Licence 2-i`eme année, parcours PC 11 semaines de cours, 10

Licence 2-i`eme ann´ee, parcours PC
11 semaines de cours, 10 semaines de TD
CH 1. Fonctions de plusieurs variables (1,5 semaines)
•Une description tr`es sommaire sur le contenu et le but de notre cours: ´etendre le savoir-faire
en matiere d’analyse d’une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3
(espace); de la notion de proximit´e (continu¨ıt´e, d´erivabilit´e) au calcul des masses (int´egrale).
•Notion d’une fonction de plusieurs variables: num´erique, vectorielle; voisinage d’un point
dans l’espace ou le plan; normes euclidiennes; op´erations sur les fonctions: some, produit
(?), composantes, compos´ees.
•Le graphe d’une fonction de plusieurs variables: exemple de x2−y2.
•La limite d’une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: (xy)/px2+y2,
(xy)/(x2+y2) `a l’origine du plan.
•La d´efinition de la continuit´e, en un point et dans un domaine. Exemples: f(x, y) =
ysin(x/y) si y= 0, f(x, 0) = 0.
•Des r´esultats sur la continuit´e: toute fonction rationnelle est continue sur sont domaine
de d´efinition; la continuit´e d’une fonction `a valeurs vectorielles et celle de ses fonctions
composantes; thm de la compos´ee de deux fonctions continues.
CH 2. Calcul differentiel (4,5 semaines)
•Rappel de la notion de fonction deriv´ee dans le cas d’une variable: la notation f(t0+δ)≈
f(t0) + f0(t0)δ, la pente du graphe.
•D´eriv´ees partielles de premier ordre, dans le cas de deux variables, avec les exemples:
x+ 3xy2au point (0,1), ysin(x/y) au point (0,0) o`u la fonction est suppos´ee nulle.
•D´eriv´ee directionnelle: j’ai donne la relation D~vf(x0, y0) = α∂f
∂x (x0, y0)+β∂f ∂y (x0, y0) pour
~v = (α, β) (je suppose que tout vecteur directeur est unitaire), mais prudence: cette relation
exige une condition tr`es forte...
•Matrice de Jacobi et compos´ee de deux fonctions.
(1) F(t) = f(x(t), y(t)) au cas particulier: xet ysont affines en t. (2) F(u, v) = f(x(u, v), y(u, v))
au cas particulier: coord. polaires (r, θ)−>(x, y).
•Le changement de coord.: d´efinition et exemples (polaire, sph´erique, cylindrique, et leur
r´eciproque, leur matrice jacobienne)
•La diff´erentiabilit´e par analogie avec la d´eriv´ee en cas d’une seule variable: le plan tangent
remplace alors la droite tangente, dessin avec x2+y2+ 1.
•Des proprietes concernant la somme, le produit de fonctions diff´erentiables, la diff´erentielle
d’une application lin´eaire ou affine, etc,
•La diff´erentiabilit´e et la continuit´e, la d´erivabilit´e ”partielle”; la relation df =fxdx +fydy
(en cas de deux variable, `a valeurs numeriques); la condition C1.
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•Le plan tangent Z−f(x0, y0) = fx(x0, y0)(X−x0)+fy(x0, y0)(Y−y0); deux interpr´etations
sur dx,dy: infinit´esimale, projection lin´eaire sur R.
•TAF (Thm Accroisements Finis) pour le cas de 2 variables et `a valeurs numeriques, `a
l’aide de la version d’une variable et de la relation dF/dt =fxh+fyko`u F(t) = f(x0+
th, y0+tk). Ainsi I(n´egalit´es)AF pour estimer la varaition, avec l’exemple de calcul de
l’erreur eventuellement commise dans la mesure de l’aire d’un rectangle.
•D.P. d’ordre deux, avec le thm de Schwarz: Si fxy et fyx sont continues alors elles sont
´egales.
•Op´erateurs classiques sur R3: gradient, divergence, Laplacien, rotationnel, etc...
.
CH 3. Int´grales multiples (2,5 semaines)
•Rappel sur le calcul integral d’une variable: mesure de l’aire du domaine sous le graphe
d’une fonction, construction `a la Riemann, lien avec les primitives.
•Int´egrale double: mesure du volume d’un ”cylindre” delimit´e verticalement par deux
surfaces au dessus d’un compact (domaine ferm´e et born´e: une abstraction de la finitude
...); compacts ´el´ementaires par rapport `a xou y; th´eor`eme de Fibini.
•Coordonn´ees polaires et changement de variables : RKfdxdy =RΩf◦Φdet(JacΦ)dudv
pour φ: (u, v)→(x, y), K = Φ(Ω). Exemple de calcul : l’integrale de x−y1/2sur le premier
quart d’un ellipse modifi´e d’´equation x1/2+y1/4<1
•Int´egrale triple: d´efinition, fubini, coordonn´ees sph´eriques et cylindriques.
•Exemples d’applications en physique: pression d’un barrage; densit´e de masse et inertie;
centre de gravit´e; champ d’attraction ...
.
CH 4. Th´eor`emes de Green, Stokes, Gauss... (2,5 semaines)
•Forme diff´erentielle de degr´e un et son int´egrabilit´e: s’il existe Favec dF =w: les
fonctions coefficients de dx,dy,dz v´erifient des edp du premier ordre.
•Int´egrales curvilignes de premi`ere esp`ece et de seconde esp`ece, probl`eme de la d´ependance
du chemin ou les points d’extremit´e. Exemples de calculs
•Formule de Green. Application au probl`eme de l’int´egrabilit´e: si une forme est int´egralble
et le domaine est simplement connexe, alors la primitive existe et peut etre calcul´ee par
int´egration (curviligne). Contre exemple: (xdy −ydx)/(x2 + y2) le long le cercle unit´e.
•Int´egrales sur les surfaces sans orientation: ´el´ements de l’aire pour une surface param´etr´ee,
ind´ependance du param´etrage; Exemples.
•Int´egrales sur les surfaces munies d’une orientation (seconde esp`ece): vecteur normal `a
une surface, flux `a traverse une surface. Exemples.
•Formule de Stokes et Gauss.
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Ch. 1 – Fonctions de plusieurs variables : Limites et continuit´e
1.1) G´en´eralit´es sur Rn–a) Introduction (Rep`eres, les coordonn´ees d’un point; sous-
ensembles de R2ou R3: droite, disque, sph`ere, plan...). b) Exemples de fonctions de
plusieurs variables: repr´esentation de z=f(x, y) := x2+y2,z=f(x, y) := x2−y2et de
leurs courbes de niveau. c) Norme et distance euclidiennes, produit scalaire; d´efinition d’une
norme de Rn.
1.2) Limite d’une application en un point – a) Voisinage d’un point, approximit´e
de deux points, “boules” de Rn. b) limite d’une application en un point: d´efinition, en
terme de suites, exemples de calcul. c) propri´et´es (convergence par composantes, op´erations
´el´ementaires, unicit´e, “sous-limites”).
1.3) Continuit´e – a) D´efinition et exemples. b) Propri´et´es (continuit´e par composantes,
op´erations ´el´ementaires, compos´ee de deux fonctions continues, toute application rationnelle
est continue dans son domaine de d´efinition, etc...).
Exercice 1
Tracer le domaine de d´efinition pour chacune des fonctions suivantes.
a. f(x, y) = √x+y.b. f(x, y) = p2x+y2.
c. f(x, y) = 1
√x+y.d. f(x, y) = log(x+ 5y).
e. f(x, y) = pxsin y.f. f(x, y, z) = 1
x+y+|z|.
g. f(x, y, z) = p4−x2−y2−z2.
Exercice 2
Illustrer par un dessin dans R3la surface d´efinie par z=−xy et indiquer les courbes de
niveau correspondant respectivement `a z= 1 et z=−1.
Exercice 3
Pour tout ~v = (x, y)∈R2, on pose k~vk1=|x|+|y|,k~vk2=px2+y2; on rappelle que k~vk2
est la norme euclidienne de ~v.
a. V´erifier que k k1est une norme sur R2.
b. Repr´esenter dans R2les ensembles suivants :
{~v ∈R2:k~vk1<1},{~v ∈R2:k~vk1≤1},{~v ∈R2:k~vk1= 1}.
c. V´erifier que
{~v ∈R2:k~vk2<√2/2} ⊂ {~v ∈R2:k~vk1<1} ⊂ {~v ∈R2:k~vk2<1}.
Exercice 4
D´eterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0,0) et donner sa valeur si
elle existe.
a. x2−y2
x2+y2.b. x2−2xy +y2 x2+y2.
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c. xy +y2
x2+ 4xy +y2.d. |x−y| x2−2xy +y2.
e. e
−|x−y|
x2−2xy+y2.f. |x|y.
g. |x|1/y.h. sin x
cos y−chx.
i. x2+y2
x4+y4.j. x3−y3 x2+y2.
Exercice 5
Etudier la continuit´e des fonctions suivantes.
a. f(x, y) = 
(x+ 2y)3
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0 sinon.
b. f(x, y) = 
sin(xy)
ysi y6= 0,
xsinon.
c. f(x, y) = (e−x2
|y|si y6= 0,
0 sinon.
d. f(x, y) = 
exy −1
x2+y2si (x, y)6= (0,0),
0 sinon.
Exercice 6
a. V´erifier que la fonction d´efinie pour (x, y)6= (0,0) par f(x, y) = x2y2
x2y2+ (x−y)2poss`ede
la propri´et´e suivante : les limites it´er´ees
lim
x→0lim y→0f(x, y),lim y→0lim x→0f(x, y)
existent et sont ´egales mais fn’a pas de limite en (0,0).
b. V´erifier que la fonction d´efinie pour xy 6= 0 par f(x, y) = (x+y) sin 1
xsin 1 yposs`ede la
propri´et´e suivante : aucune des limites it´er´ees
lim
x→0lim y→0f(x, y),lim y→0lim x→0f(x, y)
n’existe mais fa bien la limite nulle en (0,0).
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Ch. 2 – Calcul diff´erentiel dans Rn
2.1) D´eriv´ees partielles de premier ordre et d´eriv´ees directionnelles – a) D´efinition,
notations, repr´esentation graphique. b) Exemples de calcul. c) Lien avec la continuit´e (si
les d.p. de 1er ordre existent et sont born´ees alors la fonction est continue.) d) D´eriv´ees
directionnelles : D´efinition, expression en termes des d´eriv´ees partielles.
2.2) Diff´erentielle et matrice Jacobienne – a) Interpr´etation g´eom´etrique de la diff´e-
rentiabilit´e, plan tangent. b) La diff´erentielle en un point, lien avec la continuit´e. c) La
diff´erentielle exprim´ee en termes de d´eriv´ees partielles, matrice Jacobienne. d) C1et la
diff´erentiabilit´e. e) La diff´erentielle totale, in´egalit´e des accroissements finis, et application
au calcul des erreurs.
2.3) Changements de coordonn´ees – a) D´eriv´ees partielles de fonctions compos´ees. b)
Changement de coordonn´ees, d´efinition et exemples (cas lin´aires ou affine: coord. cart´e-
siennes). c) Coordonn´ees polaires, cylindriques et sph´eriques. d) (Compl´ements) D´eriv´ees
du secondre.
2.4) Op´erateurs classiques sur R3–a) Grandient d’un champs scalaire: d´efinition,
exemple, lin´earit´e; produit; champ de gradients. b) Divergence d’un champ vectoriel: item
(exple: ~ V=r/r) ... c) Rotationnel d’un champ vectoriel: item, champ de rotationnels. d)
Laplacien, Op´erateur Nabla, avec des produits vectoriels.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de d´efinition, les d´eriv´ees partielles de premier
ordre pour les fonctions suivantes.
a. 3x/y.b. cos(x2+y).
c. arctan y
x2.d. 1
p1 + x+y2+z2.
e. ysin(xz). f. tan(arctan x+ arctan y).
Exercice 2
Etudier la continuit´e, ainsi que l’existence et la continuit´e des d´eriv´ees partielles, des fonc-
tions d´efinies par :
a. f(x, y) = x|y|
px2+y2, si (x, y)6= 0, f(0,0) = 0.
b. f(x, y) = y2sin x
y, si y6= 0, f(x, 0) = 0.
Exercice 3
Calculer pour chacune des fonctions suivantes la d´eriv´ees directionnelle dans la direction
donn´ee.
a. sin x+ cos yen (0,0) dans la direction dirig´ee par (cos θ, sin θ) avec θ= 0, π/6 ou π/3.
b. z2−x2−y2en (1,0,1) dans la direction dirig´ee par (4,3,0).
c. xyz −xy −yz −zx +x+y+zen (2,2,1) dans la direction de (2,2,0).
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