découverte : le quart de cercle trigonométrique

CHAPITRE 4
DÉCOUVERTE : LE QUART DE CERCLE
TRIGONOMÉTRIQUE
Vous avez sur votre écran d’ordinateur une figure qui doit ressembler à celle-ci :
Le quart de cercle rouge est centré sur le point O(origine du repère orthonormé), de rayon 1. Il est ap-
pelé quart de cercle trigonométrique
Le triangle O AB est rectangle en A; le point Mest le point d’intersection de [OB ] avec le quart de cercle
trigonométrique, et le point Nest le point de [BC ] d’abscisse 1. L’angle αpeut varier grâce au curseur,
sur la droite de la figure (à la souris, ou au clavier avec les flèches, si le point sur le curseur a été au préa-
lable sélectionné).
Pour quelques valeurs de αque vous choisirez arbitrairement, complétez le tableau suivant, à l’aide du
graphique et de votre calculatrice :
Mesure de l’angle α
quotient O A
OB
quotient AB
OB
quotient O A
AB
valeur de cosα
valeur de sinα
valeur de tanα
abscisse de M
ordonnée de M
ordonnée de N
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Comment expliquer ces résultats ?
Complétez :
1. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a cosα=cos AOB =............
. . . . . . . . . . . . .
Dans le triangle OF M rectangle en F, on a cosα=cos F OM =. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . =............ =. . . . . . . . . . . . .
Autrement dit, le cosinus de l’angle αest donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
où Mest le point d’intersection de [OB ) avec le quart de cercle trigonométrique.
2. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a sinα=sin AOB =. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Dans le triangle OF M rectangle en F, on a sinα=sin F OM =. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . =. . . . . . =. . . . . . =. . . . . ..
Autrement dit, le sinus de l’angle αest donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , où
Mest le point d’intersection de [OB) avec le quart de cercle trigonométrique.
3. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a tanα=tan AOB =. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
Dans le triangle OI N rectangle en I, on a tanα=tan I ON =. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . =............ =. . . . . . . . . . . . .
Autrement dit, la tangente de l’angle αest donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
où Nest le point d’intersection de [OB ) avec la droite tangente au cercle trigonométrique au
point I.
Quelques propriétés des sinus, cosinus et tangente.
Nous sommes donc dans la situation suivante :
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4−0.20.4
sinα
cosα
tanα
O
I
J
M
α
G
F
N
H
Sur votre cahier ou votre classeur, à l’aide de la figure ci-dessus :
1. Pourquoi a-t-on toujours 0 <cosα<1 et 0 <sinα<1 pour un angle aigu α?
2. A-t-on le même genre d’encadrement pour tanα?
3. Démontrer que l’on a cos2α+sin2α=1.
4. Démontrer que l’on a tanα=sin α
cosα
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