Bac blanc n°3 - j.galtier
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Classe de Terminale S2 Mardi 24 mai 2005 Ultime devoir surveillé de mathématiques Exercice 1 (bac S, Nouvelle Calédonie, mars 2005, 4 points) L’exercice comporte 4 questions. Pour chaque question, on propose 3 affirmations. Pour chacune d’elles, le candidat doit indiquer si elle est vraie ou fausse en rayant la case correspondante. Aucune justification n’est demandée. Toute réponse ambiguë sera considérée comme une absence de réponse. Chaque réponse exacte rapporte 0,25 point. Une bonification de 0,25 point est ajoutée chaque fois qu’une question est traitée correctement en entier (c’està-dire lorsque les réponses aux 3 affirmations sont exactes). 2 ou 3 réponses inexactes dans une même question entraînent le retrait de 0,25 point. L’abstention n’est pas prise en compte, c’est-à-dire ne rapporte ni ne retire aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à zéro. r r Dans l’exercice, le plan complexe est rapporté au repère orthonormal O, u, v . Pour tout entier n non nul, pour 1 2 3 4 tout réel , ei est égal à : n La partie imaginaire du nombre complexe z est égale à : e ni cos n i sin n Faux Vrai Faux Vrai cos n i sin n Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai zz 2 zz 2i zz 2 2 y Soit z un complexe, z x iy (x et y réels). Si z est un imaginaire 2 pur, alors z est égal à : y2 Faux Vrai z2 Faux Vrai A, B, C sont trois points d’affixes respectives a, b, c telles que ba i 3 . Alors : ca BC 2 AC uuur uuur AB, AC 2k , k ¢ 2 uur uur CA CB CA2 Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Exercice 2 (Bac S, Nouvelle Calédonie, mars 2005, 5 points) Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p. Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude. Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i-ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par X X1 X 2 ... X 40 . 1. Montrer que X représente le nombre de fois où Claude est contrôlé, déterminer la loi de X. 1 2. Dans cette question on suppose que p . 20 a) Calculer l’espérance de X. b) Calculer les probabilités p( X 0), p( X 1), p( X 2) . c) Calculer à 10-4 près la probabilité que Claude soit contrôlé au moins 3 fois. 3. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur (par rapport à quelqu’un qui paierait tous ses trajets). 1 Justifier l’égalité Z 400 100 X puis calculer l’espérance de Z pour p . 5 4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99%. a) Démontrer que p( X 2) (1 p)38 (741 p 2 38 p 1) . b) Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par f ( x) (1 x)38 (741x 2 38x 1) . Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il existe un unique réel x0 appartenant à n n 1 x0 [0 ; 1] tel que f ( x0 ) 0,01 . Déterminer l’entier n tel que . 100 100 c) En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer à p pour que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles dans le mois soit supérieure ou égale à 99% (on exprimera p en fonction de x0 ). Exercice 3 (Bac S, Inde, avril 2005, 5 points) r r r L’espace E est rapporté à un repère orthonormal O, i, j, k .On considère les points A, B, C de coordonnées respectives A(1; 0 ; 2) , B(3 ; 4 ; 4) , C (1;1;1) . r r 1. Montrer que A, B et C ne sont pas alignés. Soit n le vecteur de coordonnées n(3 ; 4 ; 2) . r uuur uuur Vérifier que n est orthogonal à AB et AC , en déduire une équation du plan (ABC). 2. Soient P1 et P2 les plans d’équations respectives 2 x y 2 z 1 0 et x 2 y 6 z 0 . Montrer que P1 et P2 sont sécants suivant une droite D dont on donnera un système d’équations paramétriques. La droite D et le plan (ABC) sont-ils sécants ou parallèles ? 3. Soit t un réel positif quelconque. On considère le barycentre G des points A, B, C affectés des coefficients respectifs 1 ; 2 et t. a) Justifier l’existence du point G pour tout réel positif t. Soit I le barycentre des points A et B affectés des coefficients 1 et 2. Déterminer les uur uur coordonnées du point I. Exprimer IG en fonction de IC . b) Montrer que l’ensemble des points G lorsque t décrit [0 ; [ est le segment [IC] privé du point C. Pour quelle valeur de t G est-il le milieu de [IC] ? Exercice 4 ( directement sorti du cerveau malade d’un professeur, 6 points) 1 et si t 0, f (0) 1 . Soit f la fonction définie sur 0 ; par f (t ) t 1. Montrer, pour tout réel t 0 les inégalités e t 1 t et 1 (1 t )et 0 . Calculer la dérivée de f sur ]0 ; +[, étudier les variations de f. 2. Etudier la continuité de f en 0. t2 et 2 t2 t3 t2 t3 t2 t t v(t ) e 1 t , montrer que, pour tout réel positif t, que e 1 t . 2 6 2 6 2 En déduire la dérivabilité de f en 0. 3. En considérant les fonctions u et v définies sur [0 ; +[ par u (t ) et 1 t 4. On appelle G la fonction définie sur 0 ; par G ( x) 2x f (t )dt . On ne cherchera pas à x calculer l’intégrale. a) En considérant une primitive F de f, montrer que G '( x) e x e2 x . En déduire les x variations de G. b) Montrer que, pour tout t de [x ; 2x], 1 e x 1 et 1 e2 x . En déduire que pour tout x de 0 ; , (1 e x ) ln 2 G( x) (1 e2 x ) ln 2 et les limites de G en 0 et en +.
