Sujet 9 : Polynésie

Sujet 9 : Polynésie.
Juin 2004.
Exercice : [4 points, 30 min]
 Probabilités.
 Variable aléatoire.
 Loi exponentielle.
Le laboratoire de physique d'un lycée dispose d'un parc d'oscilloscopes identiques. La durée
de vie en années d'un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la «loi de durée
de vie sans vieillissement » (ou encore loi exponentielle de paramètre avec
0
). Toutes
les probabilités seront données à
3
10
près.
1) Sachant que
286,010 Xp
, montrer qu'une valeur approchée à
3
10
près de
est 0,125.
On prendra 0,125 pour valeur de dans la suite de l'exercice. [1 pt]
2) Calculer la probabilité qu'un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie
inférieure à 6 mois. [0,5 pt]
3) Sachant qu'un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu'il ait
une durée de vie supérieure à dix ans ? [0,5 pt]
4) On considère que la durée de vie d'un oscilloscope est indépendante de celle des autres
appareils. Le responsable du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est
la probabilité qu'au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ?
[1 pt]
5) Combien l'établissement devrait-il acheter d'oscilloscopes pour que la probabilité qu'au
moins l'un d'entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ? [1 pt]
Rappel :
Loi exponentielle de paramètre sur
;0
, dite aussi loi de durée de vie sans
vieillissement :
pour
ba 0
,
b
a
tdtebap
;
,
et pour tout
,0c
 ctdtecp 0 1;
.
Exercice : (obligatoire) [5 points, 40 min]
 Nombres complexes.
 Application à la géométrie.
 Construction géométrique.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
vuO ,,
prendra pour unité
graphique 1 cm.

1) On désigne par A, B et I les points d'affixes respectives
izA23
,
3
B
z
et
izI21
.
a) Faire une figure que l'on complétera au cours de l'exercice. [0,5 pt]
b) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe
B
A
zz zz
Z
1
1
.
Que peut-on en déduire sur la nature du triangle IAB ? [1 pt]
c) Calculer l'affixe
C
z
du point C image de I par l'homothétie de centre A et de rapport
2. [0,5 pt]
d) Soit D le barycentre du système {(A ; 1), (B ; - 1), (C ; 1)}, calculer l'affixe
D
z
du
point D. [0,5 pt]
e) Montrer que ABCD est un carré. [0,5 pt]
2) Déterminer et construire l'ensemble
1
des points M du plan tels que :
  MCMAMCMBMA 2
1
. [1 pt]
3) On considère l'ensemble
2
des points M du plan tels que :
54  MCMBMA
.
a) Montrer que B appartient à
2
. [0,5 pt]
b) Déterminer et construire l'ensemble
2
. [0,5 pt]
Exercice : (spécialité) [5 points, 50 min]
 Nombres complexes.
 Similitude.
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal
vuO ,,
. On prendra pour unité graphique 3
cm.
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a, b, c et d telles que :
3a
,
ib 3
2
1
,
ic 3
et
id 3
1
.
1) Représenter les points A, B, C et D. [0,5 pt]
2) Déterminer l'angle et te rapport k de la similitude directe s transformant A en B et C
en D. [1 pt]
3) Donner l'écriture complexe de s. En déduire l'affixe du centre I de s. [0,5 pt]
4) Soit M le point de coordonnées
yx;
et
','' yxM
son image par s.
Montrer que :
3
1
3
1
'
1
3
1
'
xy
yx
. [1 pt]
5) On construit une suite
n
M
de points du plan en posant :

nn MsM
nnaturelentiertoutpouret
AM
1
0
,
.
Pour tout entier naturel, on note
n
z
l'affixe du point
n
M
et on pose
1 nn zr
.
a) Montrer que
n
r
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison. [1 pt]
b) Déterminer le plus petit entier naturel k tel que
3
10
k
IM
. [1 pt]
Exercice : [6 points, 50 min]
 Equation différentielle.
 Suites de fonctions.
 Intégrales.
1) Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction
k
f
définie sur IR par:
x
x
kke
ke
xxf   1
1
.
a) Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction
k
f
est solution de
l'équation différentielle :
(E) :
1'2 2 xyy
. [0,5 pt]
b) En déduire le sens de variation de
k
f
sur IR. [0,5
pt]
2) On note
k
C
la courbe représentative de la fonction
k
f
, dans un repère orthonormal
jiO ,;
.
Ci-dessous, on a représenté la droite D d'équation
1 xy
, la droite D’ d'équation
1 xy
et plusieurs courbes
k
C
correspondant à des valeurs particulières de k.
Déterminer le réel k associé à la courbe C, passant par le point O puis celui associé à la
courbe C’ passant par le point A de coordonnées
1;1
.

[1 pt]
3) On remarque que, pour tout x réel, on a : i
1
12
1x
kke
xxf 
et
2
12
1x
x
kke
ke
xxf 
En déduire pour tour k strictement positif :
 La position de la courbe
k
C
par rapport aux droites D et D' ;
 Les asymptotes de la courbe
k
C
. [1 pt]
4) Cas particulier : k = 1 .
a) Justifier que
1
f
est impaire. [0,5 pt]
b) Soit la fonction F définie sur IR par:
xdttfxF 01
.
Interpréter graphiquement le réel
xF
dans les deux cas :
0x
et
0x
.
Déterminer alors la parité de F à l'aide d'une interprétation graphique. [1 pt]
c) Déterminer les variations de F sur IR. [0,5 pt]
d) En utilisant l'égalité
2
, calculer explicitement
xF
. [1 pt]
Exercice : [5 points, 40 min]
 Suites.
 Intégrales.
 Fonctions exponentielles.
On considère la suite
INn
n
I
, définie par ;
1
0
².
1dt nt
e
It
n
1) a) Déterminer le sens de variation de cette suite. [0,5 pt]

b) Montrer que
INn
n
I
est une suite positive. [0,5 pt]
c) Montrer que pour tout
1;0t
on a
nnt
et
11 1
²
et en déduire que :
1
1
0  n In
.
Que peut-on en conclure quant à la convergence de
INn
n
I
? [1 pt]
2) On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par:
1 xexf x
et
x
e
x
xxg   2 12
.
a) Étudier le sens de variation et le signe de f. [0,5 pt]
b) En déduire le sens de variation de g sur [0 ; 1]. [0,5 pt]
c) Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l'encadrement:
2
11 2
x
xex x 
. [0,5 pt]
d) En déduire un encadrement de
2
t
e
pour tout t appartenant à [0 ; 1]. [0,5 pt]
e) Établir l'encadrement :
130 23 23 2 n
I
nn
. [0,5 pt]
f) Donner une valeur de p telle que
2
10
p
I
. [0,5 pt]