Espace préhilbertien complexe

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Espace préhilbertien complexe
Exercice 1 [ 00514 ] [correction]
On définit une application ϕ:C[X]×C[X]→Cpar
ϕ(P, Q) = 1
2πZπ
−π
P(eiθ)Q(eiθ)dθ
a) Montrer que ϕest un produit scalaire hermitien sur C[X].
b) Montrer que la famille (Xk)k∈Nest une base orthonormée pour le produit
scalaire précédent.
c) Soit Q=Xn+an−1Xn−1+· · · +a0. Calculer kQk2.
d) On pose
M= sup
|z|=1
|Q(z)|
Montrer que M>1et étudier le cas d’égalité
Exercice 2 [ 00515 ] [correction]
Soient Eun espace préhilbertien complexe et u∈ L(E)tel que pour tout x∈E,
(u(x)|x)=0
Montrer que u=˜ 0.
Exercice 3 [ 03080 ] [correction]
On pose
H=((xn)∈CN/
+∞
X
n=0
|xn+1 −xn|2<+∞)
Montrer que Hest un espace préhilbertien
Exercice 4 [ 03319 ] [correction]
Soit (x1, . . . , xn)des nombres complexes.
Préciser image et noyau de l’endomorphisme fde Cndont la matrice dans la base
canonique est
A= (xi¯xj)16i,j6n
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
a) ϕ(Q, P ) = ϕ(P, Q)et Q7→ ϕ(P, Q)linéaire : clair.
ϕ(P, P ) = 1
2πZπ
−πP(eiθ)
2dθ>0
et
ϕ(P, P )=0⇒ ∀θ∈[−π, π], P (eiθ )=0
donc
∀z∈U, P (z)=0
Puisque Padmet une infinité de racines, P= 0.
b) Soient k, ` ∈N.
ϕ(Xk, X`) = 1
2πZπ
−π
ei(`−k)θdθ=δ`,k
c) ϕ(Q, Q) = 1 + |an−1|2+· · · +|a0|2car (1, X, X2, . . . , Xn)est une famille
orthonormée.
d) On a
ϕ(Q, Q) = 1
2πZπ
−πQ(eiθ)
2dθ6M2
or ϕ(Q, Q)>1donc M>1.
Si M= 1 alors an−1=. . . =a0= 0 et Q=Xn.
La réciproque est immédiate.
Exercice 2 : [énoncé]
Soient x, y ∈E.(u(x+y)|x+y)=(u(x)|y)+(u(y)|x)=0et
(u(x+iy)|x+iy) = i(u(x)|y)−i(u(y)|x)=0donc (u(x)|y) = −(u(x)|y)
puis (u(x)|y)=0.
Comme ceci vaut pour tout y∈E, on obtient u(x)=0pour tout x∈E.
Exercice 3 : [énoncé]
On sait que
`2(N,C) = ((un)∈CN/
+∞
X
n=0
|un|2<+∞)
est un espace de préhilbertien pour le produit scalaire
hu|vi=
+∞
X
n=0
¯unvn
Considérons alors l’application ∆ : CN→CNqui à une suite x= (xn)∈CNassocie
∆(x)=(xn+1 −xn)n∈N
On vérifie aisément que ∆est une application linéaire et que son noyau est égal à
l’espace des suites constantes.
Puisque
H= ∆−1`2(N,C)
Hest l’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire et
donc Hest un sous-espace vectoriel de CN; c’est donc un C-espace vectoriel.
Pour x, y ∈H, posons
ϕ(x, y) = h∆(x)|∆(y)i+x0y0
L’application ϕest évidemment sesquilinéaire hermitienne.
ϕ(x, x) = k∆(x)k2
2+|x0|2>0
Di ϕ(x, x)=0alors
k∆(x)k2= 0 et |x0|= 0
Par suite xest une suite constante et puisque son terme initial est nul, c’est la
suite nulle.
Finalement ϕest un produit scalaire hermitien sur Het donc Hest un espace
préhilbertien complexe.
Exercice 4 : [énoncé]
On munit Cnde son produit scalaire canonique et on pose X=tx1· · · xn.
On a A=Xt¯ Xdonc, pour une colonne Y∈ Mn,1(C)
AY =Xt¯ XY =X(X|Y)=(X|Y)X
Ainsi, si x= (x1, . . . , xn)alors
∀y∈Cn, f(y)=(x|y)x
On en déduit que si (x1, . . . , xn)6= 0Cnalors
Imf=Vectxet ker f= (Vectx)⊥
et si (x1, . . . , xn)=0Cnalors f=˜ 0.
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