Test d`évaluation Mathématiques/Physique

TEST D’EVALUATION MATH / PHYSIQUE
- Centre Epsilon 2010 -
- TEST D’EVALUATION Question 01.
On considère la fonction V de la variable réelle x définie par:
Kqq !
V (x) = √
a 2 + x2
où K, q, q’ et a sont des constantes.
La dérivée de V par rapport à la variable x, soit V’(x), a pour expression :
A.
B.
C.
D.
E.
Kqq !
√
2x
Kqq ! √ 2
a + x2
x
Kqq ! x
−! 2
a + x2 )3/2
Kqq !
−√ 2
a + x2
Kqq !
√
a2 + x2
Question 02.
Soit la fonction v de la variable t définie par :
v(t) = vL


t
− 

1 − e τ 


où vL et τ sont des constantes.
La dérivée de v par rapport à la variable t, soit v’(t), a pour expression :
t
vL .e τ
−
A.
C.
t
−
1
vL . .e τ
τ

D.

B.

t

τ

vL . 
1
+
τ.e



t
− 


vL . 1 − e τ 

t
vL .τ .e τ
−
E.
−
2
Question 03. Suite de la question 02.
Résoudre l’équation :
v(t) = 0,99.vL
t étant l’inconnue.
On trouve t égal à :
A.
B.
C.
D.
E.
τ
2,3 τ
4,6 τ
6,9 τ
8,2 τ
Question 04.
On considère la fonction N de la variable t définie par :
(
)
N (t) = A e− α.t − e− β.t
A, α et β sont trois constantes positives.
Donner l’expression de la dérivée de N par rapport à t, soit N ! (t) =
A.
B.
C.
D.
E.
dN
.
dt
!
*
N ! (t) = A − α e− α.t + β e− β.t
!
*
N ! (t) = A e− α.t − e− β.t
,
+
1 − β.t
1 − α.t
!
+ e
N (t) = A − e
α
β
N ! (t) = e− α.t − e− β.t
!
*
N ! (t) = A t e− α.t + t e− β.t
Question 05. Suite de la question 04.(2 points)
Résoudre l’équation :
On trouve t égal à :
+ ,
α
ln
β
A.
α−β
B.
α−β
ln(α) − ln(β)
C.
α+β
ln(α β)
D.
ln(α β)
α+β
E.
aucune solution
N ! (t) =
dN
= 0 où t représente l’inconnue.
dt
3
Question 06.
Soit la fonction :
F (x) =
On pose
W =
-
C
x2
2 x0
F (x).dx
x0
C et x0 sont des constantes.
A.
W =
C
x20
B.
W =
C
x0
C.
W = C x20
D.
! *
W = C ln x20
E.
W =
C
2 x0
Question 07.(2 points)
On donne :
-
z
z0
A.
B.
C.
D.
E.
dx
= β
1
x2
z(t) = z0 + β t
!√
*2
z(t) =
z0 + β t
√
z(t) = z0 + β t
+
,2
β
√
z(t) =
z0 + t
2
.
β
z(t) = z0 + t
2
-
0
t
du
avec β > 0 et z0 > 0
4
Question 08.
La solution générale de l’équation différentielle :
A.
B.
D.
E.
= ay
+
avec
y!
,
dy
=
, a #= 0 s’écrit:
dt
y(t) = K e− a t
y(t) = K e a t
La solution générale de l’équation différentielle :
C.
y!
y ! = a y + b s’écrit:
b
a
b
y(t) = K e− a t −
a
b
y(t) = K e a t −
a
y(t) = K e− b t +
Question 09.
Une bulle de champagne de masse m a un mouvement ascendant vertical selon Oz à l’intérieur d’un
verre cylindrique.
→
→
→
Elle est soumise à son poids P , à la poussée d’Archimède Fa = − ρ V g , et à une force de frottement
→
→
f= −k v.
ρ0 = masse volumique de l’air ≈ 1,2 kg.m−3
V = volume de la bulle de champagne
ρ = masse volumique du champagne ≈ 103 kg.m−3
z
→
Fa
→
P
A.
B.
C.
D.
E.
O
La force de frottement est dirigée vers le haut
La force de frottement est dirigée vers le bas
On ne peut pas négliger le poids de la bulle par rapport à la poussée d’Archimède
On peut négliger le poids de la bulle par rapport à la poussée d’Archimède
Le poids de la bulle est environ 800 fois plus petit que la poussée d’Archimède
5
Question 10. Suite de la question 09. (2 points)
→
d v
.
dt
A partir de la deuxième loi de Newton et en projetant l’équation vectorielle obtenue sur l’axe Oz, on
établit une équation différentielle de la forme
→
→
L’accélération a de la bulle est donnée par a =
dv
= v !(t) = a v + b
dt
avec :
m
k
k
+
m
k
+
m
k
+
m
k
−
m
A.
a= −
et
b=g
B.
a=
et
b= −
C.
a=
et
b=g
D.
a=
et
b= −
E.
a=
et
b=
ρ
g
ρ0
ρ0
g
ρ
ρ
g
ρ0
Question 11. Suite de la question 10.
La résolution de cette équation différentielle donne :
m
t
ρ0 V
Ke k +
g
k
k
−
t
ρ0 V
g
Ke m +
k
k
−
t
ρV
m
Ke
+
g
k
m
t
−
ρV
g
Ke k +
k
propositions précédentes n’est exacte
−
A.
v(t) =
B.
v(t) =
C.
v(t) =
D.
v(t) =
E. aucune des
Question 12. Suite de la question 11.
La vitesse limite est atteint au bout d’une durée théoriquement infinie. Si le rayon de la bulle est
r = 1 cm et que k = 3 kg.s−1 , la valeur de cette vitesse limite est (on utilisera l’approximation π ≈ 3
et g=10 m.s−2 ) :
A.
B.
C.
D.
E.
1,1
1,3
2,1
2,3
3,1
cm/s
cm/s
cm/s
cm/s
cm/s
6
Question 13.
L’équation différentielle qui régit l’abscisse x d’une masse m accrochée à l’extrémité d’un ressort de
raideur k est :
k
ẍ +
x = 0
m
On notera indifféremment :
A.
x”(t) =
d2 x
= ẍ.
dt2
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme
k
t
m
x(t) = C e
−
B.
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme
x(t) = A cos (ω0 t) + B sin (ω0 t)
C.
ω0 =
avec
ω0 =
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme
m
t
x(t) = C e k
−
E. aucune des propositions précédentes n’est exacte
Question 14. Suite de la question 13.
On a les conditions initiales suivantes :
A t = 0, on a x(t = 0) = 0 et v(t = 0) = v0 > 0
k
t
x(t) = v0 e m
−
A.
B.
v0
cos (ω0 t)
x(t) =
ω0
C.
v0
x(t) =
sin (ω0 t)
ω0
D.
v0
cos (ω0 t)
x(t) =
ω0
E.
m
k
.
k
m
La solution générale de cette équation différentielle est de la forme
x(t) = A cos (ω0 t) + B sin (ω0 t)
D.
avec
.
v
u
u
−t
x(t) = v0 e
k
t
m
avec
avec
avec
ω0 =
.
k
m
ω0 =
.
k
m
ω0 =
.
m
k
7
Question 15.
→ →
→
Une masse m est à l’équilibre. Elle est soumise à trois forces : T , F et le poids de la masse m, P .
On note α l’angle (O! O; O! A).
O’
α
→
T
A
→
F
O
→
P
A.
mg = T sinα
B.
mg = F cosα
C.
mg = T cosα
D.
F = T sinα
E.
F = T cosα
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Question 16.
Dans un pays, à la suite de l’apparition d’une épidémie d’une maladie M contagieuse mais non
mortelle, il a été décidé de procéder à une campagne de vaccinnation : 70 % des habitants de ce pays
ont été vaccinés.
Une étude a révélé que 5 % des vaccinés ont été atteints par la maladie M, pourcentage qui s’élève à
60 % chez les sujets non vaccinés.
La probabilité pour qu’un individu pris au hasard dans cette population ait été victime de la maladie
M est :
A.
B.
C.
D.
E.
0,125
0,215
0,275
0,345
0,395
Question 17. Suite de la question 16.
La probabilité pour qu’un individu ait été vacciné sachant qu’il a été victime de la maladie est :
A.
B.
C.
D.
E.
0,08
0,12
0,16
0,20
0,25
TABLEAU DES REPONSES AU TEST DE MATHEMATIQUES-PHYSIQUE
Afin de vous noter, c’est simple !
- 1 point pour chaque bonne réponse
- 0 point pour toute réponse fausse
Une réponse est fausse, si elle ne correspond pas EXACTEMENT à la réponse donnée.
-
Les questions 5, 7, 10 valent 2 points.
QCM
1
2
3
4
5 (2 points)
6
7 (2 points)
8
9
10 (2 points)
11
12
13
14
15
16
17
REPONSES