Espace préhilbertien complexe

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014
Enoncés
1
Espace préhilbertien complexe
Exercice 1 [ 00514 ] [correction]
On définit une application ϕ : C [X] × C [X] → C par
Z π
1
P (eiθ )Q(eiθ ) dθ
ϕ(P, Q) =
2π −π
a) Montrer que ϕ est un produit scalaire hermitien sur C [X].
b) Montrer que la famille (X k )k∈N est une base orthonormée pour le produit
scalaire précédent.
2
c) Soit Q = X n + an−1 X n−1 + · · · + a0 . Calculer kQk .
d) On pose
M = sup |Q(z)|
|z|=1
Montrer que M > 1 et étudier le cas d’égalité
Exercice 2 [ 00515 ] [correction]
Soient E un espace préhilbertien complexe et u ∈ L(E) tel que pour tout x ∈ E,
(u(x) | x) = 0
Montrer que u = 0̃.
Exercice 3
On pose
[ 03080 ]
[correction]
(
H=
N
(xn ) ∈ C /
+∞
X
)
2
|xn+1 − xn | < +∞
n=0
Montrer que H est un espace préhilbertien
Exercice 4 [ 03319 ] [correction]
Soit (x1 , . . . , xn ) des nombres complexes.
Préciser image et noyau de l’endomorphisme f de Cn dont la matrice dans la base
canonique est
A = (xi x̄j )16i,j6n
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Corrections
Corrections
2
est un espace de préhilbertien pour le produit scalaire
hu | vi =
Exercice 1 : [énoncé]
a) ϕ(Q, P ) = ϕ(P, Q) et Q 7→ ϕ(P, Q) linéaire : clair.
Z π
1
P (eiθ )2 dθ > 0
ϕ(P, P ) =
2π −π
ūn vn
n=0
Considérons alors l’application ∆ : CN → CN qui à une suite x = (xn ) ∈ CN associe
∆(x) = (xn+1 − xn )n∈N
et
ϕ(P, P ) = 0 ⇒ ∀θ ∈ [−π, π] , P (eiθ ) = 0
donc
∀z ∈ U, P (z) = 0
On vérifie aisément que ∆ est une application linéaire et que son noyau est égal à
l’espace des suites constantes.
Puisque
H = ∆−1 `2 (N, C)
H est l’image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire et
donc H est un sous-espace vectoriel de CN ; c’est donc un C-espace vectoriel.
Pour x, y ∈ H, posons
Puisque P admet une infinité de racines, P = 0.
b) Soient k, ` ∈ N.
Z π
1
ei(`−k)θ dθ = δ`,k
ϕ(X k , X ` ) =
2π −π
2
+∞
X
ϕ(x, y) = h∆(x) | ∆(y)i + x0 y0
L’application ϕ est évidemment sesquilinéaire hermitienne.
2
or ϕ(Q, Q) > 1 donc M > 1.
Si M = 1 alors an−1 = . . . = a0 = 0 et Q = X n .
La réciproque est immédiate.
Exercice 2 : [énoncé]
Soient x, y ∈ E. (u(x + y) | x + y) = (u(x) | y) + (u(y) | x) = 0 et
(u(x + iy) | x + iy) = i(u(x) | y) − i(u(y) | x) = 0 donc (u(x) | y) = −(u(x) | y)
puis (u(x) | y) = 0.
Comme ceci vaut pour tout y ∈ E, on obtient u(x) = 0 pour tout x ∈ E.
2
ϕ(x, x) = k∆(x)k2 + |x0 | > 0
2
c) ϕ(Q, Q) = 1 + |an−1 | + · · · + |a0 | car (1, X, X 2 , . . . , X n ) est une famille
orthonormée.
d) On a
Z π
1
Q(eiθ )2 dθ 6 M 2
ϕ(Q, Q) =
2π −π
Di ϕ(x, x) = 0 alors
k∆(x)k2 = 0 et |x0 | = 0
Par suite x est une suite constante et puisque son terme initial est nul, c’est la
suite nulle.
Finalement ϕ est un produit scalaire hermitien sur H et donc H est un espace
préhilbertien complexe.
Exercice 4 : [énoncé]
On munit Cn de son produit scalaire canonique et on pose X = t
On a A = X t X̄ donc, pour une colonne Y ∈ Mn,1 (C)
x1
···
xn
.
AY = X t X̄Y = X(X | Y ) = (X | Y )X
Ainsi, si x = (x1 , . . . , xn ) alors
∀y ∈ Cn , f (y) = (x | y)x
On en déduit que si (x1 , . . . , xn ) 6= 0Cn alors
Exercice 3 : [énoncé]
On sait que
Imf = Vectx et ker f = (Vectx)⊥
(
`2 (N, C) =
(un ) ∈ CN /
+∞
X
)
2
|un | < +∞
et si (x1 , . . . , xn ) = 0Cn alors f = 0̃.
n=0
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