CHAPITRE 1 1Dans l`Antiquité, pour simplifier les probl

CHAPITRE 1
Trigonom´etriege-nctr.1 [1- B. Ischi 06-07 ]
1. Mesure des anglesge-nctr.2 [1- B. Ischi 16-17 ]
ge-nctr.3 1Dans l’Antiquit´e, pour simplifier les probl`emes de partage d’angles, on a divis´e la
circonf´erence du cercle en 360 parties ´egales, appel´ees des degr´es.
Ce choix se justifiait par le fait que 360 a un grand nombre de diviseurs. En effet, 360 est
divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 et 180 (et 1 et
360).
ge-nctr.4 Ce choix n’est pas toujours pratique. Une autre fa¸con de
mesurer un angle serait de prendre la longueur de l’arc correspon-
dant. Toutefois, cette longueur d´epend du rayon du cercle. En effet,
pour un angle αmesur´e en degr´es, on a
l=α
3602πr =α 180πr
ge-nctr.5 La longueur d’un arc de cercle d´etermin´e par un angle α´etant
proportionnelle au rayon du cercle, on dit que la mesure d’un angle est
de 1 radian si la longueur de l’arc correspondant est ´egale au rayon du
cercle. En d’autres termes, l’angle αen radians est donn´e par
α[rad] := l
r
Il suit que la relation entre degr´es et radians est donn´ee par
α[rad] = l
r=
α[◦]
180 πr
r=α[◦]π 180
et
α[◦] = α[rad] 180
π
Exemple 1.1.ge-nctr.6 Voici quelques exemples:
180◦=πrad ≈3.14 rad 90◦=π
2rad ≈1.57 rad 45◦=π 4≈0.785 rad
1◦=π
180 rad ≈0.0175 rad 1 rad = 180 π
◦≈57.3◦
1Cette partie est extraite du livre “Notions ´el´ementaires, CRM n◦27
1

Fonctions trigonom´etriques (page 2/8)
Remarque 1.2.ge-nctr.7 Remarquons que pour un angle mesur´e en
radians, la longueur de l’arc de cercle est donn´ee par
l=αr o`u αest mesur´e en radians
et la surface du secteur par
S=α
2ππr2=1 2αr2o`u αest mesur´e en radians
2. Fonctions trigonom´etriquesge-nctr.8 [1- B. Ischi 05-06 ]
2.1. D´efinitions. ge-nctr.9 [1- B. Ischi 16-17 ]
ge-nctr.10 [1- B. Ischi 05-06 ] Dor´enavant, nous mesurons tous les angles en radians. Rappelons
que si un angle est donn´e en degr´es, il faut le multiplier par π
180 pour le transformer en radians.
Sur la figure 1, nous avons repr´esent´e un cercle et deux axes orthogonaux qui se croisent au centre
du cercle. Nous pouvons supposer que le rayon du cercle fait 1 m`etre.
Pour chaque nombre positif x, on associe un point sur le cercle en parcourant le cercle dans le
sens inverse des aiguilles de la montre depuis le point (1,0) sur une distance de xm`etres. Quelques
exemples sont donn´es dans le tableau 1. Si xest n´egatif, le point s’obtient en tournant dans le
sens des aiguilles de la montre.
x point sur le cercle cos(x) sin(x)
0 (1,0) 1 0
π
2(0,1) 0 1
−π(-1,0) -1 0
3π
2(0,-1) 0 -1
2π(1,0) 1 0
5π
2(0,1) 0 1
.
.
..
.
..
.
..
.
.
Tableau 1. Exemples de valeurs de cos(x) et sin(x)
Par d´efinition, cos(x) est la coordonn´ee horizontale (mesur´ee en m`etres pour notre exemple)
du point et sin(x) la coordonn´ee verticale. Les repr´esentations graphiques du cosinus et du sinus
sont trac´ees sur la figure 2, page 4.
Le cosinus cos(x) est nul seulement pour x=π
2,3π 2,··· et pour x=−π 2,−3π 2,···. Ainsi, pour
xdiff´erent de ces nombres, nous pouvons d´efinir la tangente de xcomme suit:
tan(x) = sin(x)
cos(x).

Fonctions trigonom´etriques (page 3/8)
Cos(x)
xSin(x)
(1,0)
(0,1)
(−1,0)
(0,−1)
Cos(x)
x
Sin(x)
(1,0)
(0,1)
(−1,0)
(0,−1)
Cos(x)
x
Sin(x) (1,0)
(0,1)
(−1,0)
(0,−1)
Cos(x)
x
Sin(x) (1,0)
(0,1)
(−1,0)
(0,−1)
Figure 1. Le cercle trigonom´etrique
De mˆeme, le sinus sin(x) est nul seulement pour x= 0, π, 2π,··· et pour x=−π,−2π,···.
Ainsi, pour xdiff´erent de ces nombres, nous pouvons d´efinir la cotangente de x:
cot(x) = cos(x)
sin(x).
ge-nctr.11 Pour xentre 0 et π, la fonction cos est bijective. Sa r´eciproque se note arccos. Pour
xentre −π
2et π 2, la fonction sin est bijective. Sa r´eciproque se note arcsin. Rappelons que si une
fonction f:A→Best bijective (c’est-`a-dire injective et surjective), alors la fonction r´eciproque
rf:B→Aest d´efinie par (f◦rf)(y) = ypour tout ydans Bet ( rf◦f)(x) = xpour tout xdans
A. Pour xentre −π
2et π 2, la fonction tan est bijective. Sa r´eciproque se note arctan. Pour xentre

Fonctions trigonom´etriques (page 4/8)
-2Π-3Π
2
- Π -
Π
2
Π
2Π3Π
22Π
-1
-0.5
0.5
1
x->Cos@xD
-2Π-3Π
2
- Π -
Π
2
Π
2Π3Π
22Π
-1
-0.5
0.5
1
x->Sin@xD
- Π -
Π
2
Π
2Π
-40
-20
20
40
x->Tan@xD
- Π -
Π
2
Π
2Π
-40
-20
20
40
x->Cot@xD
Figure 2. Repr´esentations graphiques des fonctions cos, sin, tan et cot.
0 et π, la fonction cot est bijective. Sa r´eciproque se note arccot. Les repr´esentations graphiques
de fonctions arccos, arcsin, arctan et arccot se trouvent sur la figure 3.
-1 -0.5 0.5 1
Π
2
Π
x->ArcCos@xD
-1 -0.5 0.5 1
-
Π
2
Π
2
x->ArcSin@xD
-100 -50 50 100
-
Π
2
Π
2
x->ArcT an@xD
-10 -5 5 10
-
Π
2
Π
2
x->ArcCot@xD
Figure 3. Repr´esentations graphiques des fonctions arccos, arcsin, arctan et arccot.
2.2. Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques. ge-nctr.12 [1- B. Ischi 16-17 ]

Fonctions trigonom´etriques (page 5/8)
ge-nctr.13 Il suit directement des d´efinitions que les fonctions sinus et cosinus sont 2π−p´erio-
diques, c’est-`a-dire:
sin(x+ 2π) = sin(x) et cos(x+ 2π) = cos(x)∀x∈R
Par ailleurs, la fonction tangente est π−p´eriodique
tan(x+π) = tan(x)∀x∈R
ge-nctr.14 Il suit que
sin(x+k·2π) = sin(x) et cos(x+k·2π) = cos(x)∀x∈Ret ∀k∈Z
et que
tan(x+k·2π) = tan(x)∀x∈Ret ∀k∈Z
Remarque 2.3.ge-nctr.15 De la d´efinition des fonctions trigonom´etriques, il suit, en vertu
du th´eor`eme de Pythagore, que
cos(x)2+ sin(x)2= 1
Par ailleurs, remarquons que pour un angle 0 <x< π
2, c’est-`a-dire plus petit que 90◦, la d´efinition
du cosinus et du sinus donn´ee ci-dessus est ´equivalente `a la d´efinition du cosinus et du sinus dans
un triangle rectangle puisque dans le cercle trigonom´etrique, l’hypot´enuse du triangle rectangle
vaut 1.
ge-nctr.16 Rappelons qu’en g´en´eral
sin(α+β)6= sin(α) + sin(β)
Par exemple,
sin(45◦+ 45◦) = sin(90◦)=16=√2
2+√2 2= sin(45◦) + sin(45◦)
Pour des angles α > 0 et β > 0 tels que α+β < 90◦, nous avons montr´e en exercice (cours de
premi`ere ann´ee du Coll`ege de Gen`eve) que
sin(α+β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
`a partir d’une construction relativement longue. Cette formule trigonom´etrique se g´en´eralise aux
fonctions trigonom´etriques. Nous en donnons une d´emonstration tr`es ´el´egante et rapide due `a
Gauss (1777-1855).
Th´ eor` eme 2.4.ge-nctr.17 On a l’´egalit´e
cos(α−β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
D´ emonstration. ge-nctr.18 Les distances P2P3et P1P4de la figure 4sont les mˆemes. En
vertu du th´eor`eme de Pythagore,
P1P4
2= (cos(α−β)−1)2+ (sin(α−β))2= cos(α−β)2−2 cos(α−β) + 1 + sin(α−β)2
= 2 −2 cos(α−β)