Nouvelle Calédonie 03/2005

Nouvelle Calédonie 03/2005
EXERCICE III OSCILLATEUR SOLIDE - RESSORT (5,5 points)
Correction
1.1. Forces exercées sur le solide en mouvement.
1.1.1. Le solide subit:
- son poids P
- la force de rappel du ressort F
- la poussée de l'air exercée par le banc à coussin d'air R
R
F
(k)
E
Schéma n°1
G (m)

i
x'
x
O

i
F = – k.x.
x(t)
1.1.2.
Lorsque le solide se trouve à droite de la position d'équilibre alors l'allongement x est positif, donc F a un
sens opposé au vecteur unitaire
P

i.
1.2. Équation différentielle du mouvement du solide.
1.2.1. Pour le système solide étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen, appliquons la

deuxième loi de Newton: P + F + R = m. aG
On projète cette relation vectorielle suivant l'axe Ox, il vient –k.x = m.aGx
dV
d 2x
soit –k.x = m. x = m. 2
dt
dt
2
d x k
que l'on peut écrire: 2 + .x = 0 équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G.
m
dt
 2 

1.2.2. On a x(t)  X m cos 
 t  0  , il faut introduire cette expression dans l'équation différentielle.
 T0 

Établissons d'abord l'expression de la dérivée de x par rapport au temps:
 2 

dx
 2 
=  X m.
.sin 
 t  0 
dt
 T0 
 T0 

 2 

d 2x
 2 
puis l'expression de la dérivée seconde: 2 =  X m.
 . cos 
 t  0 
dt
 T0 
 T0 

2
 2 

d 2x
 2 
que l'on peut présenter ainsi: 2 =  
 .X m cos 
 t  0 
dt
 T0 
 T0 

2
d 2x
 2 

=

 .x(t) .
dt 2
 T0 
2
ainsi on remarque que l'on peut écrire
k
 2 
L'équation différentielle devient  
.x(t) = 0
 .x(t) +
m
 T0 
2
k
 2 
soit .x(t) = 
 .x(t)
m
 T0 
2
k  2 
donc = 

m  T0 
2
ou
2
k
=
T0
m
finalement T0 = 2
m
k
m
k
k s'exprime en N.m-1
On sait d'après la 2ème loi de Newton qu'une force (en newtons) est égale à une masse multipliée par une
accélération
[F] = [M].[L].[T]–2
soit [k]= [M].[L].[T]–2.[L]–1
donc [k] =[M].[T]–2
[T0] = [M]1/2.[M]–1/2.[T]
[T0] = [T]
La période propre est bien homogène à une durée.
1.2.3. T0 = 2
2.
2.1.
Retour à l’expérience
x (en m)
2.2.
x = a. cos(b.t + c)
avec : a= 4,2510–2 m,
b = 21,18 rad.s–1
et c = 4,71 rad.
Xm,exp
Graphe n°1:
O
 2 

x(t)  X m cos 
 t  0 
 T0 

donc a = Xm,exp = 4,2510–2 m
2
=b
T0exp
soit T0exp =
x = f(t)
T0exp
t (en s)
2
2
=
= 0,2967 s
b
21,18
54,0.10 3
m
m
= 2
= 2
= 0,298 s
2  12,0
2k1
k
0,2967  0,298
2.4. écart relatif =
= 0,463 %
0,298
2.3. T0 = 2
en utilisant les valeurs non arrondies
3.
Aspect énergétique en l’absence de frottements
3.1. Em = EC + EP
1
1
Em = .m.v² + .k.x²
2
2
3.2. Lorsque le solide atteint l'abscisse x =  Xm alors le ressort est tendu au maximum et sa vitesse est
nulle.
1
alors Em = .k.Xm²
2
Lorsque le système atteint sa vitesse maximale Vm il se situe à l'abscisse x = 0
1
Em = .m.Vm²
2
Le système solide-ressort est toujours supposé osciller sans frottement donc l'énergie mécanique du
système se conserve au cours du temps.
1
1
donc .k.Xm² = .m.Vm²
2
2
k.Xm² = m.Vm²
Il faut faire apparaître T0 et  dans cette expression, utilisons T0 = 2
m
.
k
m
k
m
k = (2)². 2
T0
On remplace dans l'expression précédente k.Xm² = m.Vm²
m
(2)². 2 . Xm² = m.Vm²
T0
X
Énergie
on obtient Vm = 2. m
T0
T02 = (2)².
3.3. Vm = 2
4,3.102
= 0,90 m.s–1
0,30
Em
3.4.
Em = constante
EC
Sur le graphe 1, on voit qu'à t = 0 s ,
l'abscisse du mobile est légèrement négative,
puis elle devient nulle (passage en A)
ensuite elle devient positive et maximale
(passage en C).
EP
O
t (s)
T0
2
mobile
au point A
x=0
EP = 0
mobile
au point C
v=0
EC = 0
mobile
au point A
x=0
EP = 0
4.
Aspect énergétique en présence de frottements
4.1. Il s'agit du régime pseudo-périodique, le temps caractéristique est appelé la pseudo-période.
1
4.2.1. Em0 = EP0 = kXm2 0
2
X m0
4.2.2. Xm1 =
r
1
1 X 
Em1 = kXm2 1 = k m0 
2
2  r 
Em1
Em0
Em1
Em0
1  X m0 
k

2  r 

1 2
kX
2 m0
1
 2
r
2
2