chapitre 1 quelques rappels

Mathématiques 3e niveau 1 Deuxième partie Analyse
Collège Sismondi (S.Z, base cours G.E.) 2013 - 2014 Analyse / Chapitre 1, p.1
CHAPITRE 1
QUELQUES RAPPELS
§ 1.1 Fonctions
1.1.1 Vocabulaire et rappels
Une fonction f de A dans B est une relation qui fait correspondre à chaque élément de l'ensemble A au
plus un élément de l'ensemble B.
L'ensemble A est l' ensemble de départ ou la source de la fonction f. L'ensemble B est l' ensemble
d'arrivée ou le but de la fonction f.
Une fonction réelle est une fonction de dans .
Si la fonction f fait correspondre à l'élément a de A l'élément b de B, on note f(a) = b; alors b est l'image de a
par f et a est une des préimages de b par f.
Le domaine de définition ou ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des éléments de la
source qui ont une image par f. Cet ensemble est noté Df ou D ou ED.
Exemples :
1. La fonction f telle que f(x) = 2x + 3 est définie pour tout x ∈ D =
2. La fonction g telle que g(x) =
€
x−1
est définie pour x-1 ≥ 0
⇒
x ≥ 1 D = [1 ; ∞[
3. La fonction h telle que h(x) =
€
x
x2−1
est définie pour tout x différent de +1 et de -1 D = \ {-1; +1}
Remarques :
Pour la plupart des fonctions que nous aborderons, l'étude du domaine de définition se limitera à considérer 3
cas possibles de non-définition dans :
1. La fonction racine carrée (ou d'ordre pair) n'est pas définie pour des expressions négatives.
2. De même, la fonction logarithmique n'est pas définie également pour des expressions négatives ou nulles.
3. La division par 0, notamment rencontrée dans les fonctions rationnelles n'est pas définie.
Une application de A dans B est une fonction qui fait correspondre à chaque élément de l'ensemble A
exactement un élément de l'ensemble B.
En d'autres mots, une application f de A dans (vers B) est une relation entre A et B telle que :
i) tout élément de A possède au moins une image dans B;
ii) aucun élément de A n'a plusieurs images dans B.
Une application est donc une fonction dont le domaine de définition coïncide avec l’ensemble de départ.
On appelle image d’un ensemble A par une fonction f, l’ensemble des images des éléments de cet
ensemble ; on la note f(A). f(A) = {y | y = f(x) et x ∈ A}

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On appelle préimage d’un ensemble B par une fonction f, l’ensemble des images des éléments de cet
ensemble ; on la note f-1(B). f-1(B) = {x | f(x) ∈ B}
Une application est bijective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède une et une seule
préimage. Une application bijective est appelée également bijection.
Une bijection est donc une application pour laquelle chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède
exactement une préimage.
Soit f et g deux fonctions définies comme suit:
f : A → B g : B → C
x  f(x) x  g(x)
La composition de f et g dans cet ordre est une loi qui permet de construire une nouvelle fonction h
définie par h(x) = g(f(x)) à partir de deux fonctions données. Cette nouvelle fonction h est notée
couramment g ° f et appelée parfois « f suivie de g », car le nombre réel x est transformé d'abord par f en
f(x) et ensuite ce dernier est transformé par g en g(f(x)).
La notation mathématique complète est donc :
g ° f : A → C
x  ( g ° f ) (x) = g(f(x))
(Il est possible de trouver davantage de détails dans votre cours de 2e année)
Exemples :
Soit les fonctions f, g et h définies par leurs images comme suit : f(x) = 3x - 1, g(x) = x2 et h(x) = log(x).
Déterminer f1 = g ° f, f2 = f °g, f3 = f ° f, f4 = g ° g° f, f5 = h ° f ° g et f6 = h ° g ° f
f1(x) = g ° f(x) = g(f(x)) = (3x - 1)2 f2(x) = f ° g(x) = f(g(x)) = 3x2 - 1
f3(x) = f ° f(x) = f(f(x)) = 9x - 4 f4(x) = g ° g ° f(x) = g(g(f(x))) = (3x - 1)4
f5(x) = h ° f ° g(x) = h(f(g(x))) = log(3x2 - 1) f6(x) = h ° g ° f(x) = h(g(f(x))) = log(3x - 1)2
Toute application bijective f de A dans B possède une réciproque, c’est-à-dire une application f-1 de B dans A
telle que : (f ° f-1)(x) = f(f-1(x)) = x = i(x) pour tout x de B et
(f-1° f)(x) = f-1(f(x)) = x = i(x) pour tout x de A
Dans un repère orthonormé, les graphiques des applications f et f-1 sont des courbes symétriques par
rapport à la droite représentant la fonction identité i : x  x.
Une fonction f est dite strictement croissante (respectivement décroissante) sur un intervalle [a ; b], si ,
pour tout x et y dans [a ; b], avec x < y, on a f(x) < f(y) (respectivement f(x) > f(y)).
Une fonction est dite strictement monotone sur un intervalle si elle est soit strictement croissante, soit
strictement décroissante sur cet intervalle.
On dit qu’une fonction f possède un maximum (respectivement un minimum) au point c, s’il existe un
nombre positif ε tel que si x ∈ ] c – ε ; c + ε [. alors f(x) ≤ f(c) (respectivement f(x) ≥ f(c))

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Remarques :
Nous utiliserons par la suite assez souvent des expressions « pour tous les » ou « quel que soit » et « il existe
un ». Pour cette raison, nous adopterons souvent les symboles suivants :
∀ signifiant : « pour tous les » ou « quel que soit »
∃ signifiant : « il existe un »
Avec ces notations, la définition d’un maximum devient :
f possède un maximum au point c, si ∃ ε > 0 tel que ∀x ∈ ] c – ε ; c + ε [, f(x) ≤ f(c)
1.1.2 Représentation graphique d'une fonction
Un polynôme du premier degré est représenté graphiquement par une droite.
Un polynôme du deuxième degré est représenté graphiquement par une parabole.
Sauf pour le cas de la droite (cf. le paragraphe suivant), le seul moyen vu jusqu'à présent pour représenter
graphiquement une fonction est de calculer un certain nombre de points. Selon la fonction, il s’agira de
choisir les points les plus appropriés. Ainsi, pour les polynômes de degré n, on choisira notamment les zéros
(s’ils ont pu être déterminés). Pour les polynômes de degré 2 (parabole), on sait également déterminer le
sommet.
Exemple :
Etudier la fonction f définie par f(x) =
x+1
x−1
Pour |x| >> 1, nous aurons x + 1 ≈ x - 1 ≈ x et donc f(x) ≈ 1
- f n'est pas définie pour x = 1;
- Au voisinage de 1, nous avons 2 divisé par un très petit nombre, donc |f(x)| >> 1
- Signe de f près de x = 1 (cf tableau des signes) : si -1 < x < 1, f(x) < 0 et si x >1, f(x) > 0.
x
-∞
-1
1
+∞
x + 1
-
-
0
+
+
+
+
x - 1
-
-
-
-
0
+
+
x+1
x−1
+
+
0
-
||
+
+
Nous pouvons donc schématiquement esquisser f:

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Durant cette année, nous nous donnerons les outils nécessaires pour l'étude précise des fonctions. Il est
cependant utile de se représenter, de manière intuitive, l'allure générale d'une fonction par quelques
raisonnements simples.
Nous serons parfois amenés à considérer l'image d'un ensemble (par exemple un intervalle) par une
fonction: f(A) = {y ∈ &y = f(x) pour tout x ∈ A}
f([a; b]) = [m; M]
Exemples:
1. Soit la fonction f définie par f(x) = sin(x)
f([0; 2π]) = [-1; 1] f([0;π]) = [0; 1]
2. Soit la fonction g définie par g(x) =
€
1
x
€
g(]0; 1]) = [1; ∞[
§ 1.2 Droites
On sait qu'une fonction réelle du type f : x  ax + b (où a et b sont des nombres réels) est représentée
graphiquement par une droite (par exemple dans un repère orthonormé).
Exemples :
f : x  -2x + 3
g : x 
€
3
4
x – 2
h : x  2x
g
f
h
3
-2
0 1

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1.2.1 Pente d’une droite
Si A et B sont deux points sur le graphique de f,
alors le nombre mAB=
d(xB)−d(xA)
xB−xA
représente la pente de la droite d
(entre les points A et B) :
d(xB) – d(xA) représente une grandeur mesurée verticalement (une dénivellation), alors que xB – xA
représente une grandeur horizontale.
La pente de la droite ne dépend pas des points choisis pour la calculer.
Exemple :
Soit la droite d, définie par d(x) = 3x – 2.
On vérifie facilement que d(-2) = -8, d(1) = 1, d(4) = 10 et d(5) = 13.
Cela signifie donc que les points A = < -2 ; -8 >, B = < 1 ; 1 >, C = < 4 ; 10 > et D = < 5 ; 13 > sont sur le
graphique de d.
On a alors mAB =
€
d(xB)−d(xA)
xB−xA
=
€
1−(−8)
1−(−2)
=
€
9
3
= 3
mCB =
€
d(xB)−d(xC)
xB−xC
=
€
1−10
1−4
=
€
−9
−3
= 3
mCD =
€
d(xD)−d(xC)
xD−xC
=
€
13 −10
5−4
=
€
3
1
= 3
D'une façon plus générale, si A, B, C et D sont des points du graphique de cette droite, alors les triangles
hachurés dans la figure ci-dessous sont semblables, et dans ce cas nous savons que leurs côtés sont
proportionnels.
On a donc
€
d(xB)−d(xA)
xB−xA
=
€
d(xC)−d(xD)
xC−xD
, ce qui signifie mAB = mDC et ceci montre bien que la pente d'une
droite ne dépend pas des points choisis pour la calculer. On peut donc parler de la pente d'une droite !!!
Revenons à la droite d : x  ax + b, et essayons de déterminer la valeur de sa pente.
B
A
xB xA
xB d( )
xA d( )
xA xB–
xB d( ) xA d( )–
d
B
A
xB xA xD
xC
d
C
D