EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES

Exercices rédigés sur les nombres complexes Page G. COSTANTINI 
EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 Valeur exacte du cosinus et du sinus de p/12
z=ei
p
 z=
p
-i
e
zz !
"   !# ! zz
$ 
 p
   p
Exercice 2 Des pistes pour démontrer qu'un complexe est réel ou imaginaire pur
"  !
Z   ÛZ =Z
Z Î Û%Z =&%Z'=&(p)'
Z  ÛZ *Z=&
Z Îi Û%Z =&%Z'=p
(p)'
+
,z !Z =z*z - -
.E /M /0z !Z  " E
A B /0i .M /0z A
 Z =-
-
z
zi
" /E M !Z  
" /F M !Z 
Exercice 3 Écriture complexe de transformations
. ¦!1M%z'M'%z''!
z' =az +i
"    ! ¦!a =#!a =-i
A%'#B% +i'#A'%i'B'%+i'
2 0!AB =A'B'
" !/!r !r%A' =A' r%B'=B'3 
Exercice 4 Lieux de points
.z  M /0zZ =
z
z
+
-
i
" /
 E M !Z  
 F M !4Z4=
 G M !%Z'=p
(p)

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Exercice 5 Utilisation des nombres complexes pour établir une propriété algébrique
.a#b Î !a b  
x#y Î !a =x y
+z#t Î
!b =z t
+
" !ab  %5   ( ) x y
+=x y +i'
Exercice 6 Identité du parallélogramme
" !Z Z'#
4Z +Z'4+4Z -Z'4=4Z4+4Z'4
%5 Z=ZZ'
5   !
Exercice 7Racines de l'unité. Applications
.n Î
6n/ z !
n
z=
n/n/ 7# =8-#9
" !
n=
#8&###9
k
nkn
p
ìü
ïï Î-
íý
ïï
îþ
i
e
" !n/ 
" !# ( ) ##Oee
uruur
#Ak%& k n -'
wk=
k
n
p
i
e/: 
+
'.Z Î nZ !
n
z=Z
.R =4Z4 QZ" !Z n n
k
nnn
R
Qp
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i
e#&
k n -
'. ¦:; 0
¦%x'=x+
" ! - ! ¦/ 
:; 10 
'.z ! +z+z<=&
" !z / 

Exercices rédigés sur les nombres complexes Page G. COSTANTINI 
Exercice 8Transformation de a cos x + b sin x
.a b  " !/ R q!x Î
a x +b x =R %x -q'
+ # #/ ! x +x =
Exercice 9Calcul de la valeur exacte de cos(2 p/5) et cos(4p/5)
7=#1!>
? # ´ #:
u v
uv
+ =-
=-
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î
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 w=ei
>
p
" ! w&*w*w*w*w=&
$ %1//$'!
>
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èø * 
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èø =-
" !
>
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èø  
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èø * 
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èø - 
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$ !  
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èø  
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èø =-
>" !  
>
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èø =-+
>
>
p
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èø =--
>
Exercice 10 Carrés et parallélogramme
ABC 
DBA D 
ACE E 
L !CL
®=DB ®
@0
" !EDL E 

Exercices rédigés sur les nombres complexes Page G. COSTANTINI 
Exercice 11Des carrés autour d'un quadrilatère %Théorème de Von Aubel'
!ABCD 
! P#Q#R S !/ ; (AB)#
(BC)#(CD)(DA)!ABCD%20'
3 !! PQRS 
A
a#b#c#d#p#q#r s 0A#B#C#D#P#Q#R S 
  ( ) ##Oee
uruur
" ! (AB)#
p =
ab
-
-
i
i
q#r s  
, sq
rp
-
-
,
R
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A
C
B
P

Exercices rédigés sur les nombres complexes Page >G. COSTANTINI 
Exercice 12 Des carrés autour d'un triangle (Point de Vecten)
ABC 
 P#Q R !/ ; (AB)#(BC)
(CA)ABC%20'
a#b#c#p#q r 0A#B#C#P#Q R 
( )
##Oee
uruur
" !ABC PQR A 
" ! (AB)#
p =
ab
-
-
i
i
q r  
" !%AQ'%PR'
$ !%AQ'#%BR'%CP'
5/B2B ABC
P
R
Q
CB
A