ds2 2014

Exercice 1 ( 2 pts ) :
Répondre par vrai ou faux ( Aucune justification n’est demandée) :
On considère la courbe (C) ci-dessous, la droite
D
:
2
x
=
et l’axe des abscisses étant asymptotes à (C). On
appelle f la fonction représentée par (C) et g la fonction définie par
g(x) ln(f(x))
=
. On donne f(-1)=1
a. g est définie sur
]
[
2,2
-.
b. g est strictement croissante sur [0,1[
c. g est dérivable en 0 et
1
g'(0)
e
=
.
d. 0
1-
ò
f '(x)
dx
f(x)
Exercice 2 ( 4 pts) :
Dans un plan orienté, on considère un triangle ABC rectangle en A et tel que
(
)
[]
BC,BA2
3
p
ºp
u ur u ur
$.
(Voir figure 1 dans l’annexe qui sera complétée et rendue avec la copie).
Soit D le point du plan tel que
AD KC
=
uur uur
et soit K le symétrique de B par rapport à A.
On désigne par O, I et J les milieux respectifs des segments [AC], [BC] et [BD]
Lycée Médenine
Lycée pilote Médenine
04 - 03 - 2014
Profs : Guetet Farah
Hadj Salem
Habib
Ben Ahmed Nejib
4°Maths *** Durée 4
h
Devoir de synthèse 2
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
e
(C)
D

1. Soit S la similitude directe du plan telle que S(D) = B et S(I) = K
a) Montrer qu’une mesure de l’angle de S est
3
p
-
et que le rapport est 2
b) Montrer que C est le centre de la similitude S
2. Soit A’ le symétrique de D par rapport à C
a) Montrer qu’il existe un seul antidéplacement f tel que f(D) = A et f(A )= A’.
b) Montrer que f est une symétrie glissante dont on déterminera l’axe et le vecteur .
c) Montrer que f(B) = C
3. On pose g = f oS
a) Montrer que g est une similitude indirecte dont on précisera le rapport
b) Déterminer g o g(D)
c) Construire le centre
W
de g et son axe
D
.
4. On pose h=g-1ofog
a) Vérifier que h=S-1og
b) Montrer que h est une symétrie glissante que l’on caractérisera.
Exercice 3 ( 4 pts) :
Dans la figure 2 de l’annexe ; D est une droite, A est un point n’appartenant pas à D et H son projeté
orthogonal sur D.
1. Déterminer l’ensemble  des foyers F des paraboles de directrice D et passant par A.
2. Soit B le foyer de la parabole  de sommet A et de directrice D. On muni le plan du repère orthonormé
(
)
A,i,AB
r u ur
où
i
r
est un vecteur directeur de D.
a) Montrer qu’une équation de  est x2 = 4y. Puis la tracer.
b) Soit t > 0. Vérifier que le point G
t
t,
4
æö
ç÷
èø
est un point de .
c) Ecrire une équation de la tangente  à  en G .
d) Déterminer les coordonnées du point E intersection de la tangente Tet la directrice D. Puis montrer
que le triangle BEG est rectangle en B.
3. Le plan est muni du repère
(
)
A,i,AB
r u ur
, Soit M
(
)
x,y
un point et K son projeté orthogonal sur D.
On considère ℋ l’ensemble des points M tel que MB2 − 5MK2 = 9.
a) Montrer qu’une équation de ℋ est
2
2
x3
y1
42
æö
-+=
ç÷
èø
b) En déduire que ℋ est une hyperbole dont on déterminera les coordonnées de ses sommets, de ses
foyers et les équations des asymptotes.
c) Construire ℋ dans le même repère par une autre couleur

Exercice 4 ( 5 pts) :
Soit f la fonction définie sur IR par :
(
)
2xx
f x e 2e
=-, et C la courbe de f dans un repère orthonormé
(
)
O,i,j
rr
du plan.
1) a. Dresser le tableau de variation de f
b. Construire la courbe C .
2) On désigne par g la restriction de f à
[
[
0,
+¥
a.Montrer que g admet une fonction réciproque g-1 définie sur un intervalle J que l’on précisera.
b. Etudier la dérivabilité de g-1 sur J et construire sa courbe C ’ dans le même repère.
c.Démontrer que ∀∈J ,
()
(
)
1
g x ln1 1x
-
= ++
.
3) On donne une fonction F définie par :
()
(
)
()
2x
x
ft
Fx dtsix0
t
F 0 ln2
ì
=>
ï
í
ï=-
î
ò
a. Montrer en utilisant l’inégalité d’accroissement fini que
] [
(
)
()
fx1
x 0, ;0 f'x
x
+
"Î+¥<<
b. Montrer que
]
[
(
)
(
)
(
)
x 0, ;0 Fx ln2 f2x fx
"Î+¥<+<-
c. En déduire la continuité et la dérivable de F à droite en 0 et que Fdʹ( 0 )=0
4) a. Vérifier que ∀>0,
F(x) f(x).ln2
³
b. Etudier la branche infinie de F au voisinage de
+¥
.
5) a. Montrer que F est dérivable sur
]
[
0,
+¥
et que pour tout x>0 , F’(x) =
(
)
(
)
f2x fx
x
-
b. Dresser alors le tableau des variations de F.
Exercice 5 ( 5 pts ) :
A) Soit g la fonction définie sur
]
[
0,
+¥
par g(x)= 1-x3-2lnx
Etudier les variations de g, calculer g(1) et en déduire le signe de g(x).
B) Soit f la fonction définie sur par f(x)=1-x+
2
lnx
x
Et Cf sa courbe représentative dans le repère orthonormé
(
)
O,i,j
rr
.
1) Montrer que pour tout x
]
[
0,
Î +¥
, f’(x)=
3
g(x)
x
et dresser le tableau de variations de f.
2) a) Montrer que Cf admet une asymptote oblique D et étudier la position relative de Cf et D.
b) représenter graphiquement f.
3) a) Soient
a
et
b
deux réels tels que :
1
£a<b
, calculer : 2
lnx
I dx
x
b
a
=ò.

C) Soit (Un) la suite réelle définie par Un=n
2
2
lnx
dx
x
ò ; pour n
³
2
1) Montrer que (Un) est croissante.
2) Vérifier que pour tout n
³
2 ; on a : Un=
( ) ( )
11
1ln2 1lnn
2n
+-+et calculer
n
n
lim U
®+¥ .
3) On pose pour tout n
³
2 ; Sn=
n
2
k2
lnk
k
=
å
a) Etudier le sens de variations de la fonction
2
lnx
:x
x
ja
b) Montrer que pour k
³
2, on a :
(
)
( )
k1
2
22
k
lnk1
lnx lnk
xk
k1
+
+££
+
ò
c) En déduire que pour tout n
³
2, n nn
22
lnn ln2
U SU
n2
+ ££+
d) Montrer que ( Sn) est convergente et en déduire un encadrement de sa limite.
BON TRAVAIL

Nom et prénom ………………………………………………………………………………………………………………………………..
4Maths………………….. N°………………..
Figure 1
Figure 2