C HAPITRE 4 D ÉCOUVERTE : L E QUART DE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Vous avez sur votre écran d’ordinateur une figure qui doit ressembler à celle-ci : Le quart de cercle rouge est centré sur le point O (origine du repère orthonormé), de rayon 1. Il est appelé quart de cercle trigonométrique Le triangle O AB est rectangle en A ; le point M est le point d’intersection de [OB] avec le quart de cercle trigonométrique, et le point N est le point de [BC ] d’abscisse 1. L’angle α peut varier grâce au curseur, sur la droite de la figure (à la souris, ou au clavier avec les flèches, si le point sur le curseur a été au préalable sélectionné). Pour quelques valeurs de α que vous choisirez arbitrairement, complétez le tableau suivant, à l’aide du graphique et de votre calculatrice : Mesure de l’angle α quotient OA OB quotient AB OB quotient OA AB valeur de cos α valeur de sin α valeur de tanα abscisse de M ordonnée de M ordonnée de N 3ème Page 1/2 Activité de découverte Comment expliquer ces résultats ? Complétez : = ............ . 1. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a cos α = cos AOB ............ Dans le triangle OF M rectangle en F , on a cosα = cos F OM = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . Autrement dit, le cosinus de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , où M est le point d’intersection de [OB) avec le quart de cercle trigonométrique. = ............ . 2. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a sin α = sin AOB ............ Dans le triangle OF M rectangle en F , on a sin α = sin F OM = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . = . . . . . . = . . . . . . . Autrement dit, le sinus de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , où M est le point d’intersection de [OB) avec le quart de cercle trigonométrique. = ............ . 3. Dans le triangle O AB rectangle en A, on a tan α = tan AOB ............ Dans le triangle OI N rectangle en I , on a tanα = tan I ON = .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. = . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . Autrement dit, la tangente de l’angle α est donné par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , où N est le point d’intersection de [OB) avec la droite tangente au cercle trigonométrique au point I . Quelques propriétés des sinus, cosinus et tangente. Nous sommes donc dans la situation suivante : 1.0 b J H 0.8 tan α G b 0.6 sin α b b b N M 0.4 0.2 b 0.4 −0.2 O cos α F α 0.2 I b 0.4 0.6 0.8 b 1.0 1.2 1.4 Sur votre cahier ou votre classeur, à l’aide de la figure ci-dessus : 1. Pourquoi a-t-on toujours 0 < cos α < 1 et 0 < sin α < 1 pour un angle aigu α ? 2. A-t-on le même genre d’encadrement pour tan α ? 3. Démontrer que l’on a cos2 α + sin2 α = 1. sin α 4. Démontrer que l’on a tan α = cos α 3ème Page 2/2 Activité de découverte