Troisième B IE3 trigonométrie sujet 1 2013-2014 Exercice 1 Centre étrangers (Nice) Juin 2004 (5 points) Les points A, B et C sont alignés ainsi que les points A, D et E. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE). AB = 2,5 BD = 1,5 CE = 4,5 1. Calculer AD. Justifier. 2. Déterminer la mesure arrondie au degré de l’angle a BAD. 3. Calculer AC et AE. Justifier. Exercice 2 : Question de cours (2 points) 1) Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, exprimer tan d C et sin d B en fonction de longueurs des côtés du triangle. 2) Donner la relation reliant cos(x) et sin(x). Exercice 3 (3 points) Dans un triangle (ABC) rectangle en B on a : AB = 12 cm et BAC = 27° 1) Calculer BC au millimètre près. 2) Calculer AC au millimètre près. 3) Calculer la mesure exacte de ACB . 1 Troisième B Exercice 1 IE3 trigonométrie sujet 2 2013-2014 (5 points) – Centre étrangers (Lyon) Juin 2006 AHC est un triangle rectangle en H. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B. On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm. 1) a) b) c) Justifier l’égalité a ACH = 90° - a HAC. Justifier l’égalité a BAH = 90° - a HAC. Que peut-on en déduire pour les angles a ACH et a BAH ? 2) a) 3 Montrer que tan a ACH = . 4 b) En utilisant le triangle BAH, exprimer tan a BAH en fonction de BH. 3) Déduire des questions 1 et 2 que BH = 3,6 cm. 4) Calculer la mesure en degrés arrondie au degré de l’angle a ACH. Exercice 2 : Question de cours (2 points) 1) Citer la relation liant tan(x), sin(x) et cos(x). 2) Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C, exprimer tan d B et cos d A en fonction de longueurs des côtés du triangle. Exercice 3 (3 points) Dans un triangle (EFG) rectangle en E on a : FG = 8 cm et EFG = 38° 1) Calculer EF au millimètre près. 2) Calculer EG au millimètre près. 3) Calculer la mesure exacte de EGF . 2 Troisième B IE3 trigonométrie CORRECTION sujet 1 2013-2014 Exercice 1 Centre étrangers (Nice) Juin 2004 (5 points) Les points A, B et C sont alignés ainsi que les points A, D et E. Les droites (BD) et (CE) sont perpendiculaires à la droite (AE). AB = 2,5 BD = 1,5 CE = 4,5 1. Calculer AD. Justifier. 2. Déterminer la mesure arrondie au degré de l’angle a BAD. 3. Calculer AC et AE. Justifier. 1. En utilisant le théorème de Pythagore, dans le triangle ABD rectangle en D, on a : AB² = AD² + BD² Soit AD² = 2,5² - 1,5² = 4 Donc AD = 2 2. sin a BAD = BD 1,5 = AB 2,5 D’où a BAD ≈ 37° 3. sin a BAD = CE AC 4,5 1,5 = AC 2,5 AC = 4,5 × 2,5 = 7,5 1,5 En utilisant le théorème de Pythagore, dans le triangle AEC rectangle en E, on a: AC² = AE² + CE² Soit AE² = AC² - CE² = 7,5² - 4,5² = 36 Soit AE = 6 Exercice 2 : Question de cours (2 points) 1) Dans un triangle rectangle ABC rectangle en A, exprimer tan d C et sin d B en fonction de longueurs des côtés du triangle. 2) Donner la relation reliant cos(x) et sin(x). AB AC 1) tan d C = sin d B = AC BC 2) sin²(x) + cos²(x) = 1 3 Troisième B IE3 trigonométrie CORRECTION sujet 1 2013-2014 Exercice 3 (3 points) Dans un triangle (ABC) rectangle en B on a : AB = 12 cm et BAC = 27° 1) Calculer BC au millimètre près. 2) Calculer AC au millimètre près. 3) Calculer la mesure exacte de ACB . 1) BC Dans le triangle ABC rectangle en N, on a : tan a BAC = AB BC = tan a BAC × AB = 12 × tan 27° ≈ 6,1 cm 2) 3) AB Dans le triangle ABC rectangle en N, on a : cos a BAC = AC AB 12 AC = = ≈ 13,5 cm cos 27° cos a BAC Dans le triangle ABC rectangle en N, on a : a ACB = 90 – a BAC = 63° 4 Troisième B IE3 trigonométrie CORRECTION sujet 2 2013-2014 Exercice 1 Centre étrangers (Lyon) Juin 2006 (5 points) AHC est un triangle rectangle en H. La droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC) coupe la droite (HC) en B. On sait que : AH = 4,8 cm et HC = 6,4 cm. 1) a) Justifier l’égalité a ACH = 90° - a HAC. b) c) Justifier l’égalité a BAH = 90° - a HAC. Que peut-on en déduire pour les angles a ACH et a BAH ? 2) a) 3 Montrer que tan a ACH = . 4 b) En utilisant le triangle BAH, exprimer tan a BAH en fonction de BH. 3) Déduire des questions 1 et 2 que BH = 3,6 cm. 4) Calculer la mesure en degrés arrondie au degré de l’angle a ACH. 1) a) Le triangle AHC étant rectangle en H, les angles a ACH et a HAC sont complémentaires. Donc a ACH = 90° - a HAC. b) Comme le triangle ABC est rectangle en A, on a a BAH + a HAC = 90° Donc a BAH = 90 – a HAC c) On a donc a ACH = a BAH = 90° - a HAC. 2) a) Dans le triangle ACH rectangle en H, on a : AH 4,8 3 tan a ACH = = = . HC 6,4 4 b) 3) 4) BH BH Dans le triangle BAH rectangle en H, on a : tan a BAH = =. . AH 4,8 3 BH = 4,8 × tan a BAH = 4,8 × tan a ACH = 4,8 × = 3,6 cm. 4 Avec la calculatrice, on trouve a ACH ≈ 37°. 5 Troisième B IE3 trigonométrie CORRECTION sujet 2 2013-2014 Exercice 2 : Question de cours (2 points) 1) Citer la relation liant tan(x), sin(x) et cos(x). 2) Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C, exprimer tan d B et cos d A en fonction de longueurs des côtés du triangle. sin(x) 1) tan(x) = cos(x) AC AC 2) tan d B = cos d A = BC AB Exercice 3 (3 points) Dans un triangle (EFG) rectangle en E on a : FG = 8 cm et EFG = 38° 1) Calculer EF au millimètre près. 2) Calculer EG au millimètre près. 3) Calculer la mesure exacte de EGF . 1) EF Dans le triangle EFG rectangle en E, on a : cos a EFG = FG EF = FG × cos a EFG = 8 × cos 38° ≈ 6,3 cm 2) Dans le triangle EFG rectangle en E, on a : sin a EFG = 3) EG = FG × sin a EFG = 8 × sin 38° ≈ 4,9 cm Dans le triangle EFG rectangle en E, on a : EG FG a EGF = 90 - a EFG = 90 – 38 = 52° 6