Chapitre V
Espaces préhilbertiens réels et
endomorphismes des espaces euclidiens
Table des matières
Partie A : Généralités 2
1. Rappels sur le produit scalaire ................................... 2
2. Rappels et compléments sur l’orthogonalité ............................ 3
Partie B : Projection orthogonale 5
1. Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension nie ............. 6
2. Distance à un sous-espace de dimension nie ........................... 6
3. Suites totales ............................................. 7
Partie C : Endomorphismes d’un espace euclidien 8
1. Endomorphismes symétriques ................................... 8
2. Réduction des endomorphismes symétriques ........................... 9
3. Isométries vectorielles ........................................ 10
4. Réduction des isométries vectorielles ................................ 11
1
Dans ce chapitre, Edésigne un espace vectoriel réel (pas forcément de dimension nie).
Généralités
Partie A
Partie A
1. Rappels sur le produit scalaire
a. Produit scalaire
Dénition 1.
Dénition 1. gProduit scalaireProduit scalaire
Une application φ:E×ERest appelée produit scalaire sur Esi φest une forme bilinéaire
symétrique dénie positive de E×Edans R.
Remarque 1.
Remarque 1.
Usuellement, on note un produit scalaire de deux vecteurs (u|v),u|v,u, vou même u·v.
Dans la suite, on utilisera principalement la notation (·|·).
Dénition 2.
Dénition 2. gEspace préhilbertienEspace préhilbertien
Soit (·|·)un produit scalaire sur E. Le couple (E, (·|·)), ou simplement Es’il n’y a pas d’ambi-
guïté, est appelé espace préhilbertien.
Si de plus Eest de dimension nie, on dit que (E, (·|·)) est un espace euclidien.
b. Norme associée à un produit scalaire
Dénition 3.
Dénition 3. gNorme associé au produit scalaireNorme associé au produit scalaire
Soit Eun espace préhilbertien réel. On note ∥·∥et on appelle norme associée au produit
scalaire (·|·), l’application :
∥·∥:ER+
x7→ ∥x=(x|x).
De plus, on note d:E×ER+et on appelle distance associée à ∥ · ∥, l’application dénie,
pour x, y E, par :
d(x, y) = xy.
2
Théorème 1.
Théorème 1. gInégalité de Cauchy-SchwarzInégalité de Cauchy-Schwarz
Soit Eun espace préhilbertien réel. On a l’inégalité suivante, pour tous x, y E:
|(x|y)| ≤ ∥x∥∥y
Et de plus, on a |(x|y)|=x∥∥ysi, et seulement si, xet ysont colinéaires.
Proposition 1.
Proposition 1.
Soit Eun espace préhilbertien réel. La norme ∥·∥ associée au produit scalaire est une norme
sur E.
2. Rappels et compléments sur l’orthogonalité
Dénition 4.
Dénition 4. gOrthogonalitéOrthogonalité
Soit Eun espace préhilbertien réel.
Soit x, y E. On dit que xet ysont orthogonaux et on note xysi (x|y) = 0.
Soit AE. On note Aet on appelle orthogonal de A, l’ensemble :
A={xE| aA, (a|x)=0}.
Soit F, G des sous-espaces vectoriels de E. On dit que Fet Gsont orthogonaux et on
note FGsi, pour tout xFet tout yG,(x|y) = 0. Autrement dit si FG(ou
de manière équivalente, GF).
Exemple 1.
Exemple 1.
Dans un espace préhilbertien réel E,ona:E={0E}et {0E}=E.
Dans R2muni de son produit scalaire canonique, {(1,1)}={(x, x)|xR}.
Dans R3muni de son produit scalaire canonique,
Vect((1,1,1),(1,2,3)) Vect(1,2,1).
Dénition 5.
Dénition 5. gFamille orthogonale/orthonormaleFamille orthogonale/orthonormale
Soit Eun espace préhilbertien réel et F= (xi)iIune famille de vecteurs de E. On dit que F
est :
orthogonale si, pour tous i, j Iavec i̸=j,
(xi|xj) = 0.
orthonormale si, pour tous i, j I,
(xi|xj) = δij ={0si i̸=j
1si i=j
3
On dit qu’une famille de Eest une base orthonormale si c’est une base et une famille ortho-
normale.
Proposition 2.
Proposition 2. gOrthonormalisation de Gram-SchmidtOrthonormalisation de Gram-Schmidt
Soit Eun espace préhilbertien réel et (x1, ..., xn)une famille libre de E. Alors il existe une
famille (e1, ..., en)orthonormale de Etelle que, pour tout kJ1, nK:
Vect(e1, ..., ek) = Vect(x1, ..., xk).
Plus précisément, on peut construire un telle famille (e1, ..., en)par le procédé de Gram-Schmidt :
pour k= 1, ..., n
ek=εk
εkεk=xk
k1
i=1
(xk|ei)ei.
Corollaire 1.
Corollaire 1.
Soit Eun espace préhilbertien réel et Fun sous-espace vectoriel de dimension nie. Alors F
admet une base orthonormale.
Remarque 2.
Remarque 2.
Pour A, B Eet Fun sous-espace vectoriel de E, on a les propriétés suivantes :
Si ABalors BA,
A(A).
Dénition 6.
Dénition 6. gSomme directe orthogonaleSomme directe orthogonale
Soit Eun espace préhilbertien réel et F, G des sous-espaces vectoriels de E. On dit que Fet G
sont en somme directe orthogonale si Fet Gsont en somme directe et FG.
Dans ce cas, on note alors F
Gla somme FG.
Proposition 3.
Proposition 3.
Soit Eun espace préhilbertien réel et Fun sous-espace vectoriel de E. Les sous-espaces vectoriels
Fet Fsont en somme directe orthogonale.
4
Dénition 7.
Dénition 7. gSupplémentaire orthogonalSupplémentaire orthogonal
Soit Eun espace préhilbertien réel et Fun sous-espace vectoriel de E. Si F
F=E, on dit
que Fest le supplémentaire orthogonal de E.
Proposition 4.
Proposition 4.
Soit Eun espace préhilbertien réel et F, G des sous-espaces vectoriels de E.
On suppose que Fet Gsont supplémentaires. Alors FGsi, et seulement si, G=F.
Si E=F
F, alors (F)=F.
Exemple 2.
Exemple 2.
On considère les espaces vectoriels suivants munis de leurs produits scalaires canoniques respectifs.
Dans R3, on considère le plan Pd’équation P:x+y= 0. Alors la droite P=Vect(1,1,0)
est le supplémentaire orthogonal de P.
Dans 2(N), on considère le sous-espace vectoriel Fdes suites stationnaires en 0. Alors
F={0}et donc Fn’admet pas de supplémentaire orthogonal.
Proposition 5.
Proposition 5.
Soit Eun espace préhilbertien réel et Fun sous-espace vectoriel de Ede dimension nie.
Alors E=F
Fet (F)=F.
Corollaire 2.
Corollaire 2.
Soit Eun espace euclidien et Fun sous-espace vectoriel de E. Alors
dim(F) + dim(F) = dim(E).
Théorème 2.
Théorème 2. gThéorème de représentation de RieszThéorème de représentation de Riesz
Soit Eun espace euclidien et φune forme linéaire sur E. Alors il existe un unique vecteur
aEtel que, pour tout xE,
φ(x) = (a|x).
Projection orthogonale
Partie B
Partie B
Dans cette partie, Edésigne un espace préhilbertien réel de produit scalaire noté (·|·), de norme associée
notée ∥·∥et de distance associée notée d.
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