Outils Mathématiques 4 1 Courbes paramétrées

Universit´e de Rennes1 Ann´ee 2005/2006
Outils Math´ematiques 4
Int´egration
r´esum´e
1 Courbes param´etr´ees
D´efinition 1.1 Une courbe plane est un ensemble Γde couples (f(t), g(t)) o`u fet gsont des fonctions continues sur un
intervalle I.
Si I= [a, b] est un intervalle ferm´e, le point M(a) = (f(a), g(a)) est l’origine et M(b) = (f(b), g(b)) est l’extr´emit´e de la
courbe Γ.
D´efinition 1.2 1. On dit que la courbe Γest de classe C1, si f′(t)et g′(t)sont continues.
2. On dit que la courbe Γest de classe C1par morceaux si on peut l’´ecrire comme r´eunion finie de courbes C1,...,Ck
telles que l’origine de Ci+1 est l’extr´emit´e de Ci.
3. On dit que la courbe est ferm´ee si ses extr´emit´es sont confondues i.e. (f(a), g(a)) = (f(b), g(b)).
4. On dit que la courbe est simple si elle n’a pas de points doubles i.e. pour tout t1∈]a, b[et t2∈]a, b[,t16=t2on a
(f(t1), g(t1)) 6= (f(t2), g(t2)).
courbe C1par morceaux courbe ferm´ee et simple courbe non ferm´ee et non simple
D´efinition 1.3 Soit Γune courbe constitu´ee de tous les couples de points (f(t), g(t)) o`u fet gsont des fonctions continues
sur un intervalle I. Les ´equations
(x=f(t)
y=g(t)
pour t∈Isont des ´equations param´etriques de Γ.
On dit que ces formules constituent une repr´esentation param´etrique de courbe Γ.
D´efinition 1.4 L’orientation de la courbe param´etr´ee Γ, est la direction correspondant `a la croissance du param`etre.
Dans l’espace, une courbe Γ peut ˆetre d´efinie par la donn´ee de trois fonctions d’un mˆeme param`etre
x=f(t),
y=g(t), t ∈I
z=h(t),
On dit dans ce cas que Γ est une courbe gauche ou non plane.
1.1 Longueur d’un arc de courbe
Soit Γ une courbe de repr´esentation param´etrique
(x=f(t)
y=g(t)
pour t∈[a, b]. On suppose que fet gsont de classe C1.
Soient M(t1) et M(t2) deux points de la courbes correspondant aux valeurs t1et t2du param`etre (a≤t1< t2≤b).

D´efinition 1.5 La longueur de l’arc d’extr´emit´es M(t1)et M(t2)est le r´eel positif
Zt2
t1s∂x
∂t 2
+∂y
∂t 2
dt =Zt2
t1p(f(t)′)2+ (g(t)′)2dt
La longueur de la courbe Γest le r´eel positif Ld´efini par
L=Zb
as∂x
∂t 2
+∂y
∂t 2
dt =Zb
ap(f(t)′)2+ (g(t)′)2dt
Dans le cas d’une courbe gauche Γ de repr´esentation param´etrique
x=f(t),
y=g(t), t ∈[a, b]
z=h(t),
la longueur de la courbe Γ est le r´eel positif Ld´efini par
L=Zb
as∂x
∂t 2
+∂y
∂t 2
+∂z
∂t 2
dt =Zb
ap(f(t)′)2+ (g(t)′)2+ (h(t)′)2dt
2 Int´egrales curvilignes
2.1 Int´egrales curvilignes d’une forme diff´erentielle
D´efinition 2.1 l’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle ω=P(x, y)dx +Q(x, y)dy le long de la courbe Γde repr´e-
sentation param´etrique (x=x(t)
y=y(t)t∈[a, b], est :
ZΓ
ω=Zb
a
(P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)) dt
Proposition 2.2 L’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle le long d’une courbe ne d´epend que de l’orientation, pas
du choix de la param´etrisation.
Proposition 2.3 L’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle exacte ( ou totale) ω=df ne d´epend que des extr´emit´es
A= (x(a), y(a)) et B= (x(b), y(b)) de la courbe Γ:
ZΓ
ω=ZΓ
df =Zb
a∂f
∂x (x(t), y(t))x′(t) + ∂f ∂y (x(t), y(t))y′(t)dt =f(B)−f(A)
En particulier, si Γest une courbe ferm´ee alors, RΓω=RΓdf = 0 .
D´efinition 2.4 (Propri´et´es des int´egrales curvilignes) .
1. Si on note par Γ−la courbe Γparcourue dans le sens inverse, alors : RΓ−ω=−RΓω
2. Soient ω1et ω2deux formes diff´erentielles, alors RΓω1+ω2=RΓω1+RΓω2
3. Soit P0un point de la courbe Γ, `a partir de P0on d´ecompose Γen deux courbes d’extr´emit´es P0, notons les Γ1et Γ2,
alors : Γ = Γ1∪Γ2et RΓω=RΓ1∪Γ2ω=RΓ1ω+RΓ2ω.
A
×P0
B
Γ = Γ1∪Γ2
Γ1Γ2

Th´eor`eme 2.5 Soit Dun disque du plan. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1. la forme diff´erentielle ω=P(x, y)dx +Q(x, y)dy est exacte.
2. RΓω=RΓdf = 0 pour toute courbe ferm´ee Γ
3. La forme diff´erentielle ω=P(x, y)dx +Q(x, y)dy est ferm´ee i.e. ∂P
∂y =∂Q ∂x .
2.2 Circulation (ou travail) d’un champ de vecteurs
D´efinition 2.6 Soit Γune courbe repr´esentation param´etrique (x=x(t)
y=y(t)t∈[a, b].
On note par r(t) = x(t)−→ i+y(t)−→ jle vecteur position −−→ 0M(t)du point M(t) = (x(t), y(t)).
On appelle vecteur vitesse le vecteur r′(t) = x′(t)−→ i+y′(t)−→ j .
D´efinition 2.7 Soit F(x, y) = P(x, y)−→ i+Q(x, y)−→ jun champ de vecteurs continu. La circulation (ou travail) de F(x, y)le
long de la courbe Γest ´egale `a :
Zb
a
F(x(t), y(t)).r′(t)dt
ici ”.” est le produit scalaire usuel .
A chaque champ de vecteurs F(x, y) = P(x, y)−→ i+Q(x, y)−→ jcorrespond une forme diff´erentielle (de degr´e 1) ω=
P(x, y)dx +Q(x, y)dy, de sorte que l’int´egrale curviligne de ωcorrespond `a la circulation de Fet diff´erentielle exacte `a
gradient.
Corollaire 2.8 La circulation d’un champ de vecteurs le long d’une courbe ne d´epend que de l’orientation pas du param´etrage.
Corollaire 2.9 La circulation d’un champ de gradients F=∇fne d´epend que des extr´emit´es A= (x(a), y(a)) et B=
(x(b), y(b)) de la courbe Γ:
la circulation de Fle long de Γ = f(B)−f(A)
En particulier, si Γest une courbe ferm´ee, la circulation de F=∇fle long de Γest nulle.
Remarque 2.10 Autrement dit , la circulation d’un champ qui d´erive d’un potentiel (i.e. un champ gradient) ne d´epend
que de l’´etat initial et de l’´etat final et pas du chemin choisi. Lorsqu’un point mat´eriel se d´eplace dans un potentiel, le travail
fourni par la force est ´egal `a la variation de l’´energie potentiel entre l’´etat final et l’´etat initial.
Th´eor`eme 2.11 Soit Dun disque du plan. Les conditions suivantes sont ´equivalentes :
1. le champ de vecteurs F(x, y) = P(x, y)−→ i+Q(x, y)−→ jest un champ de gradient.
2. La circulation de F=∇fle long de toute courbe ferm´ee Γ, est nulle.
3. −→ rot F=−→ 0i.e. ∂P
∂y =∂Q ∂x
3 Int´egrales doubles
D´efinition 3.1 Un compact ´el´ementaire est un domaine du plan de l’une des formes suivantes :
1. Dx=((x, y)∈R2;(a≤x≤b
ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x))o`u ϕ1et ϕ2sont des fonctions continues.
2. Dy=((x, y)∈R2;(c≤y≤d
ψ1(y)≤x≤ψ2(y))o`u ψ1et ψ2sont des fonctions continues.
3. P= [a, b]×[c, d], dans ce cas on dit aussi que c’est un pav´e de R2
Propri´et´es des int´egrales doubles :
1. RRDcf(x, y)dxdy =cRRDf(x, y)dxdy pour tout r´eel c.
2. RRD[f(x, y) + g(x, y)] dxdy =RRDf(x, y)dxdy +RRDg(x, y)dxdy
3. Si D=D1∪D2et l’aire de D1∩D2est nulle, alors RRDf(x, y)dxdy =RRD1f(x, y)dxdy +RRD2f(x, y)dxdy
4. Si f(x, y)≥0 pour tout (x, y)∈Dalors RRDf(x, y)dxdy ≥0.

3.1 Calcul d’int´egrales doubles `a l’aide d’int´egrales simples
Th´eor`eme 3.2 (Th´eor`eme de FUBINI) Soit Dun compact ´el´ementaire du plan et f(x, y)une fonction continue sur D.
1. si Dest du type Dxalors
ZZD
f(x, y)dxdy =Zb
a Zϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y)dy!dx
2. si Dest du type Dyalors
ZZD
f(x, y)dxdy =Zd
c Zψ2(y)
ψ1(y)
f(x, y)dx!dy
3. si D= [a, b]×[c, d]alors
ZZD
f(x, y)dxdy =Zb
a Zd
c
f(x, y)dy!dx =Zd
c Zb
a
f(x, y)dx!dy
Remarque 3.3 Calcul d’aire
L’aire de Dest l’int´egrale double sur Dde la fonction constante 1:
Aire de D=RRDdxdy (1)
3.2 Calcul d’int´egrales doubles `a l’aide d’un changement de variables
Supposons que x, et ysoient des fonctions des deux variables uet vtelles que les formules :
x=x(u, v)y=y(u, v)
d´efinissent un ”changement de variables” c’est `a dire une transformation qui `a un point mde coordonn´ees uet vassocie le
point Mde coordonn´ees xet y.
Nous appellerons Jacobien du changement de variables le d´eterminant :
∂(x, y)
∂(u, v)=
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v 
=∂x
∂u
∂y
∂v −∂x ∂v
∂y
∂u
Alors, si le domaine Dest transform´e par ce changement de variables en D′on obtient la formule suivante :
ZZD
f(x, y)dxdy =ZZD′
f(x(u, v), y(u, v)) 
∂(x, y)
∂(u, v)
dudv
3.3 Applications :
1. Masse d’une plaque La masse d’une plaque homog`ene, de masse surfacique ρet d’aire Aest M=Aρ.
Dans le cas non homog`ene, ρest une fonction de xet yd´efinie sur le domaine Dqui correspond `a la plaque. alors la
masse est : M=RRDρ(x, y)dxdy
2. Centre de gravit´e d’une plaque le centre de gravit´e Gde la plaque `a le point de coordonn´ees xG=1
MRRxρ(x, y)dxdy
et yG=1
MRRyρ(x, y)dxdy
3. Le moment d’inertie d’une plaque par rapport `a un point le moment d’inertie I0de la plaque par rapport `a
l’origine 0 est l’int´egrale : I0=RR(x2+y2)ρ(x, y)dxdy
4 Formule de Green-Riemann
On a vu que si ωest une forme diff´erentielle exacte alors, pour toute courbe ferm´ee Γ, RΓω= 0.
En g´en´eral, l’int´egrale d’une forme diff´erentielle le long d’une courbe ferm´ee qui borde un domaine s’´ecrit comme une
int´egrale double sur le domaine.
D´efinition 4.1 Si Dest un domaine du plan, dont le bord est form´e d’un nombre kde courbes ferm´ees C1,...,Ck, on
oriente son bord suivant la convention de la mati`ere `a gauche :
lorsque l’on parcourt n’importe qu’elle courbe Cidu bord on doit avoir le domaine Dsur sa gauche.
On dit que le bord est orient´e dans le sens direct.

Th´eor`eme 4.2 Soit ω=P(x, y)dx +Q(x, y)dy une forme diff´erentielle de classe C1d´efinie sur un domaine ferm´e D. Soit
Cune courbe ferm´ee simple qui entoure le domaine D. On suppose que Cest orient´ee dans le sens direct. Alors
ZC
ω=ZZD∂Q
∂x −∂P ∂y dxdy
(Formule de Green-Riemann)
Application au calcul d’aires :
On peut appliquer la formule de Green-Riemann dans le cas o`u ω=−ydx +xdy on obtient alors
RC−ydx +xdy = 2 RRDdxdy d’o`u
Aire(D) = 1
2ZC
−ydx +xdy (2)
Exemple 4.3 L’ellipse d’´equation x2
a2+y2 b2= 1 a pour ´equation param´etrique x=acos(t),y=bsin(t)avec t∈[0,2π]
Alors, l’aire Ade l’ellipse est ´egale `a :
A=1
2ZC
−ydx +xdy =1
2Z2π
0ab cos2(t) + ab sin2(t)dt =ab
2Z2π
0
dt =abπ.
5 Int´egrales triples
D´efinition 5.1 Un compact ´el´ementaire est un sous ensemble ∆de l’espace de l’une des formes suivantes :
1. ∆(x,y)=((x, y, z)∈R3;((x, y)∈D
ϕ1(x, y)≤z≤ϕ2(x, y))o`u ψ1et ψ2sont des fonctions continues.
2. ∆z=((x, y, z)∈R3;((x, y)∈D(z)
a≤z≤b)o`u D(z0)est l’intersection de ∆avec le plan {z=z0}.
3. P= [a, b]×[c, d]×[e, f], dans ce cas on dit aussi que c’est un pav´e de R3
5.1 Calcul d’int´egrales triples `a l’aide d’int´egrales doubles et simples
Th´eor`eme 5.2 (Th´eor`eme de FUBINI) Soit ∆un compact ´el´ementaire de l’espace et f(x, y, z)une fonction continue
sur ∆.
1. si ∆est du type ∆(x,y)alors
ZZZ∆
f(x, y, z)dxdydz =ZZD Zϕ2(x,y)
ϕ1(x,y)
f(x, y, z)dz!dydx
(est appel´e int´egration par ‘piles’)
2. si ∆est du type ∆zalors
ZZZ∆
f(x, y, z)dxdydz =Zb
a ZZD(z)
f(x, y, z)dydx!dz
(est appel´e int´egration par ‘tranches’)