Outils Mathématiques 4 1 Courbes paramétrées

Université de Rennes1
Année 2005/2006
Outils Mathématiques 4
Intégration
résumé
1
Courbes paramétrées
Définition 1.1 Une courbe plane est un ensemble Γ de couples (f (t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues sur un
intervalle I.
Si I = [a, b] est un intervalle fermé, le point M (a) = (f (a), g(a)) est l’origine et M (b) = (f (b), g(b)) est l’extrémité de la
courbe Γ.
Définition 1.2
1. On dit que la courbe Γ est de classe C 1 , si f ′ (t) et g ′ (t) sont continues.
2. On dit que la courbe Γ est de classe C 1 par morceaux si on peut l’écrire comme réunion finie de courbes C1 , . . . , Ck
telles que l’origine de Ci+1 est l’extrémité de Ci .
3. On dit que la courbe est fermée si ses extrémités sont confondues i.e. (f (a), g(a)) = (f (b), g(b)).
4. On dit que la courbe est simple si elle n’a pas de points doubles i.e. pour tout t1 ∈]a, b[ et t2 ∈]a, b[, t1 6= t2 on a
(f (t1 ), g(t1 )) 6= (f (t2 ), g(t2 )).
courbe C 1 par morceaux
courbe fermée et simple
courbe non fermée et non simple
Définition 1.3 Soit Γ une courbe constituée de tous les couples de points (f (t), g(t)) où f et g sont des fonctions continues
sur un intervalle I. Les équations
(
x = f (t)
y = g(t)
pour t ∈ I sont des équations paramétriques de Γ.
On dit que ces formules constituent une représentation paramétrique de courbe Γ.
Définition 1.4 L’orientation de la courbe paramétrée Γ, est la direction correspondant à la croissance du paramètre.
Dans l’espace, une courbe Γ peut être définie par la donnée de trois fonctions d’un même paramètre


x = f (t),
y = g(t),
t∈I


z = h(t),
On dit dans ce cas que Γ est une courbe gauche ou non plane.
1.1
Longueur d’un arc de courbe
Soit Γ une courbe de représentation paramétrique
(
x = f (t)
y = g(t)
pour t ∈ [a, b]. On suppose que f et g sont de classe C 1 .
Soient M (t1 ) et M (t2 ) deux points de la courbes correspondant aux valeurs t1 et t2 du paramètre (a ≤ t1 < t2 ≤ b).
Définition 1.5 La longueur de l’arc d’extrémités M (t1 ) et M (t2 ) est le réel positif
s
Z t2 p
Z t2 2 2
∂y
∂x
+
dt =
(f (t)′ )2 + (g(t)′ )2 dt
∂t
∂t
t1
t1
La longueur de la courbe Γ est le réel positif L défini par
s
Z bp
Z b 2 2
∂y
∂x
+
dt =
L=
(f (t)′ )2 + (g(t)′ )2 dt
∂t
∂t
a
a
Dans le cas d’une courbe gauche Γ de représentation paramétrique


x = f (t),
y = g(t),
t ∈ [a, b]


z = h(t),
la longueur de la courbe Γ est le réel positif L défini par
s
Z bp
Z b 2 2 2
∂y
∂z
∂x
(f (t)′ )2 + (g(t)′ )2 + (h(t)′ )2 dt
+
+
dt =
L=
∂t
∂t
∂t
a
a
2
Intégrales curvilignes
2.1
Intégrales curvilignes d’une forme différentielle
Définition 2.1 l’intégrale
( curviligne d’une forme différentielle ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy le long de la courbe Γ de repréx = x(t)
sentation paramétrique
t ∈ [a, b], est :
y = y(t)
Z
Γ
ω=
Z
b
(P (x(t), y(t))x′ (t) + Q(x(t), y(t))y ′ (t)) dt
a
Proposition 2.2 L’intégrale curviligne d’une forme différentielle le long d’une courbe ne dépend que de l’orientation, pas
du choix de la paramétrisation.
Proposition 2.3 L’intégrale curviligne d’une forme différentielle exacte ( ou totale) ω = df ne dépend que des extrémités
A = (x(a), y(a)) et B = (x(b), y(b)) de la courbe Γ :
Z b
Z
Z
∂f
∂f
′
′
(x(t), y(t))x (t) +
(x(t), y(t))y (t) dt = f (B) − f (A)
df =
ω=
∂x
∂y
Γ
Γ
a
En particulier, si Γ est une courbe fermée alors,
R
Γ
ω=
R
Γ
df = 0 .
Définition 2.4 (Propriétés des intégrales curvilignes) .
R
R
1. Si on note par Γ− la courbe Γ parcourue dans le sens inverse, alors : Γ− ω = − Γ ω
R
R
R
2. Soient ω1 et ω2 deux formes différentielles, alors Γ ω1 + ω2 = Γ ω1 + Γ ω2
3. Soit P0 un point de la Rcourbe RΓ, à partir Rde P0 onR décompose Γ en deux courbes d’extrémités P0 , notons les Γ1 et Γ2 ,
alors : Γ = Γ1 ∪ Γ2 et Γ ω = Γ1 ∪Γ2 ω = Γ1 ω + Γ2 ω.
b
A
Γ = Γ1 ∪ Γ2
Γ1
b
Γ2
×
P0
B
Théorème 2.5 Soit D un disque du plan. Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. la forme différentielle ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy est exacte.
R
R
2. Γ ω = Γ df = 0 pour toute courbe fermée Γ
3. La forme différentielle ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy est fermée i.e.
2.2
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
.
Circulation (ou travail) d’un champ de vecteurs
Définition 2.6 Soit Γ une courbe représentation paramétrique
(
x = x(t)
y = y(t)
t ∈ [a, b].
−−→
−
→
−
→
On note par r(t) = x(t) i + y(t) j le vecteur position 0M (t) du point M (t) = (x(t), y(t)).
−
→
−
→
On appelle vecteur vitesse le vecteur r′ (t) = x′ (t) i + y ′ (t) j .
−
→
−
→
Définition 2.7 Soit F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j un champ de vecteurs continu. La circulation (ou travail) de F(x, y) le
long de la courbe Γ est égale à :
Z b
F(x(t), y(t)).r′ (t)dt
a
ici ”.” est le produit scalaire usuel .
−
→
−
→
A chaque champ de vecteurs F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j correspond une forme différentielle (de degré 1) ω =
P (x, y)dx + Q(x, y)dy, de sorte que l’intégrale curviligne de ω correspond à la circulation de F et différentielle exacte à
gradient.
Corollaire 2.8 La circulation d’un champ de vecteurs le long d’une courbe ne dépend que de l’orientation pas du paramétrage.
Corollaire 2.9 La circulation d’un champ de gradients F = ∇f ne dépend que des extrémités A = (x(a), y(a)) et B =
(x(b), y(b)) de la courbe Γ :
la circulation de F le long de Γ = f (B) − f (A)
En particulier, si Γ est une courbe fermée, la circulation de F = ∇f le long de Γ est nulle.
Remarque 2.10 Autrement dit , la circulation d’un champ qui dérive d’un potentiel (i.e. un champ gradient) ne dépend
que de l’état initial et de l’état final et pas du chemin choisi. Lorsqu’un point matériel se déplace dans un potentiel, le travail
fourni par la force est égal à la variation de l’énergie potentiel entre l’état final et l’état initial.
Théorème 2.11 Soit D un disque du plan. Les conditions suivantes sont équivalentes :
−
→
−
→
1. le champ de vecteurs F(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j est un champ de gradient.
2. La circulation de F = ∇f le long de toute courbe fermée Γ, est nulle.
−
→
−
→
∂Q
3. rot F = 0 i.e. ∂P
∂y = ∂x
3
Intégrales doubles
Définition 3.1 Un compact élémentaire est un domaine du plan de l’une des formes suivantes :
(
(
)
a≤x≤b
2
1. Dx = (x, y) ∈ R ;
où ϕ1 et ϕ2 sont des fonctions continues.
ϕ1 (x) ≤ y ≤ ϕ2 (x)
(
(
)
c
≤
y
≤
d
2. Dy = (x, y) ∈ R2 ;
où ψ1 et ψ2 sont des fonctions continues.
ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)
3. P = [a, b] × [c, d], dans ce cas on dit aussi que c’est un pavé de R2
Propriétés des intégrales doubles :
RR
RR
1. D cf (x, y)dxdy = c D f (x, y)dxdy pour tout réel c.
RR
RR
RR
2. D [f (x, y) + g(x, y)] dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy
RR
RR
RR
3. Si D = D1 ∪ D2 et l’aire de D1 ∩ D2 est nulle, alors D f (x, y)dxdy = D1 f (x, y)dxdy + D2 f (x, y)dxdy
RR
4. Si f (x, y) ≥ 0 pour tout (x, y) ∈ D alors D f (x, y)dxdy ≥ 0.
3.1
Calcul d’intégrales doubles à l’aide d’intégrales simples
Théorème 3.2 (Théorème de FUBINI) Soit D un compact élémentaire du plan et f (x, y) une fonction continue sur D.
1. si D est du type Dx alors
ZZ
f (x, y)dxdy =
D
Z
b
Z
d
Z
ϕ2 (x)
Z
ψ2 (y)
!
f (x, y)dy dx
ϕ1 (x)
a
2. si D est du type Dy alors
ZZ
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dx dy
ψ1 (y)
c
D
!
3. si D = [a, b] × [c, d] alors
ZZ
D
f (x, y)dxdy =
Z
a
b
Z
d
f (x, y)dy
c
!
dx =
Z
d
c
Z
a
b
!
f (x, y)dx dy
Remarque 3.3 Calcul d’aire
L’aire de D est l’intégrale double sur D de la fonction constante 1 :
Aire de D =
3.2
RR
D
dxdy
(1)
Calcul d’intégrales doubles à l’aide d’un changement de variables
Supposons que x, et y soient des fonctions des deux variables u et v telles que les formules :
x = x(u, v)
y = y(u, v)
définissent un ”changement de variables” c’est à dire une transformation qui à un point m de coordonnées u et v associe le
point M de coordonnées x et y.
Nous appellerons Jacobien du changement de variables le déterminant :
∂x ∂x ∂x ∂y ∂x ∂y
∂(x, y) ∂u
= ∂y ∂v
−
∂y =
∂(u, v)
∂u ∂v
∂v ∂u
∂u
∂v
Alors, si le domaine D est transformé par ce changement de variables en D′ on obtient la formule suivante :
ZZ
ZZ
∂(x, y) dudv
f (x(u, v), y(u, v)) f (x, y)dxdy =
∂(u, v) D′
D
3.3
Applications :
1. Masse d’une plaque La masse d’une plaque homogène, de masse surfacique ρ et d’aire A est M = Aρ.
Dans le cas non homogène,
ρ est une fonction de x et y définie sur le domaine D qui correspond à la plaque. alors la
RR
masse est : M = D ρ(x, y)dxdy
RR
1
2. Centre de RR
gravité d’une plaque le centre de gravité G de la plaque à le point de coordonnées xG = M
xρ(x, y)dxdy
1
et yG = M
yρ(x, y)dxdy
3. Le moment d’inertie d’une RR
plaque par rapport à un point le moment d’inertie I0 de la plaque par rapport à
l’origine 0 est l’intégrale : I0 = (x2 + y 2 )ρ(x, y)dxdy
4
Formule de Green-Riemann
R
On a vu que si ω est une forme différentielle exacte alors, pour toute courbe fermée Γ, Γ ω = 0.
En général, l’intégrale d’une forme différentielle le long d’une courbe fermée qui borde un domaine s’écrit comme une
intégrale double sur le domaine.
Définition 4.1 Si D est un domaine du plan, dont le bord est formé d’un nombre k de courbes fermées C1 , . . . , Ck , on
oriente son bord suivant la convention de la matière à gauche :
lorsque l’on parcourt n’importe qu’elle courbe Ci du bord on doit avoir le domaine D sur sa gauche.
On dit que le bord est orienté dans le sens direct.
Théorème 4.2 Soit ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle de classe C 1 définie sur un domaine fermé D. Soit
C une courbe fermée simple qui entoure le domaine D. On suppose que C est orientée dans le sens direct. Alors
ZZ Z
∂Q ∂P
dxdy
−
ω=
∂x
∂y
D
C
(Formule de Green-Riemann)
Application au calcul d’aires :
On
RRformule de Green-Riemann dans le cas où ω = −ydx + xdy on obtient alors
R peut appliquer la
dxdy d’où
−ydx
+
xdy
=
2
D
C
1
Aire(D) =
2
Z
(2)
−ydx + xdy
C
2
2
Exemple 4.3 L’ellipse d’équation xa2 + yb2 = 1 a pour équation paramétrique x = a cos(t), y = b sin(t) avec t ∈ [0, 2π]
Alors, l’aire A de l’ellipse est égale à :
Z
Z
Z
1
ab 2π
1 2π
2
2
A=
ab cos (t) + ab sin (t) dt =
−ydx + xdy =
dt = abπ.
2 C
2 0
2 0
5
Intégrales triples
Définition 5.1 Un compact élémentaire est un sous ensemble ∆ de l’espace de l’une des formes suivantes :
(
(
)
(x, y) ∈ D
3
1. ∆(x,y) = (x, y, z) ∈ R ;
où ψ1 et ψ2 sont des fonctions continues.
ϕ1 (x, y) ≤ z ≤ ϕ2 (x, y)
(
(
)
(x, y) ∈ D(z)
3
2. ∆z = (x, y, z) ∈ R ;
où D(z0 ) est l’intersection de ∆ avec le plan {z = z0 }.
a≤z≤b
3. P = [a, b] × [c, d] × [e, f ], dans ce cas on dit aussi que c’est un pavé de R3
5.1
Calcul d’intégrales triples à l’aide d’intégrales doubles et simples
Théorème 5.2 (Théorème de FUBINI) Soit ∆ un compact élémentaire de l’espace et f (x, y, z) une fonction continue
sur ∆.
1. si ∆ est du type ∆(x,y) alors
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz =
∆
ZZ
D
Z
ϕ2 (x,y)
!
f (x, y, z)dz dydx
ϕ1 (x,y)
(est appelé intégration par ‘piles’)
2. si ∆ est du type ∆z alors
ZZZ
f (x, y, z)dxdydz =
∆
(est appelé intégration par ‘tranches’)
Z
a
b
ZZ
D(z)
!
f (x, y, z)dydx dz
3. si ∆ = [a, b] × [c, d] × [e, f ] alors
R b R d R f
RRR
R d R b R f
∆ f (x, y, z)dxdy = a
c
e f (x, y, z)dz dy dx = c
a
e f (x, y, z)dz dx dy
R f R b R d
= e
f
(x,
y,
z)dy
dx dz = . . .
a
c
Remarque 5.3 Calcul de volume
Le volume de ∆ est l’intégrale triple sur ∆ de la fonction constante 1 :
Volume de ∆ =
5.2
RRR
∆
(3)
dxdydz
Calcul d’intégrales triples à l’aide d’un changement de variables
Supposons que x, y et z soient des fonctions des variables u v et w telles que les formules :
x = x(u, v, w)
y = y(u, v, w)
z = z(u, v, w)
définissent un ”changement de variables” c’est à dire une transformation qui à un point m de coordonnées u v et w associe
le point M de coordonnées x y et z.
Nous appellerons Jacobien du changement de variables le déterminant :
∂x ∂x ∂x ∂v
∂w ∂u
∂(x, y, z)
∂y
∂y
∂y =
∂v
∂w ∂(u, v, w) ∂u
∂z
∂z ∂z
∂u
∂v
∂w
Alors, si le domaine ∆ est transformé par ce changement de variables en ∆′ on obtient la formule suivante :
ZZZ
ZZZ
∂(x, y, z) dudvdw
f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) f (x, y, z)dxdydz =
∂(u, v, w) ∆′
∆
Coordonnées cylindriques
x = r cos(θ)
p
avec r = x2 + y 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π.
Alors,
y = r sin(θ)
cos(θ) −r sin(θ)
∂(x, y, z) = sin(θ) r cos(θ)
∂(r, θ, z)
0
0
z=z
0
0 = r
1
Exemple 5.4 : Le volume V de la partie ∆ du cylindre d’équation x2 + y 2 − ax ≤ 0, (a > 0) comprise entre le plan x0y et
le plan d’équation z = 1, s’obtient grâce à la formule de changement de variables :
∆ est transformée par les coordonnées cylindriques en ∆′ = {(r, θ, z); 0 ≤ θ ≤ 2π; 0 ≤ r ≤ a cos θ, 0 ≤ z ≤ 1}, alors
R 2π R a cos θ
RRR
R1
R 2π
RRR
2 R 2π
2
θ)2
dθ = a2 0 1+cos(2θ)
dθ = a 2π .
r drdθ 0 dz = 0 (a cos
V =
2
2
∆′ |r|dθdrdz = 0
∆ dxdydz =
0
Coordonnées sphériques
x = r cos(θ) cos(ϕ)
y = r sin(θ) cos(ϕ)
z = r sin(ϕ)
p
avec r = x2 + y 2 + z 2 , 0 ≤ θ ≤ 2π et − π2 ≤ ϕ ≤ π2 .
Alors,
cos(θ) cos(ϕ) −r sin(θ) cos(ϕ) −r cos(θ) sin(ϕ)
∂(x, y, z) = sin(θ) cos(ϕ) r cos(θ) cos(ϕ) −r sin(θ) sin(ϕ) = r2 cos(ϕ)
∂(r, θ, ϕ) sin(ϕ)
0
r cos(ϕ)
Exemple 5.5 Le volume V de la boule B de centre (0, 0, 0) et de rayon R s’obtient grâce à la formule de changement de
variablesRRR
:
RR 2
R 2π R π2 R R 2
R 2π R π2 R R 2
R 2π R π2
4πR3
V =
3 .
− π 0 |r cos(ϕ)|dθdϕdr = 0
− π 0 r cos(ϕ)dθdϕdr = 0 dθ − π dϕ 0 r dr =
B dxdydz = 0
2
2
2