Théorème 1.
Théorème 1. gInégalité de Cauchy-SchwarzInégalité de Cauchy-Schwarz
Soit Eun espace préhilbertien réel. On a l’inégalité suivante, pour tous x, y ∈E:
|(x|y)| ≤ ∥x∥∥y∥
Et de plus, on a |(x|y)|=∥x∥∥y∥si, et seulement si, xet ysont colinéaires.
Proposition 1.
Proposition 1.
Soit Eun espace préhilbertien réel. La norme ∥·∥ associée au produit scalaire est une norme
sur E.
2. Rappels et compléments sur l’orthogonalité
Dénition 4.
Dénition 4. gOrthogonalitéOrthogonalité
Soit Eun espace préhilbertien réel.
— Soit x, y ∈E. On dit que xet ysont orthogonaux et on note x⊥ysi (x|y) = 0.
— Soit A⊂E. On note A⊥et on appelle orthogonal de A, l’ensemble :
A⊥={x∈E| ∀ a∈A, (a|x)=0}.
— Soit F, G des sous-espaces vectoriels de E. On dit que Fet Gsont orthogonaux et on
note F⊥Gsi, pour tout x∈Fet tout y∈G,(x|y) = 0. Autrement dit si F⊂G⊥(ou
de manière équivalente, G⊂F⊥).
Exemple 1.
Exemple 1.
— Dans un espace préhilbertien réel E,ona:E⊥={0E}et {0E}⊥=E.
— Dans R2muni de son produit scalaire canonique, {(1,−1)}⊥={(x, x)|x∈R}.
— Dans R3muni de son produit scalaire canonique,
Vect((1,1,1),(1,2,3)) ⊥Vect(1,−2,1).
Dénition 5.
Dénition 5. gFamille orthogonale/orthonormaleFamille orthogonale/orthonormale
Soit Eun espace préhilbertien réel et F= (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. On dit que F
est :
—orthogonale si, pour tous i, j ∈Iavec i̸=j,
(xi|xj) = 0.
—orthonormale si, pour tous i, j ∈I,
(xi|xj) = δij ={0si i̸=j
1si i=j
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