concave
Dérivée première décroissante.
Dérivée seconde négative.
Pour le point d’inflexion, la dérivée est nulle et la dérivée seconde change de signe.
Tangente
Une fonction est convexe (resp. concave) si sa courbe est située en-dessous (resp. au-dessus)
de ses tangentes.
Une fonction admet un point d’inflexion si la tangente coupe la courbe en ce point, la
dérivée seconde s’annule.
Tableau des dérivées
K
0
X
1
xn
1
x
n xn-1
1
−
x²
1
√x
1
xn
cos(x)
2√x
n
− n+1
x
– sin(x)
sin(x)
cos(x)
sin(x)
tan(x) = cos(x)
1
cos²(x)
= 1 + tan²(x)
cos(ax + b)
– a sin(ax + b)
sin(ax + b)
a cos(ax + b)
ex
ex
ax = exln(a)
ln(a) exln(a) = ax ln(a)
ln(x)
1
x
fog
g’ × f’(g)
arcos(x)
arcsin(x)
arctan(x)
cosh =
sinh =
ex +e−x
2
ex −e−x
2
tanh
argcosh
argsinh
−1
√1 − x²
1
√1 − x²
1
1 + x²
ex − e−x
2
x
e + e−x
2
1 – tanh
1
√x² − 1
1
√x² + 1
1
1−x
argtanh
Or
sin(arcsin(x) = x
arcsin’(x) × cos(arcsin(x)) = 1
cos²(x) + sin²(x) = 1
arcsin’(x) × √1 − sin ²(arcsin(x)) = 1
1
arcsin²(x) =
√1 − x²
Or
cosh(argcosh(x) = x
argcosh’(x) × sinh(argcosh(x)) = 1
cosh² - sinh² = 1
argcosh’(x) × √cosh2 (argcosh(x)) − 1 = 1
argcosh’(x) =
1
√x² − 1
Existence d’un extremum sur un intervalle
Théorème des accroissements finis
Soit f une fonction continue et dérivable sur [a ; b] ⊂ ℝ.
∃ c ∈ [a ; b] / f’(c) =
f(b) − f(a)
b−a
Théorème de Rolle
Considérons le cas où f(a) = f(b) = 0.
Soit f une fonction continue et dérivable sur [a ; b] ⊂ ℝ.
∃ c ∈ [a ; b] / f’(c) = 0
Classe et dérivé d’ordre n
Fonction continue, dérivable dont la dérivée n’est pas continue sur un intervalle, classe C0.
Fonction continue, dérivable dont la dérivée 1ière est continue est au moins de classe C1.
Fonction C∞ est infiniment continue et dérivable.
Préciser l’intervalle.
Notion différentielle
Différentielle de f :
df = f’(x) dx avec dx déplacement infinitésimal
df
D’où
f’(x) = dx
On peut écrire :
d
f’(x) = dx f
Cette formule permet d’écrire :
(u + v)’ = u’ + v’
d
du dv
(u + v)’ = dx + dx
dx
d df
f’’(x) = (f’)’(x) = dx
d²f
f’’(x) = dx²
dx
Dérivation logarithmique
y = x ex
On passé au ln.
ln(y) = ln(x ex)
ln(y) = ln(x) + x
En dérivant chaque terme.
y′ 1
=x+1
y
D’où
1
y’ = (x + 1) y
1
y’ = (x + 1) xex
y’ = (1 + x)ex
Notons f : x  x².
La fonction race est sa bijection réciproque sur ℝ∗+ .
f(f-1(x)) = x
(√x)² = x
[(√x)²]’ = 1 [f(f-1(x))] = 1
2(√x)’ √x = 1
1
(√x)’ = 2 x
√