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Limites
Théorème des gendarmes :
On considère 3 fonctions f, g et h définies au voisinage de a, a étant un réel fini ou +∞ ou -∞.
Si, pour tout x au voisinage de a, f(x)≤g(x)≤h(x), et si lim f = lim h = L, alors lim g = L.
Démo (a=+∞) :
lim f = L
Si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f(x) pour x assez grand.
Soit I un intervalle ouvert contenant toutes les valeurs de f(x), pour x≥A.
Pour tout x≥A, on a f(x) appartenant à I.
lim h = L
Si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de h(x) pour x assez grand.
On considère l’intervalle I ci-dessus. Il contient toutes les valeurs de h(x) pour x≥B.
Pour x≥max (A ; B), g(x) appartient à I car si x≥max (A ; B), alors x≥A donc f(x) appartient à I,
et x≥B donc h(x) appartient à I. Comme f(x)≤g(x)≤h(x), alors g(x) appartient à I.
On a donc lim g = L.
Cas particuliers :
Si dans [α ;+∞ [, f(x)≤g(x), et si lim f = +∞ alors lim g = +∞.
Si dans ]- ∞ ;α], f(x)≤g(x) et si lim g = -∞ alors lim f = -∞.
Si dans [α ;+ ∞[, f(x)≤g(x) et si lim g = -∞ alors lim f = -∞.
Théorème de la bijection (cas particuliers du théorème des valeurs intermédiaires) :
Soit la fonction f est définie et strictement monotone sur un intervalle I. Si a et b sont 2 réels
de I et k un réel compris entre f(a) et f(b), alors il existe une unique valeur c comprise entre a
et b telle que f(c)=k.
Continuité
Définition :
Une fonction f est continue en a ssi :
- f définie en a
- lim f= f(a)
f est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue en tout point de cet intervalle.
f est continue sur [a ;b] ssi :
- f définie sur [a ;b]
- f continue sur ]a ;b[
- lim f = f(a) et lim f = f(b)
Les fonctions polynômes, sin x et cos x sont continues sur R.
Une fonction rationelle est continue sur tout intervalle où la fonction est définie.
La fonction racine carrée de x est continue sur R+.
Si u et v sont continues sur I (v≠0), alors u+v, u-v, v*u et u/v sont continues sur I.
Si la fonction f est continue en a et si g est continue en f(a) alors g o f est continue en a.
a a a
+∞
+∞
+∞
�+∞ +∞
-∞ -∞
-∞ -∞
a
a+ b-

Dérivabilité
Théorème :
Si une fonction f est dérivable en x0, alors elle est continue en x0.
Démo :
Pour montrer que f est continue en x0, il faut que lim f(x) = f(x0)
Si f dérivable, on a f(x)=f(x0)+f’(x0)(x- x0)+(x- x0)ε(x- x0)
lim f = lim (f(x0)+f’(x0)(x- x0)+(x- x0)ε(x- x0))
lim f = f(x0)
lim [f’(x0)(x-x0)] = 0
lim [(x-x0)ε(x-x0)]=0
lim f(x) = f(x)
Donc f continue en x0.
Récapitulatif :
f
f’
u²
2u*u’
un
nun-1*u’
1/u
-u’/u²
1/un
-nu’/un+1
u
u’/2√u
sin u
cos u*u’
cos u
-sin u*u’
Théorème (opérations algébriques) :
Soient 2 fonctions f et g définies et dérivables sur I. g ne s’annule jamais.
(f+g)’= f’+g’
(f x g)’=f’ x g + f x g’
(kf)’=kf’ (k non nul)
(f/g)’ = (f’ x g – f x g’)/g²
Dérivée d’une fonction composée :
Soit f une fonction définie sur I, I contenant x0. Soit g une fonction définie sur J, J contenant
f(x0).
La fonction composée g o f est dérivable sur J en x0, et (g o f)’=f’ x g’ o f
x→x0
x0 x→x0
x0
x→x0
x→x0
x→x0

Démo :
(g o f(x))’ = lim
= lim x
= f’(x0) x g’(f(x0))
= f’(x0) x g o f(x0)
Centre et axe de symétrie :
Le point Ω(a ;b) est un centre de symétrie de Cf si :
- Pour tout x appartenant à Df, 2a-x appartient à Df
- f(x)=2b – f(2a-x)
ou si pour (a+x) appartenant à Df, (a-x) appartient à Df
- f(a-x)+f(a+x)
Si une droite d’équation x=a est un axe de symétrie de Cf alors : f(a+x)=f(a-x)
2
=b
x → x0
g o f(x) – g o f(x0)
x-x0
x → x0
f(x)-f(x0) g o f(x) – g o f(x0)
x-x0 f(x) – f(x0)