Modèle mathématique.

1
Chapitre 8 : Les puissances
I. Puissances entières d’un nombre relatif
1)définitions
3 à la puissance 4
5 à la puissance 3
0 à la puissance 6
1 à la puissance 5
9 à la puissance 1
-3 à la puissance 4
34
3x3x3x3
81
53
5x5x5
125
06
0x0x0x0x0x0
0
15
1x1x1x1x1
1
91
9
9
(-3)4
Définition1 : On considère un
nombre entier non nul n et a un
nombre relatif :
an = a x a x
ax… x a avec n facteurs égaux à a.
Cas particuliers :
a1 = a pour tout nombre a
a0 = 1 pour tout nombre a
(Admis pour l’instant)
0p = 0 pour tout nombre p
1p = 1 pour tout nombre p
Attention aux signes !
Ne pas confondre : (-3)4 = (-3)x(-3)x(-3)x(-3) = 81
et :
- 34 = - 3 x 3 x 3 x 3 = -81
Calculer de même en appliquant la règle des signes :
(-5)2 ; -12 ; (-1)2 ; -33 ; (-2)2 ; -72 ; (-9)0 ; -90
Réponses : 25 ; -1 ; 1 ; -27 ; -8 ; -49 ; 1 ; -1
(-3)x(-3)x(-3)x(-3)
81
2
Définition2 : On considère n un nombre entier non nul et a un nombre entier non nul.
a-n est l’inverse de an . a-n =1/ an.
1
cas particulier : a 
1
a
2) Opérations sur les puissances
On considère m et n deux entiers et a un nombre relatif.
am xan = am + n.
Error!
anx bn = (axb)n
Error!
= am – n
= (Error!)n
(am)n = am x n.
Méthode:
Exprimer sous d’une seule puissance :
A=
45
x
54
B= 6
5
47
C = 73 x (72)6
D = 67 x 97
A=
45
x
54
B= 6
5
4-6
=5
47
= 45+7
= 412
= 5-2
D = 67 x 97
= (6 x 9)7
= 547
Conséquence : Prouvons que : a 0  1
2
a
a
a  2
1
a
0
2

2
II) Les puissances de 10
C = 73 x (72)6
= 73 x 72x6
= 73 x 712
= 73+12
= 715
3
1)écriture
Définition :Pour tout nombre entier n non nul, 10n =1000..00 avec n zéros
et 10-n =0,0…01 avec n zéros
Exemples :1) 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100 000 (1 suivi de 5 zéros)
2) 101 = 10 (1 suivi de 1 zéro)
3) 10-1 = 0,1 (1 précédé de 1 zéro)
2)Opérations sur les puissances de 10
Formulaire:
106 = 1.000.000
sur des exemples
1
10 7
10-5 = 0,00001
10 2
= 10 2 - 8
8
10
6
 10
(10 3 )4 = 10 3´ 4
10 -7 =
6 zéros
10 3 ´ 10 4 = 10 3+ 4
7
 10
5 zéros
 10
12
Remarque : La somme et la différence de deux puissances de 10 ne sont pas nécessairement des
puissances de 10, par exemple : 103 + 102
III. Une nouvelle notation
1) Changements d’écriture
Méthode:
1) Exprimer sous forme décimale les nombres suivants :
3,25 x 105 = 325 000
42,125 x 109 = 4 212 500 000
1589,2 x 10-4 = 0,15892
2) Compléter :
84,2645 x 10… = 84264,5
… x 10-3 = 0,12585
4587,26 x 10… = 45,8726
84,2645 x 103 = 84264,5
125,85 x 10-3 = 0,12585
4
4587,26 x 10-2 = 45,8726
2) La notation scientifique
Exemples : 7,328 x 105
24,45 x 10-5
12,2 x 104
2,1 x 1047
0,2 x 10-1
9,99 x 10-7
La notation scientifique :
7,328 x 105
nombre compris entre 1
et 10 (10 exclu)
x
une puissance de 10
Méthode:
Donner la notation scientifique des nombres suivants :
A = 8 300 000 = 8,3 x 106
B = 0, 000 000 456 = 4,56 x 10-7
C = 0,002 31 = 2,31 x 10-3
D = 147,3 x 10 = 1,473 x 107
E = 0,0125 x 10 = 1,25 x 10-4
Compter le nombre de déplacements de la virgule
3) La notation scientifique sur la calculatrice
OPERATION
850 000 x 450 000
8500 x 7200 x 2500
57 : 2 000 000 : 2 000 000
250 x 6500 x 9200
63 : 300 000 : 500 000
AFFICHAGE EN
ECRITURE SCIENTIFIQUE
3,825 x 10 11
1,53 x 10 11
1,425 x 10 -11
1,495 x 10 10
4,2 x 10 -10
ECRITURE ENTIERE
382 500 000 000
153 000 000 000
0,000 000 000 014 25
14 950 000 000
0,000 000 000 42
A l'aide de la calculatrice, effectuer les opérations suivantes :
(Donner le résultat sous son écriture scientifique)
1) 2,32 x 105 x 3,14 x 103 = 7,284 x 108
2) 4,12 x 1012 + 3,11 x 1011 = 4,431 x 1012
3) 3,125 x 1024 - 3,125 x 1023 = 2,8125 x 1024
4) 78,34 x 1058 = 7,834 x 1059
5) 9,82 x 10-7 x 6,18 x 10-8 = 6,06876 x 10-14
6) 2,14 x 107 x 9,14 x 108 = 1,95596 x 1016
7) 1,58 x 1022 + 1,32 x 1021 = 1,712 x 1022
1 x 1014
5
8) 3,895 x
1014
- 2,145 x
1013
= 3,6805 x
1014
4) Exercices type « brevet »
Méthode:
Donner la notation scientifique des nombres suivants :

4

3
32

10

6

10
7 ´ 10 -4 ´ 5 ´ 10 8
A = 4 ´ 10 -5 ´ 7 ´ 10-8
B=
C
=

5
56 ´ 10 -9
2

10
A = 4 x 7 x 10-5 x 10-8
= 28 x 10-13
= 2,8 x 10-12
7 ´ 5 10 -4 ´ 10 8
´
56
10 -9
10 4
= 0,625 x
10 -9
= 0,625 x 1013
= 6,25 x 1012
B=
0, 0032 + 0, 006
2 ´ 10 -5
0, 0092
1
=
´ -5
2
10
= 0,0046 x 105
= 4,6 x 102
C=