TP 07 — Chute libre, mécanique du point - PCSI

PCSI du lyc´ee de l’Essouriau
Universit´e Paris-Sud
Centre d’Orsay
Math´ematiques et Informatiques
TP 07
2011–2012
TP 07 — Chute libre, m´ecanique du point
Exercice 1 : (chute verticale)
Un point mat´eriel Mde masse m= 3 kg est lanc´e verticalement avec une vitesse initiale v0depuis un
point de hauteur z0= 20 m. On prendra g= 9.8m.s−2pour l’acc´el´eration de pesanteur. Durant le
mouvement, le point Mest soumis `a son poids et `a une force de frottement fluide −→ f=−µ−→ vo`u −→ vest
la vitesse du point M`a l’instant tconsid´er´e et µ= 0.7kg.s−1. On s’int´eressera `a diff´erentes valeurs de la
vitesse initiale v0∈ {13,16,−2}m.s−1.
Question 1 –
Donnez l’´equation diff´erentielle v´erifi´ee par la vitesse v. La r´esoudre sur le papier et en utilisant la com-
mande dsolve de Maple.
Question 2 –
D´efinissez deux fonctions vet zqui prennent en argument v0et tet qui retourne la vitesse et la position
du point M`a l’instant tlorsque la vitesse initiale est v0.
Question 3 –
Tracez sur un mˆeme graphique les fonctions v(t) pour les trois vitesses initiales propos´ees, puis sur un
autre graphique, les fonctions z(t). V´erifiez graphiquement que vconverge vers une valeur limite (toujours
la mˆeme) et que zs’annule une seule fois.
Question 4 –
En utilisant la commande fsolve, d´eterminez une valeur approch´ee de l’instant o`u zs’annule, c’est-`a-dire
de l’instant o`u le point touche le sol.
Question 5 –
Tracez les diff´erents plans de phase, c’est-`a-dire le graphique donn´e par l’arc param´etr´e (z(t), v(t)) pour t
allant de 0 `a 20.
Exercice 2 : (chute non rectiligne)
A l’instant t= 0, un point mat´eriel Mde masse m= 3 kg est lanc´e du haut d’une falaise avec une vitesse
initiale −→ v0d’angle par rapport `a l’horizontale de α=π/3. On suppose que le point Mn’est soumis qu’`a
son poids (pas de force de frottement). On prendra g= 9.8m.s−2,H= 30 met ||−→ v0|| = 22 m.s−1.
Question 1 –
Donnez l’expression litt´erale de x(t) et de y(t). Tracez la trajectoire sur un graphique.
Question 2 –
A l’aide de la commande solve, donnez l’expression de la trajectoire sous la forme y(x).
Question 3 –
Estimez en utilisant fsolve l’instant o`u le point Mtouche le sol ainsi que l’abscisse o`u cela se produit.
Question 4 –
D´eterminez la hauteur maximale atteinte par le point M.
Question 5 – (Parabole de sˆuret´e)
Tracez y(x) pour diff´erentes valeurs de αcompris entre 0 et π/2 afin de visualiser la parabole de sˆuret´e.
Vous pourrez utiliser la commande seq pour g´en´erer la liste des graphiques que vous voulez tracer.
1