Cours Math I Analyse

Cours Math I Analyse
St´ephane Attal

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Contents
1 Les nombres r´eels 5
1.1 Les ensembles usuels de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Ensembles ordonn´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Le corps des nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Densit´e de Q........................... 8
1.5 Racines n-i`emes.......................... 10
1.6 Valeurs absolues, parties enti`eres . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Quelques corrig´es d´etaill´es 15
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4CONTENTS

Chapter 1
Les nombres r´eels
1.1 Les ensembles usuels de nombres
On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres :
Nest l’ensemble des entiers naturels positifs {0,1,2, . . .},
Zest l’ensemble des entiers relatifs {. . . , −2,−1,0,1,2, . . .},
Qest l’ensemble des rationnels, i.e. l’ensembles des fractions
a
b,
avec a∈Zet b∈N\ {0}.
Pour chacun de ces ensembles, l’ajout de ∗signifie que l’on exclut 0 de
l’ensemble : N∗,Z∗,Q∗.
Q+est l’ensemble des rationnels positifs.
L’ensemble Qest un ensemble d´ej`a bien fourni de nombres. Par exemple,
aucun rationnel q∈Qn’admet de “suivant” dans Q. En effet, si on regarde
l’ensemble
A={p∈Q;p>q}
alors An’a pas de plus petit ´el´ement. En effet, pour tout p∈ A, on a
p−q∈Q∗
+et donc p−(p−q)/2 est un ´el´ement de A, plus petit que p.
Une autre fa¸con de dire la mˆeme chose : dans n’importe quel intervalle
(rationnel) autour d’un rationnel qil y a une infinit´e de rationnels (en effet, si
ce n’´etait pas le cas, il y aurait un nombre fini de rationnels dans ]q, q + 1/2[
et donc il y aurait un plus petit).
Et pourtant les rationnels sont loins d’ˆetre suffisants, la diagonale d’un
carr´e de cˆot´e 1 mesure √2 qui n’est pas un rationnel. D´emontrons-le. Si √2
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