PCSI du lycée de l’Essouriau Université Paris-Sud Centre d’Orsay Mathématiques et Informatiques TP 07 2011–2012 TP 07 — Chute libre, mécanique du point Exercice 1 : (chute verticale) Un point matériel M de masse m = 3 kg est lancé verticalement avec une vitesse initiale v0 depuis un point de hauteur z0 = 20 m. On prendra g = 9.8 m.s−2 pour l’accélération de pesanteur. Durant le → − − − mouvement, le point M est soumis à son poids et à une force de frottement fluide f = −µ→ v où → v est −1 la vitesse du point M à l’instant t considéré et µ = 0.7 kg.s . On s’intéressera à différentes valeurs de la vitesse initiale v0 ∈ {13, 16, −2}m.s−1 . Question 1 – Donnez l’équation différentielle vérifiée par la vitesse v. La résoudre sur le papier et en utilisant la commande dsolve de Maple. Question 2 – Définissez deux fonctions v et z qui prennent en argument v0 et t et qui retourne la vitesse et la position du point M à l’instant t lorsque la vitesse initiale est v0 . Question 3 – Tracez sur un même graphique les fonctions v(t) pour les trois vitesses initiales proposées, puis sur un autre graphique, les fonctions z(t). Vérifiez graphiquement que v converge vers une valeur limite (toujours la même) et que z s’annule une seule fois. Question 4 – En utilisant la commande fsolve, déterminez une valeur approchée de l’instant où z s’annule, c’est-à-dire de l’instant où le point touche le sol. Question 5 – Tracez les différents plans de phase, c’est-à-dire le graphique donné par l’arc paramétré (z(t), v(t)) pour t allant de 0 à 20. Exercice 2 : (chute non rectiligne) A l’instant t = 0, un point matériel M de masse m = 3 kg est lancé du haut d’une falaise avec une vitesse − initiale → v0 d’angle par rapport à l’horizontale de α = π/3. On suppose que le point M n’est soumis qu’à − son poids (pas de force de frottement). On prendra g = 9.8 m.s−2 , H = 30 m et ||→ v0 || = 22 m.s−1 . Question 1 – Donnez l’expression littérale de x(t) et de y(t). Tracez la trajectoire sur un graphique. Question 2 – A l’aide de la commande solve, donnez l’expression de la trajectoire sous la forme y(x). Question 3 – Estimez en utilisant fsolve l’instant où le point M touche le sol ainsi que l’abscisse où cela se produit. Question 4 – Déterminez la hauteur maximale atteinte par le point M . Question 5 – (Parabole de sûreté) Tracez y(x) pour différentes valeurs de α compris entre 0 et π/2 afin de visualiser la parabole de sûreté. Vous pourrez utiliser la commande seq pour générer la liste des graphiques que vous voulez tracer. 1