Nouvelle Calédonie 03/2005

Nouvelle Calédonie 03/2005 EXERCICE III OSCILLATEUR SOLIDE - RESSORT (5,5 points)
Correction
1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.
1.1.1. Le solide subit: - son poids
P
- la force de rappel du ressort
F
- la poussée de l'air exercée par le banc à coussin d'air
R
1.1.2.
F
= – k.x.
i
Lorsque le solide se trouve à droite de la position d'équilibre alors l'allongement x est positif, donc
F
a un
sens opposé au vecteur unitaire
i
.
1.2. Équation différentielle du mouvement du solide.
1.2.1. Pour le système solide étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, appliquons la
deuxième loi de Newton:
P
+
F
+
R
= m.
G
a
On projète cette relation vectorielle suivant l'axe Ox, il vient –k.x = m.aGx
soit –k.x = m.
dt
dVx
= m.
2
2
dtxd
que l'on peut écrire:
2
2
dtxd
+
m
k
.x = 0 équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G.
1.2.2. On a
0
0
2
cos)( t
T
Xtx m
, il faut introduire cette expression dans l'équation différentielle.
Établissons d'abord l'expression de la dérivée de x par rapport au temps:
dt
dx
=
0
00
2
in .
2
. t
T
s
T
Xm
puis l'expression de la dérivée seconde:
2
2
dtxd
=
0
0
2
0
2
cos.
2
. t
TT
Xm
que l'on peut présenter ainsi:
2
2
dtxd
=
0
0
2
0
2
cos.
2
t
T
X
Tm
ainsi on remarque que l'on peut écrire
2
2
dtxd
=
)(.
22
0tx
T
.
L'équation différentielle devient
)(.
22
0tx
T
+
m
k
.x(t) = 0
soit
m
k
.x(t) =
)(.
22
0tx
T
donc
m
k
=
2
0
2
T
ou
m
k
=
0
2
T
finalement T0 =
k
m
2
(k)
G (m)
O
x(t)
i
E
x
x'
Schéma n°1
P
R
F

1.2.3. T0 =
k
m
2
k s'exprime en N.m-1
On sait d'après la 2ème loi de Newton qu'une force (en newtons) est égale à une masse multipliée par une
accélération
[F] = [M].[L].[T]–2
soit [k]= [M].[L].[T]–2.[L]–1
donc [k] =[M].[T]–2
[T0] = [M]1/2.[M]–1/2.[T]
[T0] = [T] La période propre est bien homogène à une durée.
2. Retour à l’expérience
2.1.
2.2.
x = a. cos(b.t + c)
avec : a= 4,25 10–2 m,
b = 21,18 rad.s–1
et c = 4,71 rad.
0
0
2
cos)( t
T
Xtx m
donc a = Xm,exp = 4,25 10–2 m
exp
0
2
T
= b
soit T0exp =
b
2
=
18,21
2
= 0,2967 s
2.3. T0 =
k
m
2
=
1
2
2k
m
=
0,12210.0,54
23
= 0,298 s
2.4. écart relatif =
298,0 298,02967,0 
= 0,463 % en utilisant les valeurs non arrondies
3. Aspect énergétique en l’absence de frottements
3.1. Em = EC + EP
Em =
2
1
.m.v² +
2
1
.k.x²
3.2. Lorsque le solide atteint l'abscisse x = Xm alors le ressort est tendu au maximum et sa vitesse est
nulle.
alors Em =
2
1
.k.Xm²
Lorsque le système atteint sa vitesse maximale Vm il se situe à l'abscisse x = 0
Em =
2
1
.m.Vm²
Le système solide-ressort est toujours supposé osciller sans frottement donc l'énergie mécanique du
système se conserve au cours du temps.
donc
2
1
.k.Xm² =
2
1
.m.Vm²
k.Xm² = m.Vm²
t (en s)
Graphe n°1:
x (en m)
O
x = f(t)
T0exp
Xm,exp

Il faut faire apparaître T0 et  dans cette expression, utilisons T0 =
k
m
2
.
T02 = (2)².
k
m
k = (2)².
2
0
T
m
On remplace dans l'expression précédente k.Xm² = m.Vm²
(2)².
2
0
T
m
. Xm² = m.Vm²
on obtient Vm =
0
.2 T
Xm
3.3. Vm = 2
30,0 10.3,4 2
= 0,90 m.s–1
3.4.
Em = constante
Sur le graphe 1, on voit qu'à t = 0 s ,
l'abscisse du mobile est légèrement négative,
puis elle devient nulle (passage en A)
ensuite elle devient positive et maximale
(passage en C).
4. Aspect énergétique en présence de frottements
4.1. Il s'agit du régime pseudo-périodique, le temps caractéristique est appelé la pseudo-période.
4.2.1. Em0 = EP0 =
20
2
1m
kX
4.2.2. Xm1 =
r
Xm0
Em1 =
21
2
1m
kX
=
2
0
2
1
r
X
km
0
1
m
m
E
E
20
2
0
2
1
2
1
m
m
kX
r
X
k
0
1
m
m
E
E
2
1
r
Énergie
O
t (s)
Em
EC
EP
mobile mobile mobile
au point A au point C au point A
x = 0 v = 0 x = 0
EP = 0 EC = 0 EP = 0
2
0
T