MECA0003-1 - M´ECANIQUE RATIONNELLE Durée de l`épreuve

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Prof. ´ Eric J.M.DELHEZ
MECA0003-1 - M´ ECANIQUE RATIONNELLE
Janvier 2014
Dur´ ee de l’´ epreuve : 4h.
R´ epondez aux diff´ erentes questions sur des feuilles s´ epar´ ees.
Indiquez sur chacune de vos feuilles vos nom, pr´ enom et num´ ero d’ordre.
Rendez le carton avec votre num´ ero d’ordre en mˆ eme temps que vos copies.
Question I
On consid`ere – en trois ´etapes – le mouvement d’un syst`eme constitu´e d’un demi-disque homog`ene
de masse Met de rayon aet d’un point mat´eriel P de masse m.
Le solide repose sur un plan horizontal rugueux.
Le coefficient de frottement entre le demi-disque
et le plan vaut µ. Le point mat´eriel glisse sans
frottement sur la face plane du solide.
Le mouvement a lieu dans un plan vertical.
On rep`ere le mouvement du solide par la
coordonn´ee horizontale xdu centre A du disque
correspondant et l’angle θentre la verticale et l’axe
AC passant par le centre d’inertie C du solide. On
suppose |θ| ≤ π/2. On note ´egalement kACk=
het JCle moment d’inertie du solide pour la
rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement passant par son centre d’inertie.
C
A
P
θ
x
1. Dans un premier temps, on consid`ere uniquement le demi-disque, sans l’action du point mat´eriel. On
suppose que ce solide roule sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le solide et citez-en les caract´eristiques principales
(point d’application, direction, force appliqu´ee ou force de liaison, force conservative).
ii. Montrez que le roulement sans glissement du solide sur le plan horizontal se traduit par
l’´egalit´e ˙x+a˙
θ=0
iii. D´eterminez une int´egrale premi`ere scalaire du mouvement du solide et pr´ecisez-en
l’interpr´etation physique.
iv. Montrez que les petites oscillations du solide autour de la position verticale inf´erieure (θ=0)
sont caract´eris´ees par une pulsation
ω0=sMgh
M(a−h)2+JC
v. Sous l’hypoth`ese de petites oscillations, d´eterminez l’amplitude limite des oscillations du
solide compatibles avec l’hypoth`ese de roulement sans glissement.

vi. Sachant que le tenseur central d’inertie d’un disque homog`ene de masse Met de rayon Rest
donn´e par
JC=1
4MR2(I+ee)
o`u ed´esigne l’axe de sym´etrie de r´evolution du disque, calculez le moment d’inertie JCdu
demi-disque en fonction de M,aet h.
2. Dans un deuxi`eme temps, on consid`ere le syst`eme total constitu´e du demi-disque et du point mat´eriel
mais on suppose que m≪Mde sorte que le mouvement du solide n’est pas influenc´e par la
pr´esence du point mat´eriel. Dans ce cas, on ´etudie le mouvement du point mat´eriel par rapport au
solide en supposant que le solide oscille selon
θ(t) = θ⋆sinω0t
et qu’il roule sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le point mat´eriel et citez-en les caract´eristiques
principales (direction, force appliqu´ee ou force de liaison, force conservative).
ii. D´eterminez la loi de variation de x(t).
iii. ´ Ecrivez l’´equation diff´erentielle vectorielle du mouvement du point mat´eriel par rapport au
solide.
iv. D´eterminer la loi du mouvement du point P par rapport au solide sous l’hypoth`ese de petites
oscillations du solide (i.e. en lin´earisant les ´equations par rapport `a θ⋆). On supposera que le
point mat´eriel est abandonn´e initialement en A sans vitesse relative par rapport au solide.
3. Dans un troisi`eme temps, on consid`ere le probl`eme complet en ´etudiant simultan´ement le mouvement
du solide et celui du point mat´eriel ainsi que leur interaction. On suppose que le demi-disque roule
sans glisser sur le plan horizontal.
i. Relevez toutes les forces agissant sur le solide et sur le point mat´eriel et citez-en les
caract´eristiques principales (point d’application, direction, force appliqu´ee ou force de
liaison, force conservative).
ii. D´eterminez une int´egrale premi`ere scalaire et donnez-en l’interpr´etation physique.
iii. ´ Ecrivez des ´equations diff´erentielles scalaires permettant d’´etudier le mouvement dusyst`eme.
Justifiez que celles-ci sont en nombre n´ecessaire et suffisant pour d´eterminer compl`etement
le mouvement du demi-disque et du point.
Question II
i. D´emontrez la relation HO=mc∧˙
c+HC
pour un syst`eme de points mat´eriels en pr´ecisant la signification des diff´erentes grandeurs.
ii. D´emontrez en justifiant chacune des ´etapes que, si on rapporte le moment cin´etique HCet l’´energie
cin´etique TCd’un solide `a un syst`eme d’axes centr´e au centre d’inertie et constitu´e d’axes parall`eles
`a des axes inertiaux, alors
ω·˙ HC=˙ TC
iii. D´efinissez bri`evement mais aussi compl`etement que possible (avec texte et, si n´ecessaire,
expressions math´ematiques et/ou dessin)
(a) les axes principaux d’inertie et les moments principaux d’inertie d’un solide;
(b) les angles d’Euler;
(c) la pr´ecession gyroscopique ;
(d) l’´equilibrage statique et dynamique d’un syst`eme tournant.
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SOLUTION
Question I
1.
C
A
Q
Ez
K
θ
Ex
Ey
O
er
eθ
R
Mg
x
i. Les forces agissant sur le solide sont
•Mg: la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative agissant au centre d’inertie C du solide
et dirig´ee verticalement vers le bas ;
•R=NEy+TEx: la force de liaison exerc´ee par le plan horizontal sur le solide au point de
contact K (voir dessin).
ii. Le roulement sans glissement du solide sur le plan se traduit par l’´egalit´e de leurs vitesses au
niveau du point de contact K, soit ˙
sK=0
Consid´erons un point Q situ´e sur le pourtour du solide (voir dessin). On peut ´ecrire
sQ=xEx+AQ
et, en prenant en compte le vecteur de Poisson du solide, ˙ θEz,
˙
sQ=˙xEx+˙ θEz∧AQ
Donc, ˙
sK=˙xEx+˙ θEz∧AK =˙xEx+˙ θEz∧(−aEy) = ˙xEx+a˙ θEx
et la condition de roulement sans glissement s’´ecrit
˙x+a˙ θ=0 (1)
iii. Le th´eor`eme de l’´energie cin´etique pour le solide, rapport´e `a des axes inertiaux centr´es en O, s’´ecrit
dTO
dt =PO=Mg·˙
sC+R·˙ sK=−dVMg
dt
vu le caract`ere conservatif de la force de pesanteur et la condition de roulement sans glissement.
On obtient donc l’int´egrale premi`ere de conservation de l’´energie
TO+VMg=E
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o`u Eest l’´energie totale du solide et o`u
VMg=−Mghcosθet TO=1
2Mk˙
sCk2+TC
avec sC=xEx+her,˙
sC=˙xEx+h˙ θeθ
et TC=1
2ω·JC·ω=1 2˙
θEz·JC·˙ θEz=1
2˙
θ2JC
Finalement, l’int´egrale premi`ere s’´ecrit
1
2M(˙x2+h2˙
θ2+2h˙x˙ θcosθ) + 1
2JC˙
θ2−Mghcosθ=E
iv. En tenant compte de (1), cette int´egrale premi`ere se transforme en
1
2M˙
θ2a2+h2−2ahcosθ+JC
M−Mghcosθ=E(2)
En d´erivant par rapport au temps (2), on obtient
M¨ θa2+h2−2ahcosθ+JC
M+M 2˙
θ2(2ahsinθ) + Mghsinθ=0
La lin´earisation de cette ´equation autour de la position verticale inf´erieure θ=0 donne
M¨ θa2+h2−2ah+JC
M+Mghθ=0
soit ¨
θ+ω2
0θ=0 (3)
o`u
ω0=sMgh
M(a−h)2+JC
La solution s’´ecrit alors θ(t) = C1cosω0t+C2sinω0t
o`u C1et C2sont des constantes. Il s’agit bien d’oscillations de pulsation ω0.
v. Le th´eor`eme de la quantit´e de mouvement ´ecrit au point O donne
˙
NO=G=Mg+R
o`u NO=M˙
sC=M(˙xEx+h˙ θeθ)
D`es lors,le th´eor`eme s’´ecrit
M(¨xEx+h¨ θeθ−h˙ θ2er) = −MgEy+NEy+TEx
Sous l’hypoth`ese des petites oscillations, le terme en ˙ θ2peut ˆetre n´eglig´e et on a, en tenant compte
de (1) et de (3), ¨
θ=−ω2
0θet ¨x=−a¨
θ=aω2
0θ
On a donc M(aω2
0θEx−hω2 0θeθ) = −MgEy+NEy+TEx
soit, en projetant selon Exet Ey,
T=M(aω2
0θ−hω2 0θcosθ)∼M(a−h)ω2 0θ,(θ→0)
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et N=Mg−Mhω2
0θsinθ∼Mg−Mhω2 0θ2∼Mg,(θ→0)
Le roulement sans glissement est possible si |T|/|N| ≤ µ, c’est-`a-dire si
M(a−h)ω2
0|θ|
Mg ≤µ
ou encore si
|θ| ≤ θmax =µg
(a−h)ω2
0
qui constitue donc l’amplitude limite des oscillations du solide compatibles avec l’hypoth`ese de
roulement sans glissement.
vi. Le tenseur d’inertie du demi-disque de masse Mpar rapport au point A vaut la moiti´e de celui du
disque complet de masse 2Mpar rapport `a son centre d’inertie A, soit
JA=1
21 4(2M)a2(I+ee)=1 4Ma2(I+ee)
Le moment d’inertie du demi-disque pour la rotation autour d’un axe perpendiculaire au plan du
mouvement passant par le point A est donc JA=Ma2/2.
Le th´eor`eme de transport permet alors d’´ecrire
JC=JA−Mh2=Ma2−2h2
2
2.
C
AP
θ
x
EzEx
Ey
O
er
eθ
r
NP
mg
i. Les forces agissant sur le point P sont
•mg: la force de pesanteur, force appliqu´ee conservative dirig´ee verticalement vers le bas;
•NP=−NPer: la force de liaison exerc´ee par le solide sur le point dans la direction normale au
solide vu l’absence de frottement.
ii. Puisque le solide oscille selon θ(t) = θ⋆sinω0t
et qu’il roule sans glisser sur le plan horizontal en v´erifiant (1), on a
x=−aθ+e C=−aθ⋆sinω0t+e C
o`u e Cest une constante qui d´epend des conditions initiales et du choix de la position du point O.
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