Licence 2-i`eme année, parcours PC 11 semaines de cours, 10

Licence 2-ième année, parcours PC
11 semaines de cours, 10 semaines de TD
CH 1. Fonctions de plusieurs variables (1,5 semaines)
• Une description très sommaire sur le contenu et le but de notre cours: étendre le savoir-faire
en matiere d’analyse d’une variable au cas de plusieurs variables, par exemple 2 (plan) ou 3
(espace); de la notion de proximité (continuı̈té, dérivabilité) au calcul des masses (intégrale).
• Notion d’une fonction de plusieurs variables: numérique, vectorielle; voisinage d’un point
dans l’espace ou le plan; normes euclidiennes; opérations sur les fonctions: some, produit
(?), composantes, composées.
• Le graphe d’une fonction de plusieurs variables: exemple de x2 − y 2 .
p
• La limite d’une fonction en un point et la limite suivant un arc. Exemples: (xy)/ x2 + y 2 ,
(xy)/(x2 + y 2 ) à l’origine du plan.
• La définition de la continuité, en un point et dans un domaine. Exemples: f (x, y) =
y sin(x/y) si y = 0, f (x, 0) = 0.
• Des résultats sur la continuité: toute fonction rationnelle est continue sur sont domaine
de définition; la continuité d’une fonction à valeurs vectorielles et celle de ses fonctions
composantes; thm de la composée de deux fonctions continues.
CH 2. Calcul differentiel (4,5 semaines)
• Rappel de la notion de fonction derivée dans le cas d’une variable: la notation f (t0 + δ) ≈
f (t0 ) + f 0 (t0 )δ, la pente du graphe.
• Dérivées partielles de premier ordre, dans le cas de deux variables, avec les exemples:
x + 3xy 2 au point (0, 1), y sin(x/y) au point (0, 0) où la fonction est supposée nulle.
∂f
• Dérivée directionnelle: j’ai donne la relation D~v f (x0 , y0 ) = α ∂f
∂x (x0 , y0 ) + β ∂y (x0 , y0 ) pour
~v = (α, β) (je suppose que tout vecteur directeur est unitaire), mais prudence: cette relation
exige une condition très forte...
• Matrice de Jacobi et composée de deux fonctions.
(1) F (t) = f (x(t), y(t)) au cas particulier: x et y sont affines en t. (2) F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v))
au cas particulier: coord. polaires (r, θ)− > (x, y).
• Le changement de coord.: définition et exemples (polaire, sphérique, cylindrique, et leur
réciproque, leur matrice jacobienne)
• La différentiabilité par analogie avec la dérivée en cas d’une seule variable: le plan tangent
remplace alors la droite tangente, dessin avec x2 + y 2 + 1.
• Des proprietes concernant la somme, le produit de fonctions différentiables, la différentielle
d’une application linéaire ou affine, etc,
• La différentiabilité et la continuité, la dérivabilité ”partielle”; la relation df = fx dx + fy dy
(en cas de deux variable, à valeurs numeriques); la condition C 1 .
1
• Le plan tangent Z −f (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 )(X −x0 )+fy (x0 , y0 )(Y −y0 ); deux interprétations
sur dx, dy: infinitésimale, projection linéaire sur R.
• TAF (Thm Accroisements Finis) pour le cas de 2 variables et à valeurs numeriques, à
l’aide de la version d’une variable et de la relation dF/dt = fx h + fy k où F (t) = f (x0 +
th, y0 + tk). Ainsi I(négalités)AF pour estimer la varaition, avec l’exemple de calcul de
l’erreur eventuellement commise dans la mesure de l’aire d’un rectangle.
• D.P. d’ordre deux, avec le thm de Schwarz: Si fxy et fyx sont continues alors elles sont
égales.
• Opérateurs classiques sur R3 : gradient, divergence, Laplacien, rotationnel, etc...
.
CH 3. Intǵrales multiples (2,5 semaines)
• Rappel sur le calcul integral d’une variable: mesure de l’aire du domaine sous le graphe
d’une fonction, construction à la Riemann, lien avec les primitives.
• Intégrale double: mesure du volume d’un ”cylindre” delimité verticalement par deux
surfaces au dessus d’un compact (domaine fermé et borné: une abstraction de la finitude
...); compacts élémentaires par rapport à x ou y; théorème de Fibini.
R
R
• Coordonnées polaires et changement de variables : K f dxdy = Ω f ◦ Φdet(JacΦ)dudv
pour φ : (u, v) → (x, y), K = Φ(Ω). Exemple de calcul : l’integrale de x − y 1/2 sur le premier
quart d’un ellipse modifié d’équation x1/2 + y 1/4 < 1
• Intégrale triple: définition, fubini, coordonnées sphériques et cylindriques.
• Exemples d’applications en physique: pression d’un barrage; densité de masse et inertie;
centre de gravité; champ d’attraction ...
.
CH 4. Théorèmes de Green, Stokes, Gauss... (2,5 semaines)
• Forme différentielle de degré un et son intégrabilité: s’il existe F avec dF = w : les
fonctions coefficients de dx, dy, dz vérifient des edp du premier ordre.
• Intégrales curvilignes de première espèce et de seconde espèce, problème de la dépendance
du chemin ou les points d’extremité. Exemples de calculs
• Formule de Green. Application au problème de l’intégrabilité: si une forme est intégralble
et le domaine est simplement connexe, alors la primitive existe et peut etre calculée par
intégration (curviligne). Contre exemple: (xdy − ydx)/(x2 + y2) le long le cercle unité.
• Intégrales sur les surfaces sans orientation: éléments de l’aire pour une surface paramétrée,
indépendance du paramétrage; Exemples.
• Intégrales sur les surfaces munies d’une orientation (seconde espèce): vecteur normal à
une surface, flux à traverse une surface. Exemples.
• Formule de Stokes et Gauss.
2
Ch. 1 – Fonctions de plusieurs variables : Limites et continuité
1.1) Généralités sur Rn – a) Introduction (Repères, les coordonnées d’un point; sousensembles de R2 ou R3 : droite, disque, sphère, plan...). b) Exemples de fonctions de
plusieurs variables: représentation de z = f (x, y) := x2 + y 2 , z = f (x, y) := x2 − y 2 et de
leurs courbes de niveau. c) Norme et distance euclidiennes, produit scalaire; définition d’une
norme de Rn .
1.2) Limite d’une application en un point – a) Voisinage d’un point, approximité
de deux points, “boules” de Rn . b) limite d’une application en un point: définition, en
terme de suites, exemples de calcul. c) propriétés (convergence par composantes, opérations
élémentaires, unicité, “sous-limites”).
1.3) Continuité – a) Définition et exemples. b) Propriétés (continuité par composantes,
opérations élémentaires, composée de deux fonctions continues, toute application rationnelle
est continue dans son domaine de définition, etc...).
Exercice 1
Tracer le domaine de définition pour chacune des fonctions suivantes.
p
√
b. f (x, y) = 2x + y 2 .
a. f (x, y) = x + y.
1
c. f (x, y) = √
.
d. f (x, y) = log(x + 5y).
x+y
p
1
.
e. f (x, y) = x sin y.
f. f (x, y, z) =
x + y + |z|
p
g. f (x, y, z) = 4 − x2 − y 2 − z 2 .
Exercice 2
Illustrer par un dessin dans R3 la surface définie par z = −xy et indiquer les courbes de
niveau correspondant respectivement à z = 1 et z = −1.
Exercice 3
p
Pour tout ~v = (x, y) ∈ R2 , on pose k~v k1 = |x| + |y|, k~v k2 = x2 + y 2 ; on rappelle que k~v k2
est la norme euclidienne de ~v .
a. Vérifier que k k1 est une norme sur R2 .
b. Représenter dans R2 les ensembles suivants :
{~v ∈ R2 : k~v k1 < 1},
{~v ∈ R2 : k~v k1 ≤ 1},
{~v ∈ R2 : k~v k1 = 1}.
c. Vérifier que
{~v ∈ R2 : k~v k2 <
√
2/2} ⊂ {~v ∈ R2 : k~v k1 < 1} ⊂ {~v ∈ R2 : k~v k2 < 1}.
Exercice 4
Déterminer si les fonctions suivantes ont une limite en (x, y) = (0, 0) et donner sa valeur si
elle existe.
x2 − y 2
x2 − 2xy + y 2
.
b.
.
a. 2
x + y2
x2 + y 2
3
c.
xy + y 2
.
x2 + 4xy + y 2
d.
−|x−y|
x2
|x − y|
.
− 2xy + y 2
e. e x2 −2xy+y2 .
f. |x|y .
g. |x|1/y .
h.
i.
x2 + y 2
.
x4 + y 4
j.
sin x
.
cos y − chx
x3 − y 3
.
x2 + y 2
Exercice 5
Etudier la continuité des fonctions suivantes.

3
 (x + 2y)
si (x, y) 6= (0, 0),
x2 + y 2
a. f (x, y) =

0 sinon.

 sin(xy) si y 6= 0,
y
b. f (x, y) =

x sinon.
( x2
e− |y| si y 6= 0,
c. f (x, y) =
0 sinon.
 xy
 e − 1 si (x, y) 6= (0, 0),
d. f (x, y) = x2 + y 2

0 sinon.
Exercice 6
a. Vérifier que la fonction définie pour (x, y) 6= (0, 0) par f (x, y) =
x2 y 2
possède
x2 y 2 + (x − y)2
la propriété suivante : les limites itérées
lim lim f (x, y),
lim lim f (x, y)
x→0 y→0
y→0 x→0
existent et sont égales mais f n’a pas de limite en (0, 0).
b. Vérifier que la fonction définie pour xy 6= 0 par f (x, y) = (x + y) sin
propriété suivante : aucune des limites itérées
lim lim f (x, y),
lim lim f (x, y)
x→0 y→0
y→0 x→0
n’existe mais f a bien la limite nulle en (0, 0).
4
1
1
sin possède la
x
y
Ch. 2 – Calcul différentiel dans Rn
2.1) Dérivées partielles de premier ordre et dérivées directionnelles – a) Définition,
notations, représentation graphique. b) Exemples de calcul. c) Lien avec la continuité (si
les d.p. de 1er ordre existent et sont bornées alors la fonction est continue.) d) Dérivées
directionnelles : Définition, expression en termes des dérivées partielles.
2.2) Différentielle et matrice Jacobienne – a) Interprétation géométrique de la différentiabilité, plan tangent. b) La différentielle en un point, lien avec la continuité. c) La
différentielle exprimée en termes de dérivées partielles, matrice Jacobienne. d) C 1 et la
différentiabilité. e) La différentielle totale, inégalité des accroissements finis, et application
au calcul des erreurs.
2.3) Changements de coordonnées – a) Dérivées partielles de fonctions composées. b)
Changement de coordonnées, définition et exemples (cas lináires ou affine: coord. cartésiennes). c) Coordonnées polaires, cylindriques et sphériques. d) (Compléments) Dérivées
du secondre.
2.4) Opérateurs classiques sur R3 – a) Grandient d’un champs scalaire: définition,
exemple, linéarité; produit; champ de gradients. b) Divergence d’un champ vectoriel: item
~ = r/r) ... c) Rotationnel d’un champ vectoriel: item, champ de rotationnels. d)
(exple: V
Laplacien, Opérateur Nabla, avec des produits vectoriels.
Exercice 1
Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de premier
ordre pour les fonctions suivantes.
a. 3x/y .
c. arctan
b. cos(x2 + y).
y
.
x2
e. y sin(xz).
1
d. p
.
1 + x + y2 + z2
f. tan(arctan x + arctan y).
Exercice 2
Etudier la continuité, ainsi que l’existence et la continuité des dérivées partielles, des fonctions définies par :
x|y|
a. f (x, y) = p
, si (x, y) 6= 0, f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
x
6 0, f (x, 0) = 0.
b. f (x, y) = y 2 sin , si y =
y
Exercice 3
Calculer pour chacune des fonctions suivantes la dérivées directionnelle dans la direction
donnée.
a. sin x + cos y en (0, 0) dans la direction dirigée par (cos θ, sin θ) avec θ = 0, π/6 ou π/3.
b. z 2 − x2 − y 2 en (1, 0, 1) dans la direction dirigée par (4, 3, 0).
c. xyz − xy − yz − zx + x + y + z en (2, 2, 1) dans la direction de (2, 2, 0).
5
d. xz 2 + y 2 + z 3 en (1, 0, −1) dans la direction de (2, 1, 0).
Exercice 4
Vérifier que la fonction f (x, y) = (xy)1/3 est continue, que ses dérivées partielles ∂x f , ∂y f
existent à l’origine mais que la dérivée directionnelle n’existe dans aucune autre direction.
Exercice 5 p
Vérifier que |xy| n’est pas différentiable en (0, 0).
Exercice 6
Trouver l’équation du plan tangent à la surface définie par z = f (x, y) au point P = (x0 , y0 )
dans chacun des cas suivants.
a. f (x, y) = 3x2 + 4y 2 , P = (0, 1).
b. f (x, y) = 2 cos(x − y) + 3 sin x, P = (π, π/2).
p
c. f (x, y) = x2 + y 2 , P = (1, 2).
Exercice 7
Vérifier que le plan tangent à la surface quadratique ax2 + by 2 + cz 2 = 1 au point (x0 , y0 , z0 )
admet pour équation ax0 X + by0 Y + cz0 Z = 1.
Exercice 8
x2 y 2
si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) =
(x2 + y 2 )α
0, où α est un nombre réel. Pour quelles valeurs de α, la fonction f est-elle continue sur R2
différentiable sur R2 ? de classe C 1 sur R2 ?
Considérons la fonction f définie sur R2 par f (x, y) =
Exercice 9
x3 y
Etudier la différentiabilité en (0, 0) de la fonction définie par f (x, y) = 4
si (x, y) 6=
x + y2
(0, 0), f (0, 0) = 0.
Exercice 10
Considérons la fonction f définie sur R2 par f (x, y) =
x3 − y 3
, si (x, y) 6= (0, 0), f (0, 0) = 0.
x2 + y 2
a. Etudier la continuité de f sur R2 .
b. Déterminer les dérivées partielles premières de f sur R2 . La fonction f est-elle différentiable sur R2 ?
c. La fonction φ : R → R est définie par φ(t) = (u(t), v(t)), où u(t) = t et v(t) = −t. Posons
∂f
0
0
F = f ◦ φ. Calculer F 0 (0) et A = ∂f
∂x (0, 0)u (0) + ∂y (0, 0)v (0).
Exercice 11
Considérons la fonction f définie sur E = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0} par f (x, y) = (
a. Montrer que f est différentiable sur E.
b. Ecrire la matrice jacobienne de f sur E.
6
x2 y 2
, ).
2y 2x
c. Montrer que f est une bijection de E sur E.
d. On pose g = f −1 . Déterminer g et vérifier que g est différentiable sur E.
e. Ecrire la matrice jacobienne de g sur E.
Exercice 12
Calculer, en chaque point de leur domaine de définition, les dérivées partielles de second
ordre des fonctions suivantes.
x−y
a.
.
b. y ln x.
x+y
c. e−
x2 +y 2
4z
.
1
d. p
.
x2 + y 2 + z 2
Exercice 13
Soit φ : R2 → R2 l’application définie par φ(x, y) = (x + y, x + my), où m ∈ R est un
paramètre.
a. A quelle condition la matrice jacobienne de φ est-elle injective ?
b. A quelle condition φ est-il un changement de variables ?
Exercice 14
a. Vérifier que f (x, y) = ln(x2 + y 2 ) satisfait l’équation de Laplace
∂2f
∂2f
+
= 0.
∂x2
∂y 2
b. Montrer que si g(x, y) est solution de l’équation de Laplace, alors la fonction composée
x
y
G(x, y) = g( 2
, 2
) l’est aussi.
2
x + y x + y2
Exercice 15
L’expression “df = fx dx + fy dy” permet d’estimer la variation de f lorsque les variables
varient de x à x + dx et de y à y + dy avec dx, dy suffisamment petits.
a. Donner une valeur approximative à la variation de (x + y)/(x − y) lorsque x varie de
x = 2 à x = 2, 5 et y de 4 à 4, 5.
b. Donner une valeur approchée de ln((1, 02)1/4 + (0, 96)1/6 − 1) et de e0,2 /0, 9.
c. Les longueurs x et y des deux côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle sont connues
avec une précision inférieure ou égale respectivement à h et k. Encadrer l’erreur avec laquelle
sera calculée l’aire du triangle.
Exercice 16
p
La période T d’un pendule, exprimée en secondes, est donnée par la formule T = 2π `/g
où ` est sa longueur exprimée en mètres et g l’accélération de la pesanteur en mètres pas
seconde au carré.
a. Calculer T pour ` = 2m, g = 9, 81m/s2 et π = 3, 14.
b. Estimer l’incertitude sur T sachant que ∆π = 10−2 , ∆` = 10−3 m et ∆g = 10−2 m/s2 .
7
Exercice 17
Deux résistances R1 et R2 , respectivement de 30Ω et 40Ω sont connues à 0, 5%.
a. Le montage en séries des résistances R1 et R2 fournit une résistance équivalente R =
R1 + R2 . Calculer R et estimer la précision du résultat.
b. Reprendre la question précédente, lorsque les résistances sont montées en parallèle,
sachant qu’alors 1/R = 1/R1 + 1/R2 .
Exercice 18
Calculer grad r, grad r2 , grad 1/r, grad f (r), avec f : R → R et
r=
p
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 .
Exercice 19
Calculer div ~r où ~r = x~i + y~j + z~k.
Exercice 20
Calculer div (~r × ~c) où ~r = x~i + y~j + z~k et où ~c est un vecteur constant.
Exercice 21
~ en termes de rot A.
~
Exprimer rot (φA)
8
Ch. 3 – Intégrales multiples
Rb
Rb
R φ(b)
3.1) Intégrale double – a) Revisiter a Fx0 (x)dx = F (b)−F (a) et a f ◦φ φ0 dt = φ(a) f dx;
somme de Riemann et aire d’un domaine dans le plan. b) Intégrale double vue comme volume; construction analytique générale (somme de Riemann en 2D). c) Ordre d’intégration
; Fubini. d) En coordonnées polaires.
3.2) Intégrale triple – a) Définition ; exemples de calculs. b) Coordonnées sphériques et
cylindriques.
3.3) Applications en géométrie et en physique – le volume, la masse, le moment
d’inertie, le champ d’attraction ...
ExerciceZZ1
Calculer
(x2 + y 2 )dx dy, où D est le triangle de sommets A(0, 0), B(1, 0) et C(1, 1).
D
ExerciceZZ2
Calculer
xy 2 dx dy, où D est le losange de sommets A(0, 0), B(1, 1), C(0, 2) et D(−1, 1).
D
Exercice 3
On pose
D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ x + y ≤ 4},
f (x, y) =
1
.
(x + y)(x2 + 1)
a. Dessiner le domaine D.
ZZ
b. Donner les deux écritures du théorème de Fubini pour I =
f (x, y)dx dy.
D
c. Calculer I.
Exercice 4
ZZ
Calculer l’ intégrale double
f (x, y)dx dy.
D
a. f (x, y) =
1
(x2 +1)(y 2 +1) ,
D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x}.
b. f (x, y) = cos(xy), D = {(x, y)|1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤
π
2x }.
2
c. f (x, y) = ey , D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ y ≤ 1}.
d. f (x, y) =
(x+y)2
x2 +y 2 +1 ,
e. f (x, y) =
x−y
x2 +y 2 ,
D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 1}.
D = {(x, y)|y ≥ 0, x2 + y 2 − x ≥ 0, x2 + y 2 − 2x ≤ 0}.
Exercice 5
Calculer le volume de la partie de 3 délimitée par les surfaces définies par les équations
y 2 = 4 − 3x, y 2 = x, z = 1 et z = −2.
9
Exercice 6
Soit E la partie de 3 délimitée supérieurement par la sphère x2 +y 2 +z 2 = a2 et inférieurement
par le cône d’équation x2 + y 2 = z 2 tan α, avec 0 ≤ α ≤ π et z ≥ 0. Calculer le volume de
E.
Exercice 7
Soit D1 = {(x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}.
ZZZ
a. Calculer I1 =
(x2 + y 2 + z 2 )dx dy dz.
D1
ZZZ
En déduire la valeur de I2 =
x2 dx dy dz.
D1
b. Soit D2 = {(x, y, z)|x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,
x2
a2
y 2 + z 2 )dx dy dz.
+
y2
b2
+
z2
c2
ZZZ
≤ 1}. Calculer I3 =
(x2 +
D2
Exercice 8
Soit Γ = {(0, z 2 + 1, z)|1 ≤ z ≤ 2} une courbe contenue dans le plan Oyz, et soit D la solide
de révolution obtenue en faisant tourner Γ autour de l’axe Oz. Calculer le volume de D.
Exercice 9
Soient a > 0, R > 0 et soit D le disque de centre (0, a, 0) et de rayon R dans le plan Oyz.
Calculer le volume du tore plein T obtenu en faisant tourner D autour de l’axe Oz.
Exercice 10
Calculer le moment d’inertie d’un solide homogène compris entre les cylindres x2 + y 2 = R
et x2 + y 2 = R0 (R > R0 ) et les plans z = h et z = −h, par rapport à
a. l’axe Oz,
b. l’axe Ox.
Exercice 11
Déterminer la masse et le moment d’inertie relatif à un diamètre d’une sphère dont la densité
croı̂t linéairement avec la distance au centre, partant de la valeur µ0 au centre jusqu’à la
valeur µ1 à la surface.
Exercice 12
Supposons que la terre est une sphère de rayon R pour laquelle la densité à une distance r
du centre est de la forme ρ = A − Br2 et la densité à la surface est 2 21 fois la densité de
l’eau, la densité moyenne étant 5 12 fois celle de l’eau. Montrer que l’attraction à un point
2
1
intérieur est égale à 11
g Rr (20 − 9 Rr 2 ), où g est la valeur de la gravité à la surface.
Exercice 13
Déterminer le centre de gravité du huitième de la sphère, supposée homogène : x2 +y 2 +z 2 ≤
1 et limité par : x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0.
10
Ch. 4 – Théorèmes de Green, Gauss, Stokes
3.1) Intégrale curviligne – a) Calculs
symboliques sur dx, dy, dz; différentielle totale
R
et 1-forme. b) Intégrale curviligne Γ ω d’une 1-forme ω le long un chemin Γ; exemples de
calculs. c) Intégrale curviligne de seconde espèce; exemples. d) D’une intégrale curviligne à
une intégrale double dans le plan: formule de Green.
3.2) Intégrale sur une surface – a) Elément unité de l’aire d’une surface paramétrisée.
b) Intégrale sur une surface sans orientation. c) Vecteur normal, le flux d’un champs et
intégrale sur une surface orientée. d) D’une intégrale double à une intégrale triple : Formule
de Gauss. e) D’une intégrale curviligne à une intégrale double sur une surface : Formule de
Stokes.
Exercice 1
Z
Evaluer l’intégrale curviligne I =
x2 dx − xydy prise entre l’origine et le point (1, 1) le
long de
a. la droite y = x (paramétrée par y = x = t, t ∈ [0, 1]),
b. la parabole y 2 = x (paramétrée par x = t2 , y = t, t ∈ [0, 1]),
c. le segment (0, 1) de l’axe des x et la droite x = 1.
Exercice 2
Z
Calculer l’intégrale curviligne I =
√
√
xdy − [ x ln(x + 1)]dx, A et B étant les points
c
AB
d’abscisses 0 et 1 sur la courbe y = (x − 1) ln(x + 1).
Exercice 3
Soit Γ = {x2 + y 2 + z 2 = 1} ∩ {x2 + y 2 = x, z ≥ 0} qui est, vu du point (1/2, 0, 0), oriené
dans le sens des aiguilles d’une montre. Calculer le travail effectué par le champ de force
F~ = (y 2 , z 2 , x2 ) suivant Γ.
Exercice 4
Z
Appliquer la formule de Green à l’intégrale curviligne
Adu + Bdv pour les fonctions
C
suivantes, chaque chemin C étant pris dans le sens positif le long le domaine D donné
(C = ∂ + D).
a. A = au + bv, B = 0; D : u ≥ 0, v ≥ 0, α2 u + β 2 v ≤ 1.
b. A = u2 − v 2 , B = 2uv; D : |u| ≤ 1, |v| ≤ 1.
c. A = v n , B = un ; D : u2 + v 2 ≤ r2 .
Exercice 5
Etablir la formule de Green en coordonnées polaires :
Z
ZZ
f (r, θ)dr + g(r, θ)dθ =
∂+D
R
11
1
(gr − fθ )dS,
r
où dS reste à préciser.
Exercice 6
Calculer l’aire de la partie de la sphère unité x2 + y 2 + z 2 = 1 qui est à l’intérieure du
cylindre d’équation x2 + y 2 = x (−∞ < z < ∞).
Exercice 7
Calculer l’aire de la surface paramétrisée par x = r cos θ, y = r sin θ, z = hθ, où r ∈]0, R[,
θ ∈ [0, 2π] et où h est une constante > 0.
Exercice 8
Soit Σ(t) la partie du plan x+y+z = t obtenue Zpar intersection avec la sphère x2 +y 2 +z 2 ≤ 1.
Soit F (x, y, z) = 1 − (x2 + y 2 + z 2 ). Calculer
F (x, y, z)dσ en fonction de t.
Σ(t)
Exercice 9
Déterminer le champ newtonnien engendré par la présence uniforme d’une matière de masse
totale m sur une sphère de rayon R.
ExerciceZ 10
Calculer
x4 dydz+y 4 dzdx+z 4 dxdy, où Σ est le cotê intérieur de la sphère x2 +y 2 +z 2 = R2 .
Σ
Exercice 11
Soit F~ = (y, z, x) et soit Σ la surface, fermée, du cylindre x2 + y 2 = 1, z = 0, z = 1. Calculer
le flux de F~ à travers Σ vers l’extérieur.
Exercice 12
Utiliser la formule de Gauss pour calculer les intégrales suivantes.
Z
a.
x2 dydz +y 2 dzdx+z 2 dxdy, où Σ est la sphère x2 +y 2 +z 2 = R2 dirigée vers l’extérieur.
Σ
Z
b.
xydydz + yzdzdx + zxdxdy, où Σ est la surface fermée, dirigée vers l’extérieur,
Σ
constituée de parties des quatres plans suivants: x = 0, y = 0, z = 0 et x + y + z = 1.
Z
c.
x − y)dydz + (y − z)dzdx + (z − x)dxdy, où Σ est la surface fermée, orientée vers
Σ
l’extérieur, obtenue en coupant le parabole z = x2 + y 2 par le plan z = 1.
Exercice 13
Utiliser la formule de Stokes pour calculer les intégrales suivantes.
Z
a.
ydx + zdy + xdz, où Γ est le cercle {x2 + y 2 + z 2 = R2 } ∩ {x + y + z = 0} qui est, vu
Γ
du point (1, 0, 0), dans le sens des aiguilles d’une montre.
Z
b.
(y + z)dx + (z + x)dy + (x + y)dz, où Γ = {x2 + y 2 = 2y} ∩ {y = z} suit, vu du point
Γ
(0, 1, 0) le sens positif des aiguilles d’une montre.
12